人教版高中數(shù)學精講精練必修二8.6.1 空間直線、平面的垂直（精練）（解析版）

8.6.1空間直線、平面的垂直（精練）1．（2022陜西）如圖，已知正方體的棱長為1，與交于點，求證：平面【答案】證明見解析【解析】因為四邊形為正方形，．在正方體中，易知平面，又平面，．又，平面，平面．2．（2022秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，，，分別為三條面對角線，為一條體對角線.求證：(1)；(2)平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）在正方體中，平面，∵平面，∴，又四邊形為正方形，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴.（2）與（1）中證明同理可證，又，平面∴平面．3．（2022·江蘇）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，又底面為的中點．(1)求證：；(2)設是的中點，求證：平面．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【解析】（1）因為底面為菱形，，且為的中點，所以．又，所以．又底面底面，所以．因為平面平面，所以平面，平面，所以．（2）取的中點，連接，是中點，，，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，又平面平面，平面平面，平面，平面．4．（2022·高一單元測試）如圖，在三棱柱中，側棱底面，為棱的中點．，，．(1)求證：∥平面；(2)求證：平面；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）連接與，兩線交于點，連接．在中，∵，分別為，的中點，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）∵側棱底面，平面，∴，又∵為棱的中點，，∴．∵，，平面，∴平面，又平面，∴∵，∴．又∵，∴在和中，，∴，即，∴∵，，平面，∴平面．5．（2022·高一課時練習）如圖，已知三棱錐中，，側棱底面，點在棱和上的射影分別是點、，求證：．【答案】證明見解析【解析】由題意，平面，平面，故.又，，平面，則平面又平面，故，又，，平面，故平面.又平面，故，又，，平面，故平面.因為平面，故，即得證.6．（2022·高一課時練習）如圖，在正方體中，求證：，．【答案】證明見解析【解析】如圖，在正方體中，平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，∵平面，∴；同理，平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，∵平面，∴.7（2022·高一課時練習）如圖，已知平面PBC，，M是BC的中點，求證：．【答案】證明見解析.【解析】∵，M是BC的中點，∴．又平面PBC，平面PBC，則，∵，面，∴面，而面，∴．8．（2022·高一課時練習）在正三棱柱中，如圖所示，，G，E，F(xiàn)分別是，AB，BC的中點，求證：直線直線GB．【答案】證明見解析【解析】證明：連接．在三角形中，G是的中點，所以．因為平面，平面，所以，因為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以⊥，又因為E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，所以，所以所以直線直線GB．9．（2022春·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）圓柱如圖所示，為下底面圓的直徑，為上底面圓的直徑，底面，，，.(1)證明：面.(2)求圓柱的體積.【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）證明：連接，，，可得平面，∵平面，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）解：連接，∵，∴，∵垂直上底面，∴，∵，平面，，∴平面，又平面，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，，∴圓柱的體積為.10．（2022·高一課時練習）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點E，l⊥平面PCD．求證：l∥AE．【答案】證明見解析【解析】證明：因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD．又四邊形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．因為PA∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又AE?平面PAD，所以AE⊥DC．因為AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因為l⊥平面PCD，所以l∥AE．11．（2022·高一課時練習）如圖，已知正方體A1C．(1)求證：A1C⊥B1D1；(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）如下圖，連接A1C1．因為CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1．因為四邊形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1．又因為CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C．又因為A1C?平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．（2）如上圖，連接B1A，AD1．因為B1C1=AD，B1C1∥AD所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以C1D∥AB1，因為MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．又因為MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．同理可得A1C⊥AB1．又因為AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．故答案為：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.12．（2021春·福建廈門·高一廈門雙十中學校考期中）如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，點E為棱PB的中點．（1）若PB＝PD，求證：PC⊥BD；（2）求證：CE∥平面PAD.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）取BD的中點O，連接CO，PO，因為CD＝CB，所以△CBD為等腰三角形，所以BD⊥CO因為PB＝PD，所以△PBD為等腰三角形，所以BD⊥PO又PO∩CO＝O，PO，CO?平面PCO，所以BD⊥平面PCO因為PC?平面PCO，所以PC⊥BD；（2）由E為PB的中點，連接EO，則EO∥PD，又EO?平面PAD，PD?平面PAD，所以EO∥平面PAD.由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD，又CO?平面PAD，AD?平面PAD，所以CO∥平面PAD.又CO∩EO＝O，CO，EO?平面COE，所以平面CEO∥平面PAD，而CE?平面CEO，所以CE∥平面PAD．13．（2022春·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級中學?？计谀┤鐖D，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，點E為PC的中點.(1)求證：平面BDE；(2)求證：PC⊥BD.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）證明：連接AC交BD于O點，連接EO，如圖所示：∵底面ABCD是菱形，∴O為AC的中點∵點E為PC的中點，∴∵平面BDE，且平面BDE∴平面BDE（2）證明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD，∴PA⊥BD∵，平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又平面PAC，∴BD⊥PC.14（2022·全國·高一專題練習）如圖所示，和所在平面互相垂直，且，點分別為的中點，求證：平面【答案】證明見解析【解析】證明：由且，可得，所以，又由為的中點，所以，因為為的中點，同理可得，又因為且平面，所以平面，因為分別為的中點，所以，所以平面．15．（2022·高一單元測試）如圖所示，M是菱形ABCD所在平面外一點，．求證：AC垂直于平面BDM．【答案】證明見解析.【解析】設AC交BD于點O，連接MO,因為ABCD是菱形，所以,因為，且，所以，因為MO、BD是平面BDM上的兩條相交直線，所以AC垂直于平面BDM．16．（2022·高一單元測試）如圖，是正方形所在平面外一點，，且平面平面，，分別是線段，的中點．(1)求證：(2)求證：平面【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）因為正方形，又平面平面平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以．（2）取中點，連接，，在中，因為，分別是，的中點，所以，因為是正方形邊中點，所以，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，故EF平面17．（2021秋·陜西渭南·高一?？茧A段練習）如圖，在三棱柱中，底面是中點，與相交于點.(1)證明：平面；(2)若四邊形是正方形，，求證：平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）易知分別為的中點，是的中位線，，平面平面，平面；（2）底面平面，又平面，且，平面，又平面，四邊形是正方形，，平面，平面，又平面平面平面.18．（2022春·福建泉州·高一?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面，底面是正方形.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；【解析】（1）因為底面是正方形，所以．又因為平面，平面，所以平面．（2）因為底面是正方形，所以．因為底面，在平面內(nèi)，所以．又，、在平面內(nèi)，所以平面．又因為平面，所以平面平面．19．（2022·高一單元測試）如圖所示，在矩形中，，為的中點.將沿折起，使得平面平面.點是線段的中點.(1)求證：平面平面；(2)求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）證明：在矩形中，，為的中點，∴，是的中點，∴，∵平面平面，平面平面，平面，平面，∴平面平面；（2）證明：在矩形中，，為的中點，∴，則，∴，由（1）知，平面，∵平面，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴.20．（2022春·云南文山·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面底面分別為的中點..(1)求證：直線平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因為為的中點，，所以，又因為，所以四邊形為平行四邊形，因為，所以平行四邊形是矩形，所以，因為，所以，又因為平面平面，平面平面平面，所以平面，因為平面，所以，又因為平面，所以平面.（2）因為，所以，由平面為中點，所以點到平面的距離等于，所以.1（2021秋·河南安陽·高一安陽一中?？计谀┤鐖D所示，平面四邊形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，則下列說法中正確的是(

)①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD.A．①② B．②③C．①③ D．①②③【答案】D【解析】∵平面平面BCD，平面平面，，CD平面BCD,∴平面ABD，又∵CD平面ACD，∴平面平面ABD，故①正確；∵平面平面ABD，平面平面，，AB平面ABD，∴平面ACD，∵AC平面ACD，∴，故②正確；∵平面ACD，AB平面ABC，∴平面平面ACD，故③正確；故選：D2．（2022春·貴州六盤水·高一校考階段練習）在四棱錐中，已知底面，且底面為矩形，則下列結論中錯誤的是（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】D【解析】對于A中，由已知底面，且底面為矩形，所以，且,平面，所以平面，又由平面，所以平面平面，所以A正確；對于B中，由已知底面，且底面為矩形，所以，且,平面，所以平面，又由平面，所以平面平面，所以B正確；對于C中，由已知底面，且底面為矩形，所以，且,平面，所以平面，又由平面，所以平面平面，所以C正確；對于D中，設為平面與平面的交線，因為，平面，平面，所以平面，因為為平面與平面的交線，所以，又，所以，因為平面，平面，所以，所以，又底面，所以，所以，所以為平面與平面的二面角，若平面平面，則，而底面，所以，此時三角形內(nèi)角和大于，所以平面與平面不垂直，所以D錯誤.故選：D.3．（2022黑龍江）（多選）如圖，在三棱錐P-ABC中，平面的中點，則下列結論正確的是（

）A．平面B．C．平面D．平面【答案】ABC【解析】平面，平面，又，平面且平面，故A正確由平面，平面得又，是的中點，又平面，平面，平面，故B,C正確由平面，平面得因為與不平行因此與不垂直從而不與平面垂直，故D錯誤故選：ABC.4．（2021秋·河北滄州·高三滄縣中學?？茧A段練習）（多選）設m、n、l表示不同的直線，表示不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．，則 B．，則C．，則 D．，則【答案】ACD【解析】選項A，根據(jù)空間中直線平行的傳遞性，可知A正確；選項B，若，則m與l可能相交，也可能異面，也可能平行，故B錯；選項C，根據(jù)空間中平面平行的傳遞性，可知C正確；選項D，兩條平行線中的一條與一個平面垂直，則另一條也與這個平面垂直，故D正確；故選：ACD．5（2023·江蘇）如圖，在直角梯形中，，，，并將直角梯形繞AB邊旋轉至ABEF．(1)求證：直線平面ADF；(2)求證：直線平面ADF；(3)當平面平面ABEF時，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使平面ADE與平面BCE垂直．并證明你的結論．條件①：；條件②：；條件③：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)答案見解析【解析】（1）證明：在直角梯形中，，，將直角梯形繞邊旋轉至，所以，又，平面，所以平面；（2）證明：依題意可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；（3）證明：因為平面平面，，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，過點作，交于點，若選①，，，所以，所以，此時，所以如圖過點作交的延長線于點，因為平面，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，顯然平面與平面不垂直；若選②：，則，所以，，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；若選③：，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；6．（2022春·河南開封·高一統(tǒng)考期中）在條件①；②；③平面平面中任選一個，補充到下面的問題中，并給出問題解答．問題：如圖，在直三棱柱中，，且________，求證：．【答案】證明見解析【解析】（情況一）補充條件①．證明：在直棱柱中，平面，因為平面，所以．因為，平面，平面所以平面．因為平面，所以，因為，所以四邊形為菱形，所以．因為，平面，平面所以平面．因為平面，所以．（情況二）補充條件②．證明：設，連接．因為，M為的中點，所以．因為，所以四邊形為菱形，所以．因為平面平面，所以平面．因為平面，所以，（情況三）補充條件③平面平面．證明：在棱柱中，因為，所以四邊形為菱形，所以．因為平面平面，平面平面平面，所以平面．因為平面，所以．7（2022遼寧）如圖，在中，，，．分別是上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖．(1)求證：平