2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí)事件的相互獨(dú)立性與條件概率全概率公式

2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí)

事件的相互獨(dú)立性與條件概率、全概率公式課前自主預(yù)習(xí)案課堂互動(dòng)探究案課前自主預(yù)習(xí)案必

備

知

識(shí)1.事件的相互獨(dú)立性P(AB)＝P(A)P(B)是事件A與B相互獨(dú)立的充要條件事件A與事件B相互獨(dú)立對任意的兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立性質(zhì)

P(A)P(B|A)

夯

實(shí)

基

礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A＝“第一枚出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于2”，B＝“第二枚出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于6”，則A與B相互獨(dú)立．(

)(2)對于任意兩個(gè)事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(

)(3)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B).(

)(4)若A，B相互獨(dú)立，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，則A，B都不發(fā)生的概率為0.3.(

)√×√√2．(教材改編)天氣預(yù)報(bào)，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率為________．答案：0.38

3．(教材改編)某班為響應(yīng)校團(tuán)委發(fā)起的“青年大學(xué)習(xí)”號(hào)召組織了有獎(jiǎng)知識(shí)競答活動(dòng)，第一環(huán)節(jié)是一道必答題，由甲乙兩位同學(xué)作答，每人答對的概率均為0.7，兩人都答對的概率為0.5，則甲答對的前提下乙也答對的概率是________．(用分?jǐn)?shù)表示)

答案：D

5．(易錯(cuò))從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝________．

課堂互動(dòng)探究案1.了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義．2．了解條件概率，能計(jì)算簡單隨機(jī)事件的條件概率．3．了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系，會(huì)用乘法公式計(jì)算概率．4．會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率．

問題思考·夯實(shí)技能

【問題1】互為對立的兩個(gè)事件是非常特殊的一種事件關(guān)系.如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么它們的對立事件是否也相互獨(dú)立？提示：如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么它們的對立事件也相互獨(dú)立．【問題2】P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)>0)之間存在怎樣的等量關(guān)系？

提示：P(AB)＝P(B)P(A|B)，(其中P(B)>0)．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一

相互獨(dú)立事件的概率角度一事件獨(dú)立性的判斷例1[2024·河南鄭州模擬]現(xiàn)有同副牌中的5張數(shù)字不同的撲克牌，其中紅桃1張、黑桃2張、梅花2張，從中任取一張，看后放回，再任取一張．甲表示事件“第一次取得黑桃撲克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花撲克牌”，丙表示事件“兩次取得相同花色的撲克牌”，丁表示事件“兩次取得不同花色的撲克牌”，則(

)A．乙與丙相互獨(dú)立B．乙與丁相互獨(dú)立C．甲與丙相互獨(dú)立D．甲與乙相互獨(dú)立答案：D

題后師說求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．(2)當(dāng)正面計(jì)算較復(fù)雜或難以入手時(shí)，可從其對立事件入手計(jì)算．鞏固訓(xùn)練1(1)(多選)[2024·廣東深圳模擬]連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A＝

“第一次出現(xiàn)2點(diǎn)”，B＝“第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)”，C＝“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，D＝“兩次點(diǎn)數(shù)之和為9”，則下列說法正確的有(

)A．A與B不互斥且相互獨(dú)立B．A與D互斥且不相互獨(dú)立C．B與D互斥且不相互獨(dú)立D．A與C不互斥且相互獨(dú)立答案：ABD解析：(1)對于A，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次與第二次的結(jié)果互不影響，即A與B相互獨(dú)立；第一次出現(xiàn)2點(diǎn)，第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)可以同時(shí)發(fā)生，A與B不互斥，故A正確；對于B，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果會(huì)影響兩次點(diǎn)數(shù)之和，即A與D不相互獨(dú)立；第一次出現(xiàn)2點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和最大為8，即A與D不能同時(shí)發(fā)生，即A與D互斥，故B正確；對于C，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第二次的結(jié)果會(huì)影響兩次點(diǎn)數(shù)之和，即B與D不相互獨(dú)立；若第一次的點(diǎn)數(shù)為5，第二次的點(diǎn)數(shù)4點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和為9，即B與D可以同時(shí)發(fā)生，即B與D不互斥，故C錯(cuò)誤；對于D，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果不會(huì)影響兩次點(diǎn)數(shù)之和的奇偶，即A與C相互獨(dú)立；若第一次的點(diǎn)數(shù)為2，第二次的點(diǎn)數(shù)3點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和為5是奇數(shù)，即A與C可以同時(shí)發(fā)生，即A與C不互斥，故D正確．故選ABD.

答案：C

答案：B

題后師說求條件概率的常用方法

答案：A

(2)[2024·廣東珠海模擬]某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好羽毛球，50%的同學(xué)愛好乒乓球，70%的同學(xué)愛好羽毛球或愛好乒乓球．在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好乒乓球，則該同學(xué)也愛好羽毛球的概率為________．答案：0.8

答案：A

(2)[2024·廣東深圳模擬]鑰匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分別是50%，30%和20%，而掉在上述三處被找到的概率分別是0.8，0.3和0.1，則找到鑰匙的概率為________．答案：0.51解析：記事件A1為“鑰匙掉在宿舍里”，A2為“鑰匙掉在教室里”，A3為“鑰匙掉在宿舍里”，事件B為“找到鑰匙”，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.8＋0.3×0.3＋0.2×0.1＝0.51.題后師說利用全概率公式解題的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)．(2)求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)．(3)代入全概率公式計(jì)算．鞏固訓(xùn)練3(1)[2024·河北衡水模擬]設(shè)甲乘汽車、動(dòng)車前往某目的地的概率分別為0.4，0.6，汽車和動(dòng)車正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為0.7，0.9，則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為(

)A．0.78

B．0.8C．0.82

D．0.84答案：C解析：(1)設(shè)事件A表示甲正點(diǎn)到達(dá)目的地，事件B表示甲乘動(dòng)車到達(dá)目的地，事件C表示甲乘汽車到達(dá)目的地，由題意知P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A|B)＝0.9，P(A|C)＝0.7.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.6×0.9＋0.4×0.7＝0.54＋0.28＝0.82.故選C.(2)[2024·江蘇南京模擬]某批麥種中，一等麥種占90%，二等麥種占10%，一、二等麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6，0.2，則這批麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率為________．答案：0.56解析：分別記取到一等麥種和二等麥種分別為事件A1，A2，所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒為事件B.由已知可得，P(A1)＝0.9，P(A2)＝0.1，P(B|A1)＝0.6，P(B|A2)＝0.2，由全概率公式可得，P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.9×0.6＋0.1×0.2＝0.56.1．[2021·新高考Ⅰ卷]有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

)A．甲與丙相互獨(dú)立B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立D．丙與丁相互獨(dú)立答案：B

2．[2023·全國甲卷]有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報(bào)足球俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為(

)A.0.8

B．0.4C．0.2

D．0.1答案：A

3．[2022·全國乙卷]某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則(

)A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大答案：D解析：設(shè)第二盤與甲比賽，則p甲＝p2p1(1－p3)＋(1－p2)p1p3＝p1(p2＋p3－2p2p3)．設(shè)第二盤與乙比賽，則p乙＝p2p1(1－p3)＋(1－p1)p2p3＝p2(p1＋p3－2p1p3)．設(shè)第二盤與丙比賽，則p丙＝p3p1(1－p2)＋(1－p1)p2p3＝p3(p1＋p2－2p