人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三6.2.1 排列及排列數(shù)（解析版）

6.2.1排列及排列數(shù)考法一排列的判斷【例1-1】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）下列問題是排列問題的是（

）A．從10名同學(xué)中選取2名去參加知識(shí)競(jìng)賽，共有多少種不同的選取方法？B．10個(gè)人互相通信一次，共寫了多少封信？C．平面上有5個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？D．從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)相加，其結(jié)果共有多少種？【答案】B【解析】選項(xiàng)A：從10名同學(xué)中選取2名去參加知識(shí)競(jìng)賽，選出的2人并未排序，因而不是排列問題，不合題意；選項(xiàng)B：10個(gè)人互相通信一次，選出2人要分出寄信人和收信人，是排列問題，適合題意；選項(xiàng)C：平面上有5個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，從中任選2個(gè)點(diǎn)即可確定1條直線，這2個(gè)點(diǎn)不分順序.因而不是排列問題，不合題意；選項(xiàng)D：從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)字相加即得1個(gè)結(jié)果，這2個(gè)數(shù)字不分順序，因而不是排列問題，不合題意.故選：B．【例1-2】（2023北京）從集合中任取兩個(gè)元素，①相加可得多少個(gè)不同的和？②相除可得多少個(gè)不同的商？③作為橢圓中的a，b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程？④作為雙曲線中的a，b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程？上面四個(gè)問題屬于排列問題的是（

）A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④【答案】B【解析】∵加法滿足交換律，∴①不是排列問題；∵除法不滿足交換律，∴②是排列問題；若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則必有，故③不是排列問題；在雙曲線中不管還是，方程均表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故④是排列問題．故選：B．【一隅三反】1．（2023春·河南安陽·高二林州一中?？茧A段練習(xí)）下列問題是排列問題的是（

）A．10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮危还参帐侄嗌俅?？B．平面上有2022個(gè)不同的點(diǎn)，且任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條線段？C．集合的含有三個(gè)元素的子集有多少個(gè)？D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法？【答案】D【解析】A中握手次數(shù)的計(jì)算與次序無關(guān)，不是排列問題；B中線段的條數(shù)計(jì)算與點(diǎn)的次序無關(guān)，不是排列問題；C中子集的個(gè)數(shù)與該集合中元素的次序無關(guān)，不是排列問題；D中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨(dú)唱、乙參加獨(dú)舞”與“乙參加獨(dú)唱、甲參加獨(dú)舞”是2種不同的選法，因此是排列問題．故選：D2．（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考期中）下列問題屬于排列問題的是（

）A．從6人中選2人分別去游泳和跳繩B．從10人中選2人去游泳C．從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)D．從數(shù)字5，6，7，8中任取三個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)【答案】AD【解析】對(duì)于A，從6個(gè)人中選2人分別去游泳和跳繩，選出的2人有分工的不同，是排列問題；對(duì)于B，從10個(gè)人中選2人去游泳，與順序無關(guān)，不是排列問題；對(duì)于C，從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)，與順序無關(guān)，不是排列問題；對(duì)于D，從數(shù)字5，6，7，8中任取三個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字有順序性，是排列問題．故選：AD3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）給出下列問題：①從2、3、5、7、11中任取兩數(shù)相乘，可得多少個(gè)不同的積？②從2、3、5、7、11中任取兩數(shù)相除，可得多少個(gè)不同的商？③從2、3、5、7、11中任取兩數(shù)相加，可得多少個(gè)不同的和？以上問題中，屬于排列問題的是．（寫出所有滿足要求的問題序號(hào)）【答案】②【解析】對(duì)于①，從2、3、5、7、11中任取兩數(shù)相乘，且乘法滿足交換律，故不是排列問題;對(duì)于②，從2、3、5、7、11中任取兩數(shù)相除，且除法不滿足交換律，故是排列問題;對(duì)于③，從2、3、5、7、11中任取兩數(shù)相加，且加法滿足交換律，故不是排列問題;故答案為：②考法二排列數(shù)【例2-1】（2023·廣西）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)60(2)120(3)5040(4)1256640【解析】（1）．（2）．（3）．（4）．【例2-2】解不等式或方程(1)=2；(2).（3）【答案】(1)n=5(2)x=8（3）【解析】（1）因?yàn)?2，由，解得，由原式可得，解得或．又因?yàn)椋裕?）因?yàn)?lt;6，由，解得且，由原不等式可得，化簡(jiǎn)可得，解得，又且，所以．（3）由題意可知，且，因?yàn)?，，，所以原不等式可化為，整理得，解得，所以原不等式的解集?【例2-3】（2023廣東潮州）求證：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）右式左式，故等式成立；（2）左式右式，故等式成立.【一隅三反】1．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．（3）（4）【答案】(1)348；(2)64.（3）（4）【解析】（1）.（2）.（3）因?yàn)椋?，，所以不等式可化為，解得，又，，所以不等式的解集為．?）由題設(shè)，則，所以，可得或，又且，則且，所以.2.（2023云南）求證：(1)；(2)．（3）；（4）.【答案】證明見解析【解析】（1）證明：.（2）證明：.（3）左邊右邊，∴結(jié)論成立，即；（2）當(dāng)時(shí)，左邊右邊，∴結(jié)論成立，即.考法三排列之排隊(duì)【例3】5（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高二?？计谀┈F(xiàn)有8個(gè)人（5男3女）站成一排．(1)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？(2)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？(4)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？(5)甲、乙不能排在前3位，有多少種不同排法？(6)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？【答案】(1)5040(2)4320(3)21600(4)20160(5)14400(6)2880【解析】（1）根據(jù)題意，甲必須站在排頭，有1種情況，將剩下的7人全排列，有種情況，則甲必須站在排頭有種排法；（2）根據(jù)題意，先將3名女生看成一個(gè)整體，考慮三人之間的順序，有種情況，將這個(gè)整體與5名男生全排列，有種情況，則女生必須排在一起的排法有種；（3）根據(jù)題意，將甲、乙兩人安排在中間6個(gè)位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，則甲、乙兩人不能排在兩端有種排法；（4）根據(jù)題意，將8人全排列，有種情況，其中甲在乙的左邊與甲在乙的右邊的情況數(shù)目相同，則甲在乙的左邊有種不同的排法；（5）根據(jù)題意，將甲、乙兩人安排在后面的5個(gè)位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，甲、乙不能排在前3位，有種不同排法；（6）根據(jù)題意，將5名男生全排列，有種情況，排好后除去2端有4個(gè)空位可選，在4個(gè)空位中任選3個(gè)，安排3名女生，有種情況，則女生兩旁必須有男生，有種不同排法．【一隅三反】1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2023年5月21日，中國羽毛球隊(duì)在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國隊(duì)，實(shí)現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場(chǎng)合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種【答案】C【解析】當(dāng)丙站在左端時(shí)，甲、丙必須相鄰，其余人全排列，有種站法；當(dāng)丙不站在左端時(shí)，從丁、戊兩人選一人站左邊，再將甲、丙捆綁，與余下的兩人全排，有種站法，所以一共有種不同的站法．2．（2023春·甘肅臨夏·高二?？奸_學(xué)考試）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．為傳承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每藝安排一次講座，共講六次．講座次序要求“禮”在第一次，“射”和“御”兩次相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（）A．48種 B．36種 C．24種 D．20種【答案】A【解析】依題意，“禮”在第一次，固定，“射”和“御”兩次相鄰，兩者捆綁，與另外藝進(jìn)行排列，所以“六藝”講座不同的次序共有種，故選：A3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某班一天上午有四節(jié)課，現(xiàn)要安排該班上午的課程表，從語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、體育科中選出科排到課表中，體育課不能排到第一節(jié)，且數(shù)學(xué)和物理兩科不能相鄰，則不同的排課方案共有（

）種A． B．C． D．【答案】B【解析】可按有無體育、數(shù)學(xué)、物理分成三類：第一類，若不排體育，先排語文和英語兩科，然后將數(shù)學(xué)和物理插入語文和英語兩科所形成的空位中，則不同的排課方案有種；第二類，若排數(shù)學(xué)和物理中的一科，則體育可排在第二或第三或第四節(jié)課，則不同的排課方案有種；第三類若體育、數(shù)學(xué)和物理都排上，體育在第二節(jié)或第三節(jié)時(shí)有種，體育在第四節(jié)，則物理和數(shù)學(xué)不能排第二節(jié)，此時(shí)不同的排課方案有種，則不同的排課方案有種．由分類加法計(jì)數(shù)原理可得不同的排課方案共有種．故選：B.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).（1）選5人排成一排；（2）排成前后兩排，前排3人，后排4人；（3）全體排成一排，女生必須站在一起；（4）全體排成一排，男生互不相鄰；（5）(一題多解)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；（6）(一題多解)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600;（6）3720【解析】（1）從7人中選5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2520(種).（2）分兩步完成，先選3人站前排，有A種方法，余下4人站后排，有種方法，共有＝5040(種).（3）將女生看作一個(gè)整體與3名男生一起全排列，有種方法，再將女生全排列，有種方法，共有＝576(種).（4）先排女生，有種方法，再在女生之間及首尾5個(gè)空位中任選3個(gè)空位安排男生，有種方法，共有＝1440(種).（5）法一(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有種排列方法，共有5×＝3600(種).法二(特殊位置優(yōu)先法)左右兩邊位置可安排另6人中的兩人，有種排法，其他有種排法，共有＝3600(種).（6）法一：甲在最右邊時(shí)，其他的可全排，有種方法；甲不在最右邊時(shí)，可從余下的5個(gè)位置任選一個(gè)，有A種，而乙可排在除去最右邊的位置后剩下的5個(gè)中任選一個(gè)有種，其余人全排列，只有種不同排法，共有＋＝3720.法二：7名學(xué)生全排列，只有種方法，其中甲在最左邊時(shí)，有種方法，乙在最右邊時(shí)，有種方法，其中都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有種方法，故共有－2＋＝3720(種).5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知有名同學(xué)，其中名男同學(xué)，名女同學(xué)（這名同學(xué)中有甲、乙、丙），若這名同學(xué)站成一排，則共有種不同的排法.多維探究（1）若這名同學(xué)站成兩排，前排名同學(xué)，后排名同學(xué)，則共有種不同的排法.（2）若這名同學(xué)站成兩排，前排名女同學(xué)，后排名男同學(xué)，則共有種不同的排法.（3）若這名同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，則共有種不同的排法.（4）若這名同學(xué)站成三排，第排站名同學(xué)，第排站名同學(xué)，第排站名同學(xué)，其中甲站在第排的中間位置，則共有種不同的排法.（5）若這名同學(xué)站成一排，則甲、乙只能站在兩端的排法共有種.（6）若這名同學(xué)站成一排，則甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有種.（7）若這名同學(xué)站成一排，則甲、乙必須相鄰的排法共有種.（8）若這名同學(xué)站成一排，則名男同學(xué)必須站在一起，名女同學(xué)也必須站在一起的排法共有種.（9）若這名同學(xué)站成一排，則甲、乙必須相鄰，且丙不能站在排頭和排尾的排法有種.（10）若這名同學(xué)站成一排，則甲、乙不能相鄰的排法共有種.（11）若這名同學(xué)站成一排，則甲、乙、丙這名同學(xué)彼此不能相鄰的排法共有種.（12）若這名同學(xué)站成一排，則名男同學(xué)彼此不能相鄰，名女同學(xué)彼此也不能相鄰的排法共有種.（13）若這名同學(xué)站成一列，則甲必須站在乙的前面（可以相鄰也可以不相鄰）的排法共有種.（14）若這名同學(xué)站成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，則共有種排法.【答案】（1）（2）（3）(4)(5)（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）【解析】這名同學(xué)站成一排，則共有種排列方法；（1）可以分兩步，前排共種排法，后排共種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有種排列方法；（2）可以分兩步，前排名女生共種排法，后排名男生共種排法，共有種排列方法；（3）可以分兩步，首先把甲放在正中間的位置，有種排法，然后把余下的名同學(xué)進(jìn)行全排列，有種排法，共有種排列方法；（4）可以分兩步，首先把甲放在第中間的位置，有種排法，然后把余下的名同學(xué)進(jìn)行全排列，有種排法，共有種排列方法；（5）可以分兩步，第一步，甲、乙站在兩端共有種排法，第二步，將余下的名同學(xué)進(jìn)行全排列，有種排法，故共有種排列方法；（6）可以分兩步，第一步，從其余的名同學(xué)（除去甲、乙）中選名同學(xué)站在排頭和排尾，有種排法，第二步，將余下的名同學(xué)（包括甲、乙）進(jìn)行全排列，有種排法，所以，一共有種排列方法；（7）可以分兩步，先將甲、乙“捆綁”在一起，將其看成一個(gè)元素，有種排法，再將其與其余的個(gè)元素（名同學(xué)）一起進(jìn)行全排列，有種排法，所以一共有種排法；（8）可以分三步，先將名女同學(xué)“捆綁”在一起，將她們看成一個(gè)元素，有種排列方法，再將名男同學(xué)“捆綁”在一起，將他們看成一個(gè)元素，有種排列方法，這時(shí)一共有個(gè)“捆綁”后的元素，將其全排列，則有種排列方法，所以一共有種排列方法；（9）可以分三步，先將甲、乙“捆綁”在一起，將其看成一個(gè)元素，有種排法，且此時(shí)一共有個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以再從其余的個(gè)元素中選取個(gè)元素放在排頭和排尾，有種排法，最后將剩下的個(gè)元素進(jìn)行全排列，有種排法，所以一共有種排列方法；（10）解法一：將名同學(xué)全排列，共有種排法，若甲、乙相鄰，則有種排法，所以甲?乙不能相鄰的排法有種排法；解法二：可以分兩步，先將其余名同學(xué)全排列，有種排法，此時(shí)形成了個(gè)“空”，再將甲?乙分別插入這個(gè)“空”中，有種排法，所以一共有種排列方法；（11）可以分兩步，先將其余名同學(xué)全排列，有種排法，此時(shí)他們之間有個(gè)“空”，再將甲、乙、丙這名同學(xué)分別插入這個(gè)“空”中，有種排法，所以一共有種排列方法；（12）可以分兩步，先將名女同學(xué)全排列，有種排法，此時(shí)她們之間有個(gè)“空”，再將名男同學(xué)分別插入這個(gè)“空”中，有種排法，所以一共有種排列方法；（13）將名同學(xué)全排列，有種排法，因?yàn)榧妆仨氄驹谝业那懊?，所以共有種排列方法；（14）解法一（特殊元素法）：甲在最右邊時(shí)，其他的可進(jìn)行全排列，有種不同的排法，甲不在最右邊時(shí)，可從余下個(gè)位置中任選一個(gè)排甲，有種排法，乙可以站在除去最右邊的位置后剩余的個(gè)位置中的任一個(gè)上，有種排法，再將其余人全排列，有，共有種不同排法，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有種不同的排列方法；解法二（特殊位置法）：先排最左邊，除去甲外，有種排法，將余下名同學(xué)全排列，有種排法，但應(yīng)剔除乙在最右邊時(shí)的排法，有種，因此共有種排列方法；解法三（間接法）：將名同學(xué)全排列，共有種排法，其中不符合條件的有甲在最左邊時(shí)的情形，有種排法，還有乙在最右邊時(shí)的情形，有種排法，這兩種情形重復(fù)包含了甲在最左邊，同時(shí)乙在最右邊的情形，有種排法，因此共有種排列方法；故答案為：；；；；；；；；；；；；；；.考法四排列之排數(shù)【例4】（2023·江西萍鄉(xiāng)）由0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字．（1）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（2）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（3）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且被25個(gè)整除的四位數(shù)？（4）組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中比4032大的數(shù)有多少個(gè)？【答案】解：（1）；(2)；(3)；(4)【解析】1）由題意知，因?yàn)閿?shù)字中有0，0不能放在首位，先安排首位的數(shù)字，從五個(gè)非0數(shù)字中選一個(gè)，共有種結(jié)果，余下的五個(gè)數(shù)字在五個(gè)位置進(jìn)行全排列，共有種結(jié)果，根據(jù)乘法原理得到結(jié)果．（2）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù),只要末尾是偶數(shù)，首位不能為零，對(duì)于特殊位置優(yōu)先安排可得（3）被25整除的數(shù)字包括兩種情況，一是最后兩位是25，需要先從余下的非0數(shù)字中選一個(gè)做首位，剩下的三個(gè)數(shù)字選一個(gè)放在第二位，二是最后兩位數(shù)字是50，共有種結(jié)果，根據(jù)加法原理得到結(jié)果．（4）當(dāng)首位是5時(shí)，其他幾個(gè)數(shù)字在三個(gè)位置上排列，當(dāng)首位是4時(shí)，第二位從1，2，3，5四個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，后兩位沒有限制，當(dāng)前兩位是40時(shí)，當(dāng)前三位是403時(shí)，分別寫出結(jié)果數(shù)，相加得到結(jié)果．解：（1）(2)(3)(4)【一隅三反】1．（2023春·福建福州·高二?？计谥校?，1，2，3，4，5，6七個(gè)數(shù)字中取四個(gè)不同的數(shù)組成被5整除的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)有（

）A．260 B．240 C．220 D．200【答案】C【解析】當(dāng)個(gè)位是0時(shí)，共有種情況；當(dāng)個(gè)位是5時(shí)，首位有5種情況，十位和百位有種情況，共有100種情況.綜上共有種.故選：C2．（2023春·重慶長壽·高二重慶市長壽中學(xué)校?？计谥校?至10中的質(zhì)數(shù)能夠組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．12 C．24 D．64【答案】D【解析】1至10中的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，由2，3，5，7組成的沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)可以為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)，這4個(gè)數(shù)字可組成的一位數(shù)有（個(gè)），可組成的沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)有（個(gè)），可組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有（個(gè)），可組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有（個(gè)），3．（2023春·遼寧大連·高二大連二十四中?？计谥校┯眠@五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)夾在中間的偶數(shù)數(shù)字為時(shí)，滿足題意的五位數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè)；當(dāng)夾在中間的偶數(shù)數(shù)字不為時(shí)，將其與看作一個(gè)整體，則有種情況；再將這個(gè)整體和另一個(gè)不為的數(shù)字挑選一個(gè)排在首位，其余數(shù)字任意排序，共有種情況，則滿足題意的五位數(shù)有個(gè)；滿足題意的五位數(shù)共有個(gè).故選：A.4．（2023·內(nèi)蒙古）用0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字：(1)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；(2)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)；(3)能組成多少個(gè)能被5整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；(4)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的比3210大的四位數(shù)．【答案】(1)(2)(3)(4)．【解析】（1）首位不能為零，先確定首位的數(shù)字有5種情況，然后其余的數(shù)字任意排列即可，所以共有個(gè).（2）因?yàn)槭桥紨?shù)，要滿足末尾是偶數(shù)，當(dāng)個(gè)位是0的有個(gè)；個(gè)位是2或4的有，所以共個(gè)（3）個(gè)位是0的有個(gè)；個(gè)位是5的有個(gè)，所以共個(gè)（4）首位比3大的有個(gè)，首位是3百位是4或5時(shí)有個(gè)，當(dāng)首位為3百位為2，十位可以是4或5時(shí)有個(gè)，當(dāng)首位為3百位為2十位為1時(shí)個(gè)為可以是4或5，共2種，共有個(gè)．考法五排列之涂色【例5】2（2023·云南）三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)對(duì)該圖進(jìn)行涂色，有5種不同的顏色提供選擇，相鄰區(qū)域所涂顏色不同.在所有的涂色方案中隨機(jī)選擇一種方案，該方案恰好只用到三種顏色的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】所有的涂色方案分3類：(1)用到三種顏色，為⑤一種顏色，①③同色，②④同色，涂色方法為；(2)用到四種顏色，為⑤一種顏色，①③不同色，②④同色或⑤一種顏色，①③同色，②④不同色，涂色方法為；(3)用到五種顏色，涂色方法為；因此該方案恰好只用到三種顏色的概率是.故選：B．【一隅三反】1．（2023春·山西·高二校聯(lián)考期中）某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準(zhǔn)備給其5個(gè)面涂色，每個(gè)面涂一種顏色，且相鄰兩個(gè)面所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．1080種 B．720種 C．660種 D．600種【答案】A【解析】若使用五種顏色，即每個(gè)面一種顏色，則有種方案；若使用四種顏色，即面AED與面FBC同色，則有種方案.故不同涂色方案有720+360=1080種.故選：A2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，將四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為（

）

A．120 B．96 C．72 D．48【答案】C【解析】由題意知，與任意一點(diǎn)均不同色.只用3種顏色，即同色，且同色，此時(shí)不同染色方法的種數(shù)為；用4種顏色，此時(shí)可能同色，而不同色或同色，而不同色.若同色，而不同色，此時(shí)不同染色方法的種數(shù)為；若同色，而不同色，此時(shí)不同染色方法的種數(shù)為.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，不同染色方法的種數(shù)為.故選：C.3．（2023·浙江）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，多用于哲學(xué)?中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金?木?水?火?土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.下圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020【答案】D【解析】五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件.五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色.故問題轉(zhuǎn)化為如圖五個(gè)區(qū)域，有種不同的顏色可用，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，即色區(qū)域的環(huán)狀涂色問題.

分為以下兩類情況：第一類：三個(gè)區(qū)域涂三種不同的顏色，第一步涂區(qū)域，從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個(gè)區(qū)域上，則有種方法，第二步涂區(qū)域，由于顏色不同，有種方法，第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，則共有種方法；第二類：三個(gè)區(qū)域涂?jī)煞N不同的顏色，由于不能涂同一色，則涂一色，或涂同一色，兩種情況方法數(shù)相同.若涂一色，第一步涂區(qū)域，可看成同一區(qū)域，且區(qū)域不同色，即涂個(gè)區(qū)域不同色，從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個(gè)區(qū)域上，則有種方法，第二步涂區(qū)域，由于顏色相同，則有種方法，第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，則共有種方法；若涂一色，與涂一色的方法數(shù)相同，則共有種方法.由分類計(jì)數(shù)原理可知，不同的涂色方法共有種.故選：D.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）用紅?黃?藍(lán)三種顏色給如圖所示的六個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是（

）A．18 B．24 C．30 D．36【答案】C【解析】設(shè)六個(gè)圓的序號(hào)依次為1，2，3，4，5，6，可知1，2共有種涂色方法，則有：若3與1的顏色相同，則5必須與2的顏色相同，此時(shí)只有1種涂色方法；若3與1的顏色不相同，即3的顏色與1，2均不相同，則4，5，6的顏色均不相同，共有種涂色方法；故不同的涂色方案的種數(shù)是.故選：C.一、單選題1．（2023春·北京大興·高二統(tǒng)考期中）從、、、中任取個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】從、、、中任取個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，只需從這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字全排即可，因此，滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：B.2．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）五張卡片上分別寫有、、、、五個(gè)數(shù)字，則這五張卡片組成的五位數(shù)是偶數(shù)的概率（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若這五張卡片組成的五位數(shù)是偶數(shù)，則個(gè)位數(shù)為偶數(shù)，其余各數(shù)位無限制，因此所求概率為.故選：A.3．（2023秋·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）“繽紛藝術(shù)節(jié)”是西大附中的一個(gè)特色，學(xué)生們可以盡情地發(fā)揮自己的才能，某班的五個(gè)節(jié)目（甲?乙?丙?丁?戊）進(jìn)入了初試環(huán)節(jié)，現(xiàn)對(duì)這五個(gè)節(jié)目的出場(chǎng)順序進(jìn)行排序，其中甲不能第一個(gè)出場(chǎng)，乙不能第三個(gè)出場(chǎng)，則一共有（

）種不同的出場(chǎng)順序.A．72 B．78 C．96 D．120【答案】B【解析】當(dāng)甲在第三出場(chǎng)時(shí)，乙?丙?丁?戊全排列，共有種；當(dāng)甲不在第一、三出場(chǎng)時(shí)，共有種；故共有種不同的出場(chǎng)順序.故選：B4．（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）回文聯(lián)是我國對(duì)聯(lián)中的一種，用回文形式寫成的對(duì)聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代北京城里有一家酒樓叫“天然居”，一次乾隆路過這家酒樓，稱贊樓名的高雅，遂以樓名為題作對(duì)聯(lián)，上聯(lián)是：“客上天然居，居然天上客”.紀(jì)曉嵐對(duì)曰：“人過大佛寺，寺佛大過人”，乾隆微笑頷首，后“天然居”以此為門聯(lián)，遂聲名大噪.在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù)，稱之為：“回文數(shù)”.如66，787，4334等，那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）A．56個(gè) B．64個(gè) C．81個(gè) D．90個(gè)【答案】C【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①4位“回文數(shù)”中數(shù)字全部相同，有9種情況，即此時(shí)有9個(gè)4位“回文數(shù)”；②4位“回文數(shù)”中有2個(gè)不同的數(shù)字，有種情況，即此時(shí)有72個(gè)4位“回文數(shù)”，則一共有個(gè)4位“回文數(shù)”，故選：C5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）中國古代的五經(jīng)是指：《詩經(jīng)》、《尚書》、《禮記》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同學(xué)分別選取了其中一本不同的書作為課外興趣研讀，若甲、乙都沒有選《詩經(jīng)》，乙也沒選《春秋》，則名同學(xué)所有可能的選擇有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【解析】因?yàn)榧住⒁叶紱]有選《詩經(jīng)》，乙也沒選《春秋》，則乙可在《尚書》、《禮記》、《周易》三種書中選擇一種，甲可在除《詩經(jīng)》外的三種書中任選一種，其余三種書可任意排序，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選擇種數(shù)為.故選：D.6．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué)?？计谥校稊?shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著，該書記述了我國古代種算法，分別是：積算（即籌算）、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算和計(jì)數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁、戊五人，該小組要收集九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算種算法的相關(guān)資料，要求每種算法安排一人，但甲不收集九宮算的資料，乙不收集運(yùn)籌算的資料，則不同的分配方案種數(shù)有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如果甲收集運(yùn)籌算的資料，則其余4人共有種分配方案數(shù).如果甲不收集運(yùn)籌算的資料，則收集運(yùn)籌算資料可安排其余3人，而甲可安排收集了知算、成數(shù)算、把頭算的資料，有3種安排方法，其余的3人有種安排方法，故共有種分配方案數(shù)，綜上，共有種不同的分配方案數(shù).故選：D.7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形的對(duì)角線把矩形分成A、B、C、D四部分，現(xiàn)用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，共有（）種不同的涂色方法？A．260 B．180 C．240 D．120【答案】A【解析】由題意知給四部分涂色，至少要用兩種顏色，故可分成三類涂色：第一類，用4種顏色涂色，有種方法．第二類，用3種顏色涂色，選3種顏色的方法有種．在涂的過程中，選對(duì)頂?shù)膬刹糠郑ˋ、C或B、D）涂同色，另兩部分涂異色有種選法；3種顏色涂上去有種涂法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得共種涂法．第三類，用兩種顏色涂色．選顏色有種選法，A、C用一種顏色，B、D涂一種顏色，有種涂法，故共種涂法．∴共有涂色方法120+120+20＝260種，故選：A．8．（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）學(xué)校乒乓團(tuán)體比賽采用場(chǎng)勝制（場(chǎng)單打），每支球隊(duì)派名運(yùn)動(dòng)員參賽，前場(chǎng)比賽每名運(yùn)動(dòng)員各出場(chǎng)次，其中第、位出場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)員在后場(chǎng)比賽中還將各出場(chǎng)次，假設(shè)某球隊(duì)派甲、乙、丙名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，則所有可能的出場(chǎng)情況的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】分以下幾種情況討論：①若前場(chǎng)比賽全贏，此時(shí)，不同的出場(chǎng)情況種數(shù)為種；②若共打場(chǎng)比賽，則第場(chǎng)贏，前場(chǎng)贏場(chǎng)，且第場(chǎng)為第或第位運(yùn)動(dòng)員出場(chǎng)，此時(shí)，不同的出場(chǎng)情況種數(shù)為種；③若共打場(chǎng)比賽，則第場(chǎng)贏，前場(chǎng)贏場(chǎng)，最后場(chǎng)為第和第位運(yùn)動(dòng)員各出場(chǎng)次，此時(shí)，不同的出場(chǎng)情況種數(shù)為種.綜上所述，不同的出場(chǎng)情況種數(shù)為種.故選：C.二、多選題9．（2023春·江蘇南通·高二?？计谥校┰跇淙酥袑W(xué)舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎(jiǎng).現(xiàn)將獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生排成一排合影，則（

）A．3名男生排在一起，有6種不同排法 B．2名女生排在一起，有48種不同排法C．3名男生均不相鄰，有12種不同排法 D．女生不站在兩端，有108種不同排法【答案】BC【解析】由題意得：對(duì)于選項(xiàng)A：3名男生排在一起，先讓3個(gè)男生全排后再作為一個(gè)整體和2個(gè)女生做一個(gè)全排，共有種，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：2名女生排在一起，先讓2個(gè)女生全排后再作為一個(gè)整體和3個(gè)男生做一個(gè)全排，共有種，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：3名男生均不相鄰，先讓3個(gè)男生全排后，中間留出兩個(gè)空位讓女生進(jìn)行插空，共有種，C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：女生不站在兩端，先從三個(gè)男生種選出兩個(gè)進(jìn)行全排后放在兩端，共有種，然后將剩下的3人進(jìn)行全排后放中間，共有種，D錯(cuò)誤.故選：BC10．（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀┠畴娪霸旱囊粋€(gè)播放廳的座位如圖所示（標(biāo)黑表示該座位的票已被購買），甲、乙兩人打算購買兩張?jiān)摬シ艔d的票，目甲、乙不坐前兩排．（

）

A．若甲、乙左右相鄰，則購票的情況共有54種B．若甲、乙不在同一列，則購票的情況共有1154種C．若甲、乙前后相鄰，則購票的情況共有21種D．若甲、乙分坐于銀幕中心線的兩側(cè)，且不坐同一排，則購票的情況共有508種【答案】ABD【解析】若甲、乙左右相鄰，先選座位：在第三排共有10種，在第四排共有種，在第五排有種，在第六排有種在第七排有種，共有27種．再考慮甲乙順序，有種，所以一共有54種購票情況，故A正確．甲、乙在同一列的情況共有種，則甲、乙不在同一列的情況有種，故B正確．若甲、乙前后相鄰，先選座位：有種，再考慮甲乙順序，有種，所以一共有42種購票情況，故C錯(cuò)誤．中心線左側(cè)有18個(gè)座位，右側(cè)有18個(gè)座位．甲、乙分坐于兩側(cè)，有種．甲、乙分坐于兩側(cè)且坐同一排（按每一排考慮），有種，所以甲、乙分坐于兩側(cè)，且不坐同一排的購票情況共有種，故D正確．故選：ABD11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若一個(gè)三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“凸數(shù)”，如231、354等都是“凸數(shù)”，用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則（

）A．組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為60 B．在組成的三位數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為30C．在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為30 D．在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為20【答案】AD【解析】依題意，組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故A正確；個(gè)位為，或時(shí)，三位數(shù)是奇數(shù)，則奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，故B錯(cuò)誤；則偶數(shù)有（個(gè)），故C錯(cuò)誤；將這些“凸數(shù)”分為三類：①十位為，則有（種），②十位為，則有（種），③十位為，則有（種），所以在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為，故D正確．故選：AD．12．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A，如果個(gè)位是0，則有個(gè)無重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)；如果個(gè)位不是0，則有個(gè)無重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)，所以共有個(gè)無重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)，故A正確；對(duì)于B，由于，所以，故B正確；對(duì)于C，由于，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．（2023·云南）某生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案有種．【答案】36【解析】由于甲、乙、丙比較特殊，因此可以將他們先安排，以他們照看第一、四道工序分類討論．①當(dāng)甲照看第一道工序、丙照看第四道工序時(shí)，剩下4個(gè)人選擇2個(gè)照看中間兩道工序，于是有（種）；②當(dāng)乙照看第一道工序、甲照看第四道工序時(shí)，剩下4個(gè)人選擇2個(gè)照看中間兩道工序，于是有（種）；③當(dāng)乙照看第一道工序、丙照看第四道工序時(shí)，剩下4個(gè)人選擇2個(gè)照看中間兩道工序，于是有（種）．綜上所述，不同的安排方案一共有（種）．故答案為：36.14．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考期中）現(xiàn)準(zhǔn)備給每面刻有不同點(diǎn)數(shù)的骰子涂色，每個(gè)面涂一種顏色，相鄰兩個(gè)面所涂顏色不能相同．若有5種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有種．【答案】【解析】5種顏色涂6個(gè)面，則至少有兩個(gè)面同色，兩個(gè)同色面只有在相對(duì)的面上才滿足題設(shè)；①當(dāng)只有1對(duì)同色面時(shí)，選中的面有種可能，選中的顏色有種可能，剩下4個(gè)面用剩下4種顏色分別填充有種可能，所以共有種；②當(dāng)只有2對(duì)同色面時(shí)，選中的面有種可能，選中的顏色有種可能，2種顏色配2對(duì)面有2種可能，剩下2個(gè)面由剩下3種顏色選2種分別涂，有種，共種；③當(dāng)3對(duì)面均同色時(shí)，選中的面有種，選中的顏色有種，3種顏色配了對(duì)面有種，共種；綜上所述：共種.故答案為：15．（2022·高二單元測(cè)試）若個(gè)人排成一排，、、三人互不相鄰，、兩人也不相鄰的排法有種【答案】種【解析】設(shè)剩下的一個(gè)人為，先算A、、三人互不相鄰（含、兩人相鄰）的情況：、、當(dāng)板，有個(gè)空，將A、、插入空，有種，、、全排，有種；則有種，再算A、、三人互不相鄰（、必須兩人相鄰）的情況：把、捆綁成一個(gè)元素（設(shè)為），和剩下的一個(gè)人看成兩個(gè)板，有個(gè)空，將A、、插入空，有種，、全排，有種，、全排，有種，則有種，則滿足條件的排法種數(shù)為種16．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）四色定理又稱四色猜想、四色問題，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一．地圖四色定理最先是由一位叫古德里的英國大學(xué)生提出來的．四色定理的內(nèi)容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色．”某同學(xué)在橫格紙上研究填涂藍(lán)、紅、黃、綠4種顏色問題，如圖，第1行有1個(gè)格子，第2行有2個(gè)格子，…，第n行有n個(gè)格子，將4種顏色在每行中分別進(jìn)行涂色，每行相鄰的格子顏色不同，記為第k行不同涂色種數(shù)，則，．【答案】324【解析】由分步計(jì)數(shù)原理知每行的第一個(gè)格子有4重涂法，其余每個(gè)格子均有3種涂法，故種，，則①，所以②，①-②得，即．故答案為：324，四、解答題17.（2023·全國·高二專題練習(xí)）判斷下列問題是否為排列問題：(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來回的票價(jià)相同)；(2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；(3)選2個(gè)小組去種菜；(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員；(6)某班40名學(xué)生在假期相互打電話．【答案】(1)不是(2)是(3)不是(4)不是(5)是(6)是【解析】(1)票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(3)不存在順序問題，不屬于排列問題．(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．(5)每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(6)A給B打電話與B給A打電話是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題．18．（2023湛江）計(jì)算或解下列方程或不等式(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6).（7）（8）【答案】(1)；(2)；(3)；(4).(5)x=3(6)x=6（7）（8）【解析】(1)(2)(3)(4)若，則所以，解得或（舍）所以(5)由排列數(shù)公式，原方程可化為，化簡(jiǎn)得，解得或或或.因?yàn)閤滿足所以x的取值范圍為.所以原方程的解為．(6)由，得，所以.化簡(jiǎn)得，解得，．因?yàn)榍?，所以原方程的解為x=6．（7）由題意得，化簡(jiǎn)得，即，所以．因?yàn)?，且，所以不等式的解集為．?）由題意可知，且，因?yàn)椋?，，所以原不等式可化為，整理得，所以，，所以原不等式的解集為?9．（2023春·浙江寧波·高二余姚中學(xué)校考階段練習(xí)）按要求解決下列問題，最后用數(shù)字作答.(1)名男學(xué)生、名女學(xué)生和位老師站成一排拍照合影，要求位老師必須站正中間，隊(duì)伍左、右兩端不能同時(shí)是一男學(xué)生和一女學(xué)生，則總共有多少種排法？(2)年月日是澳門回歸祖國周年，某高校為慶祝澳門回歸周年，特舉行了澳門文化周啟動(dòng)儀式文藝晩會(huì)，已知該晩會(huì)共有個(gè)舞蹈類節(jié)目，個(gè)語言類節(jié)目，個(gè)歌曲類節(jié)目，若規(guī)定同類節(jié)目不能相鄰出場(chǎng)，則不同的出場(chǎng)次序有多少種？(3)地面上有并排的七個(gè)汽車位，現(xiàn)有紅、白、黃、黑四輛不同的汽車同時(shí)倒車入庫.當(dāng)停車完畢后，恰有兩個(gè)連續(xù)的空車位，且紅、白兩車互不相鄰的情況有多少種？【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）解：分以下兩種情況討論：①若隊(duì)伍左、右兩端是兩名男生，則不同的排法種數(shù)為種；②若隊(duì)伍左、右兩端是兩名女生，則不同的排法種數(shù)為種.綜上所述，總共有種不同的排法.（2）解：先考慮歌曲類節(jié)目不相鄰，只需將個(gè)歌曲類節(jié)目插入其余個(gè)節(jié)目所形成的空中，此時(shí)共有種不同的排法，其次考慮語言類節(jié)目相鄰且個(gè)歌曲類節(jié)目不相鄰，只需將個(gè)語言類節(jié)目