人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二8.4 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（精講）（解析版）

8.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖典例精講典例精講考點一符號語言【例1】（2022·高一課時練習(xí)）如圖所示，用符號語言可表述為（）A．，，B．C．D．【答案】A【解析】由題可知平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，兩直線交于點，所以用符號語言可表示為，，，故選：A.【一隅三反】1．（2022四川成都·高一四川省成都市玉林中學(xué)?？计谀┫铝型评礤e誤的是（

）A．，，，B．，，，C．，D．，【答案】C【解析】由，，，根據(jù)公理1可得，A對，由，根據(jù)公理1可得，D對，由，可得或，C錯，由，，，根據(jù)公理2可得，B對，故選：C2．（2022·高一課時練習(xí)）（多選）已知A，B，C表示不同的點，l表示直線，α，β表示不同的平面，則下列推理正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對于A：,則點A可能在面α內(nèi)，也可能不在面α內(nèi).故A錯誤；對于B：為公理2，可判斷面面相交.故B正確；對于C：為公理1，可判斷出線在面內(nèi).故C正確；對于D：說明直線與平面有公共點，又，所以.故D正確.故選：BCD.3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）（多選）設(shè)P表示一個點，表示兩條直線，表示兩個平面，下列說法不正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，，，則D．若，，，則【答案】AB【解析】當(dāng)時，P∈a，，但α，A錯；當(dāng)a∩β=P時，,B錯；∵，P∈b，∴，∴由直線a與點P確定唯一平面α，又，由a與b確定唯一平面，該平面經(jīng)過直線a與點P，∴該平面與α重合，∴，故C正確；兩個平面的公共點必在其交線上，故D正確.故選：AB.考點二點線共面【例1】（2022春·上海奉賢·高一上海市奉賢中學(xué)校考階段練習(xí)）在正方體中，、、、分別是該點所在棱的中點，則下列圖形中、、、四點共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于選項，如下圖，點、、、確定一個平面，該平面與底面交于，而點不在平面上，故、、、四點不共面；對于選項，連結(jié)底面對角線，由中位線定理得，又，則，故、、、四點共面對于選項C，顯然、、所確定的平面為正方體的底面，而點不在該平面內(nèi)，故、、、四點不共面；對于選項D，如圖，取部分棱的中點，順次連接，得一個正六邊形，即點、、確定的平面，該平面與正方體正面的交線為，而點不在直線上，故、、、四點不共面．故選：B【一隅三反】1．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，正方體中，若，，分別為棱，，的中點，，分別是四邊形，的中心，則下列判斷錯誤的是（

）A．，，，四點共面 B．，，，四點共面C．，，，四點共面 D．，，，四點共面【答案】B【解析】因為正方體中，，，分別為棱，，的中點，，分別為四邊形，的中心，所以是的中點，所以在平面上，故A正確；因為，，在平面上，不在平面上，所以，，，四點不共面，故B錯誤；由已知可知，所以，，，四點共面，故C正確；連接并延長，交于點，則為的中點，連接，則，所以，，，四點共面，故D正確．故選：B.2．（2022·高一單元測試）如圖所示．是正方體，O是的中點，直線交平面于點M，給出下列結(jié)論：①A、M、O三點共線；

②A、M、O、不共面：③A、M、C、O共面；

④B、、O、M共面，其中正確的序號為_________．【答案】①③【解析】連接，因為是的中點，所以，平面與平面有公共點A與，則平面平面，對于①，平面，則平面，因為平面，則，即A，M，O三點共線，所以①正確，對于②③，由①知A，M，O三點共線，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以②錯誤，③正確；對于④，連接，則都在平面上，若平面，則直線平面，所以平面，顯然平面，所以④錯誤，故答案為：①③考點三點共線、線共點【例3-1】（2022·高一單元測試）在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，E，F(xiàn)分別邊AB，BC上的點，且．求證：(1)點E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】（1）由題意，作圖如下：空間四邊形中，分別是的中點，.又，，，四點共面.（2）證明：連接、，因為分別是的中點，所以，且，又因為，所以，且，所以，且，故四邊形為梯形，且是梯形的兩腰，所以相交于一點.設(shè)交點為，因為平面，所以平面，同理平面，而平面平面，所以，故點時直線的公共點，即直線相交于一點.【例3-2】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，為空間四邊形，點，分別是，的中點，點，分別在，上，且，．(1)求證：，，，四點共面；(2)求證：，必相交且交點在直線上．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）證明：連接，因為，分別是，的中點，，；所以，，所以，所以，，，四點共面．（2）證明：易知，又，所以，結(jié)合（1）的結(jié)論可知，四邊形是梯形，因此直線，不平行．設(shè)它們交點為，平面，同理，所以平面，又平面平面，因此，即，必相交且交點在直線上．【一隅三反】1．（2022春·安徽六安·高一安徽省舒城中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正方體中，對角線與平面交于點，、交于點，為的中點，為的中點．求證：(1)三點共線；(2)、、、四點共面；(3)、、三線共點．【答案】證明見解析【解析】（1）∵平面，∴，平面；又∵平面，∴平面；∵、交于點M，∴，；又平面，平面，∴平面，平面；又平面，平面；∴、、三點在平面與平面的交線上，∴、、三點共線；（2）連接，∵E為的中點，F(xiàn)為的中點，∴，又∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴；∴，∴E、F、C、D1四點共面；（3）∵平面平面，設(shè)與交于一點P，則：，平面，∴平面，同理，平面，∴平面平面，∴直線、、三線交于一點P，即三線共點.2．（2022·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在長方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點．(1)證明：E，F(xiàn)，D，B四點共面．(2)證明：BE，DF，三線共點．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）如圖，連接EF，BD，．∵EF是的中位線，∴．∵與平行且相等，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴E，F(xiàn)，D，B四點共面．（2）∵，且，∴直線BE和DF相交．延長BE，DF，設(shè)它們相交于點P，∵直線BE，直線平面，∴平面，∵直線DF，直線平面，∴平面，∵平面平面，∴，∴BE，DF，三線共點．考點四平面分空間區(qū)域【例4-1】（2022江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．過三點確定一個圓B．兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域C．三條直線兩兩相交，則確定一個平面D．四邊形一定是平面圖形【答案】B【解析】A，過不共線三點確定一個圓，錯誤；B，兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域，正確；C，三條直線兩兩相交，若第三條在另兩條確定的平面內(nèi)可以確定一個平面，否則不能確定一個平面，錯誤；D，四邊形可以是平面圖形，也可以是空間四邊形，錯誤.故選：B【例4-2】（2021·高一課前預(yù)習(xí)）空間的4個平面最多能將空間分成（

）個區(qū)域．A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【解析】一個平面把空間分成2部分，兩個平面最多把空間分面4部分，3個平面最多把空間分布8個部分，前三個平面與第4個平面相交，最多有三條交線，這三條交線把第四個平面，最多分成7部分，這里平面的每一部分就是第四個平面與前三個平面分空間部分的截面，這個截面把所在空間部分一分為二，這樣所有空間部分的個數(shù)為．故選：C．【例4-3】（2021·高一課時練習(xí)）兩個平面能把空間分成幾個部分（

）A．2或3 B．3或4 C．3 D．2或4【答案】B【解析】若兩個平面平行，此時兩個平面把空間分成3個平面，若兩個平面相交，此時兩個平面把空間分成4個平面，故兩個平面能把空間分成3個或4個部分.故選:B【一隅三反】1．（2022·高一單元測試）空間三個平面如果每兩個都相交，那么它們的交線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．1條或3條【答案】D【解析】三個平面可能交于同一條直線，也可能有三條不同的交線，如圖所示：故選：D2．（2022·高一課時練習(xí)）若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分【答案】C【解析】可用三線a，b，c表示三個平面，其截面如圖，將空間分成7個部分，故選C．3．（2022湖北）三個互不重合的平面把空間分成六部分時，它們的交線有A．1條 B．2條C．1條或3條 D．1條或2條【答案】D【解析】①若三個平面兩兩平行，則把空間分成4部分；②若三個平面兩兩相交，且共線，則把空間分成6部分；③若三個平面兩兩相交，且有三條交線互相平行，則把空間分成7部分；④若三個平面兩兩相交，且有三條交線交于一點，則把空間分成8部分；⑤若三個平面其中兩個平行和第三個相交，則把空間分成6部分；故三個平面把空間分成6部分時，分兩類：①當(dāng)兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，有兩條交線；②當(dāng)三個平面交于一條直線時，有一條交線，故三個平面把空間分成6部分時，它們的交線有1條或2條．故選D．4．（2022·高一課時練習(xí)）已知空間四點中，無三點共線，則經(jīng)過其中三點的平面有（

）A．一個 B．四個 C．一個或四個 D．無法確定平面的個數(shù)【答案】C【解析】若空間中的四點共面，則經(jīng)過其中的三點的平面只有一個，若空間中的四點不共面，設(shè)這四點為，由于無三點共線，所以由公理2，可知過三點確定一個平面，過三點確定一個平面，過三點確定一個平面，過三點確定一個平面，所以經(jīng)過其中三點的平面有4個，綜上，空間四點中，無三點共線，則經(jīng)過其中三點的平面有1個或4個，故選：C考點五空間直線的位置關(guān)系【例5】（2022春·山西忻州·高一校聯(lián)考期末）如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中正確的是（

）直線與直線異面 B．直線與直線共面 C．直線與直線異面 D．直線與直線共面【答案】B【解析】如圖，點與點重合，故A錯誤；∵，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴與是共面直線，故B正確；∵，∴與相交，故C錯誤；∵，不在一個平面內(nèi)，且與既不平行也不相交，∴，是異面直線，故D錯誤.故選：B.【一隅三反】1．（2022春·廣西欽州·高一統(tǒng)考期末）如圖，長方體的12條棱中與異面的共有（

）A．4條 B．5條 C．6條 D．7條【答案】C【解析】由題意，長方體的12條棱中與異面的有共6條故選：C2．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，在三棱柱中，是正三角形，E是的中點，則下列敘述中正確的是（

）A．與是異面直線 B．與共面C．與是異面直線 D．與所成的角為【答案】C【解析】對于A，由于與都在平面內(nèi)，故與是共面的，故錯誤對于B，由于在平面內(nèi)，而與平面相交于點，點不在上，故與是異面直線，同理，與是異面直線，所以B錯誤，C正確.對于D，與所成角就是與所成角，且E是的中點，也為正三角形，所以，即與所成的角為，故錯誤.故選:C.3．（2022春·北京通州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在長方體中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點平面 B．直線平面C．直線與直線是相交直線 D．直線與直線是異面直線【答案】D【解析】在長方體中，直線平面，點，且不重合，即點平面，A不正確；點平面，點平面，即直線平面，B不正確；直線平面，則與平面無公共點，直線平面，所以直線與直線沒有公共點，C不正確；直線平面，即直線與平面無公共點，直線平面，則直線與直線沒有公共點，又，直線，即直線與直線不平行，因此直線與直線是異面直線，D正確.故選：D考點六直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系【例6】（2022遼寧）若一直線上有一點在已知平面外，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線與平面平行 B．直線與平面相交C．直線上至少有一個點在平面內(nèi) D．直線上有無數(shù)多個點都在平面外【答案】D【解析】對于A，若直線與平面相交，此時除交點外，其余點都在平面外，A錯誤；對于BC，若直線與平面平行，則所有點都在平面外，BC錯誤；對于D，直線無論與平面相交還是平行，則都有無數(shù)個點在平面外，D正確.故選：D.【一隅三反】1．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，在梯形中，是直角梯形所在平面外一點，畫出平面和平面的交線，并說明理由．【答案】答