人教版九年級數(shù)學上冊重難點專題提優(yōu)訓練專題09相似三角形中動點問題(原卷版+解析)

專題09相似三角形中動點問題考點一相似三角形動點中求時間問題（利用分類討論思想）考點二相似三角形動點中求線段長問題（利用分類討論思想）考點三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題考點四相似三角形中的動點問題與幾何及函數(shù)綜合問題考點一相似三角形動點中求時間問題（利用分類討論思想）例題：（2022·全國·九年級課時練習）如圖，中，，，，動點P從點A出發(fā)在線段上以每秒的速度向O運動，動直線從開始以每秒的速度向上平行移動，分別與交于點E，F(xiàn)，連接，設動點P與動直線同時出發(fā)，運動時間為t秒．當t為__________時，與相似．【變式訓練】1．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在中，，，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為；如果P、Q兩動點同時運動，那么經(jīng)過______秒時與相似．2．（2022·全國·九年級課時練習）在中，，過點B作射線．動點D從點A出發(fā)沿射線方向以每秒3個單位的速度運動，同時動點E從點C沿射線方向以每秒2個單位的速度運動．過點E作交射線于F，G是中點，連接．設點D運動的時間為t，當與相似且點D位于點E左側時，t的值為_____________．3．（2022·山東·測試·編輯教研五九年級階段練習）如圖所示，在矩形中，，，兩只小蟲P和Q同時分別從A，B出發(fā)沿、向終點B，C方向前進，小蟲P每秒走，小蟲Q每秒走，它們同時出發(fā)t秒時，以P、B、Q為頂點的三角形與以A、C、D為頂點的三角形相似，則_____秒．4．（2022·云南·一模）在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A出發(fā)向B以2cm秒的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向A以1cm/秒的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t秒表示移動的時間（0<x<6）那么，當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似？______．5．（2022·山東濰坊·八年級期末）如圖，在中，，，，，垂足為，線段上的動點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點運動，以線段為邊向上作正方形，設點運動的時間為，當點落在的邊上時，的值為________．6．（2022·遼寧·燈塔市第一初級中學九年級期中）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒．(1)當t為何值時，△APQ與△AOB相似？(2)當t為何值時，△APQ的面積為？7．（2021·江蘇·陽山中學九年級階段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點E從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿射線BC方向運動，連接AE，以AE為邊向上作正方形AEFG．設點E的運動時間為t秒（t＞0）．(1)如圖1，EF與CD交于點M，當DM=2CM時，求此時t的值；(2)當點F恰好落在矩形任意兩個頂點的所在直線上時，求出所有符合條件的t的值．8．（2022·全國·九年級課時練習）閱讀與思考如圖是兩位同學對一道習題的交流，請認真閱讀下列對話并完成相應的任務．解決問題：(1)寫出正確的比例式及后續(xù)解答．(2)指出另一個錯誤，并給出正確解答．拓展延伸：(3)如圖，已知矩形ABCD的邊長AB＝3cm，BC＝6cm．某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．考點二相似三角形動點中求線段長問題（利用分類討論思想）例題：（2022·河南·鄭州市樹人外國語中學九年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D、E為AC、BC上兩個動點，若將∠C沿DE折疊，使點C的對應點C′落在AB上，且△ADC′恰好為直角三角形，則此時CD的長為（

）A． B． C．或 D．或【變式訓練】1．（2022·山東·濟南外國語學校九年級階段練習）在中，，點P在上，且，點Q是邊上一個動點，當______時，與相似．2．（2021·河北·唐山市第九中學九年級階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是邊AB上的動點，當△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，AE＝__________．3．（2022·河南·泌陽縣光亞學校九年級階段練習）如圖，邊長為2的正方形中，點為邊中點，點為射線上一動點，過點作，當與相似時，的長度為___________．4．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，有一正方形，邊長為，是邊上的中點，對角線上有一動點，當與相似時，的值為__________．5．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，點P在射線AD上，過點P作PF⊥AE，垂足為F．當點P在射線AD上運動時，若以P、F、E為頂點的三角形與△ABE相似，則PA的值為_________．6．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD邊上的一個動點，則當△ADP與△BCP相似時，DP=__________．考點三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題例題：（2021·湖南永州·一模）如圖已知中，，，，P是線段BC上的動點，則的最小值是______．【變式訓練】1．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD的中點，將△CDE沿CE翻折得△CME，點M落在四邊形ABCE內(nèi)．點N為線段CE上的動點，過點N作NP//EM交MC于點P，則MN+NP的最小值為________．2．（2022·陜西·西安濱河學校三模）如圖半徑為，為直徑，弦，點是半圓弧上的動點（不與A、重合），過點作的垂線交的延長線于點，則面積的最大值為______．3．（2022·遼寧·沈陽市第七中學九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A是x軸上的一動點，以點為直角頂點構造直角三角形（點A，B，C按順時針排列），使，已知點D的坐標是，連接DB，則的最小值為___________．4．（2020·全國·九年級專題練習）在中，，點D是內(nèi)一動點，且滿足，則的最小值____________．的最小值_______5．（2020·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，，，圓C半徑為2，P為圓上一動點，連接最小值__________．最小值__________．6．（2022·福建·九年級階段練習）如圖，四邊形ABCD是矩形，點P是對角線AC上一動點（不與A、C重合），連接PB，過點P作PE⊥PB，交射線DC于點E，已知AD＝3，AC＝5．設AP的長為x．(1)AB＝_______；當x＝1時，＝______；(2)試探究：是否是定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；(3)連接BE，設△PBE的面積為S，求S的最小值．考點四相似三角形中的動點問題與幾何及函數(shù)綜合問題例題：（2022·上海對外經(jīng)貿(mào)大學附屬松江實驗學校花園分校九年級階段練習）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜邊AB上的一個動點，PD⊥AB，交邊AC于點D（點D與點A、C都不重合），E是射線DC上一點，且∠EPD＝∠A．設A、P兩點的距離為x，△BEP的面積為y．(1)求證：AE＝2PE；(2)求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3)當△BEP與△ABC相似時，求△BEP的面積．【變式訓練】1．（2022·湖南·衡東縣楊山實驗中學九年級期中）如圖中，厘米，厘米，是的中點，點從出發(fā)，以厘米/秒的速度沿勻速向點運動，點同時以1厘米/秒的速度從出發(fā)，沿勻速向點運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設它們運動的時間為秒．(1)若，，求的值；(2)設點在上，四邊形為平行四邊形，若，求的長．2．（2022·山東·青島三十九中九年級期中）如圖，在矩形中，是對角線，，，點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度是；點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度是1．兩點同時出發(fā)，設運動時間為，請回答下列問題：(1)當t為何值時，?(2)設四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)關系式；(3)當為何值時，四邊形的面積等于矩形面積的？(4)當為時，是等腰三角形．3．（2022·四川·內(nèi)江市市中區(qū)全安鎮(zhèn)初級中學校九年級階段練習）如圖，Rt△ABC的兩條直角邊cm，cm，點D沿AB從A向B運動，速度是1cm/s，同時，點E沿BC從B向C運動，速度為2cm/s．動點E到達點C時運動終止．連結DE、CD、AE，設運動時間為（s）．(1)當為何值時，△BDE與△ABC相似?(2)設△ADE的面積為S，求S與的函數(shù)解析式；(3)在運動過程中是否存在某一時刻，使?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．4．（2022·上海市羅南中學九年級階段練習）在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射線BC上的一個動點，作PE⊥AP，PE交射線DC于點E，射線AE交射線BC于點F，設BP=x,CE=y(1)如圖，當點P在邊BC上時（P點與點B、C不重合），求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(2)當x=3時，求CF的長；(3)當時，求BP的長5．（2022·山東·濟南陽光100中學九年級階段練習）如圖1，在中，，點P為斜邊上一點，過點P作射線，分別交、于點D，E．(1)問題產(chǎn)生∶若P為中點，當時，

；(2)問題延伸：在（1）的情況下，將若∠DPE繞著點P旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，的值是否會發(fā)生改變？如果不變，請證明；如果改變，請說明理由；(3)問題解決：如圖3，連接，若與相似，求的值．6．（2021·福建·漳州市第七中學九年級階段練習）如圖1，在矩形ABCD中，點E是CD邊上的動點（點E不與點C，D重合），連接AE，過點A作AF⊥AE交CB延長線于點F，連接EF，點G為EF的中點，且點G在線段AB的左側，連接BG．(1)求證：△ADE∽△ABF；(2)若AB＝20，AD＝10，設DE＝x，點G到直線BC的距離為y．①求y與x的函數(shù)關系式；②當時，求x的值；(3)如圖2，若AB＝BC，設四邊形ABCD的面積為S，四邊形BCEG的面積為S1，當時，直接寫出的值．專題09相似三角形中動點問題考點一相似三角形動點中求時間問題（利用分類討論思想）考點二相似三角形動點中求線段長問題（利用分類討論思想）考點三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題考點四相似三角形中的動點問題與幾何及函數(shù)綜合問題考點一相似三角形動點中求時間問題（利用分類討論思想）例題：（2022·全國·九年級課時練習）如圖，中，，，，動點P從點A出發(fā)在線段上以每秒的速度向O運動，動直線從開始以每秒的速度向上平行移動，分別與交于點E，F(xiàn)，連接，設動點P與動直線同時出發(fā)，運動時間為t秒．當t為__________時，與相似．【答案】6或【分析】分別用t表示OP與OE的長度，根據(jù)與都是直角，當與相似時，O與O是對應點，因此分∽與∽兩種情況討論,根據(jù)相似列方程解之即可．【詳解】解：∵動點P從點A出發(fā)在線段上以每秒的速度向O運動，，∴AP=2tcm，OP=(20-2t)cm，又∵動直線從開始以每秒的速度向上平行移動，∴OE=tcm，根據(jù)與都是直角，O與O是對應點，因此分∽與∽兩種情況討論，當∽，即時，，解得：，當∽，即時，，解得：，綜上所述：當t=6或時，與相似，故答案時：6或．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形相似進行討論分析是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在中，，，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為；如果P、Q兩動點同時運動，那么經(jīng)過______秒時與相似．【答案】或##或【分析】設經(jīng)過t秒時，與相似，則,,,利用兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似進行分類討論：時，，即；當時，，即，然后解方程即可求出答案．【詳解】解：設經(jīng)過t秒時，與相似，則,,,∵，∴當時，，即，解得：；當時，，即，解得：；綜上所述：經(jīng)過或秒時，與相似，【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，解題的關鍵是準確分析題意列出方程求解．2．（2022·全國·九年級課時練習）在中，，過點B作射線．動點D從點A出發(fā)沿射線方向以每秒3個單位的速度運動，同時動點E從點C沿射線方向以每秒2個單位的速度運動．過點E作交射線于F，G是中點，連接．設點D運動的時間為t，當與相似且點D位于點E左側時，t的值為_____________．【答案】3或##或3【分析】若與相似，分情況討論，則或，由相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如下圖：，是的中點，．點D位于點E左側時，即，，解得：，，若與相似，則或，或，或故答案為：3或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，解題的關鍵是利用分類討論思想解決問題．3．（2022·山東·測試·編輯教研五九年級階段練習）如圖所示，在矩形中，，，兩只小蟲P和Q同時分別從A，B出發(fā)沿、向終點B，C方向前進，小蟲P每秒走，小蟲Q每秒走，它們同時出發(fā)t秒時，以P、B、Q為頂點的三角形與以A、C、D為頂點的三角形相似，則_____秒．【答案】2或5##5或2【分析】要使以P、B、Q為頂點的三角形與以A、C、D為頂點的三角形相似，則要分兩種情況進行分析．分別是或，從而解得所需的時間．【詳解】解：①若，則，即，解得；②若，則，即，解得．故答案為：2或5．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．4．（2022·云南·一模）在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A出發(fā)向B以2cm秒的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向A以1cm/秒的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t秒表示移動的時間（0<x<6）那么，當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似？______．【答案】或【分析】根據(jù)題意，可分兩種情況來研究，列出關系式，代入數(shù)據(jù)解方程可得答案．【詳解】解：如圖：分兩種情況來計算：當時，，得，解得；當時，，得，解得，故當或時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似故答案為：或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理與性質(zhì)，分類討論是解決此類題的關鍵．5．（2022·山東濰坊·八年級期末）如圖，在中，，，，，垂足為，線段上的動點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點運動，以線段為邊向上作正方形，設點運動的時間為，當點落在的邊上時，的值為________．【答案】或11【分析】需要分在的左邊或右邊兩種情況分別求解即可．【詳解】解：，，，垂足為，，當在的左邊時，如圖：在邊上，由題意得：，，，，，（秒，當在的右邊時，如圖：由題意得：，，，，，，，（秒．故答案為：或11．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線截線段成比例、勾股定理、三角形相似，解題的關鍵是充分利用正方形性質(zhì)，討論的位置．6．（2022·遼寧·燈塔市第一初級中學九年級期中）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒．(1)當t為何值時，△APQ與△AOB相似？(2)當t為何值時，△APQ的面積為？【答案】(1)；(2)2或3．【分析】（1）由AO=6，BO=8得AB=10，①當∠PAQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB．利用其對應邊成比例解t；②當∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB，利用其對應邊成比例解得t．（2）過點Q作QE垂直AO于點E，利用QEBO證明△AEQ∽△AOB，從而得到，從而得出==，再利用三角形面積解得t即可．（1）解：由AO=6，BO=8，，所以，所以AP=t，AQ=，①當∠APQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB所以，所以，解得(秒)②當∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB所以，所以解得(秒)∴當t為或時，△AQP與△AOB相似．（2）過點Q作QE⊥AO于點E，∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QEBO，∴△AEQ∽△AOB，∴∴==，=解得：∴當t=2或3時，△APQ的面積為個平方單位．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)值，解直角三角形等知識點，有一定的拔高難度，屬于難題．7．（2021·江蘇·陽山中學九年級階段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點E從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿射線BC方向運動，連接AE，以AE為邊向上作正方形AEFG．設點E的運動時間為t秒（t＞0）．(1)如圖1，EF與CD交于點M，當DM=2CM時，求此時t的值；(2)當點F恰好落在矩形任意兩個頂點的所在直線上時，求出所有符合條件的t的值．【答案】(1)t=1或t=3(2)t=1或t=3或t=9或t=【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結論；（2）分四種情況討論，根據(jù)矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證明全等或相似，求得BE的長度，進而求解．（1）在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD=AB=3，∵DM=2CM，∴DM=2，CM=1，∵四邊形AEFG是正方形，四邊形ABCD是矩形，∴∠AEM=∠ADM=∠ABE=90°，AD=BC=4，∵∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CEM=90°，∴∠BAE=∠CEM，∴△ABE∽△ECM，∴，∴=，∴t=1或t=3；（2）分四種情況，1°當點F在CD上時，如圖，∵矩形ABCD，∴∠ABE=∠ECF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠EFC=90°，∵正方形AEFG，∴∠AEF=90°，AE=EF，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，∠AEB=∠EFC，在△BAE和△CEF中，，∴△BAE≌△CEF（ASA），∴AB=EC=3，∴BE=BC﹣CE=4﹣3=1，∵動點E從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度，∴t=1；2°當點F落在AD上時，如圖，∵AF時正方形AEFG的對角線，∴∠EAF=45°，∵矩形ABCD，∴∠B=∠BAD=90°，∴∠BAE=45°=∠AEB，∴BE=AB=3，∵動點E從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度，∴t=3；3°當點F落在AC上時，過點F作FM⊥BC交BC于點M，如圖，∵正方形AEFG，∴AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AEB+∠MEF=90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠MEF，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM=BE，EM=AB=3，設FM=BE=x，則MC=4﹣3﹣x=1﹣x，∵∠FCM=∠ACM，∠FMC=∠ABC，∴△FMC∽△ABC，∴，∴，解得：x=，即FM=BE=，∵動點E從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度，∴t=；4°當點F落在BD上時，過點F作FM⊥BC交BC于點M，如圖，∵正方形AEFG，∴AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AEB+∠MEF=90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠MEF，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM=BE，EM=AB=3，設CE=a，則FM=BE=4+a，BM=7+a，∵∠DBC=∠FBM，∠FMB=∠DCB=90°，∴△FBM∽△DBC，∴，∴，解得a=5，∴BE=4+a=9，∵動點E從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度，∴t=9；故所有符合條件的t的值為t=1或t=3或t=9或t=．【點睛】本題是四邊形綜合題，以動點為背景考查了正方形，矩形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)正方形，矩形的性質(zhì)，利用全等或相似求出邊長，進而求解．8．（2022·全國·九年級課時練習）閱讀與思考如圖是兩位同學對一道習題的交流，請認真閱讀下列對話并完成相應的任務．解決問題：(1)寫出正確的比例式及后續(xù)解答．(2)指出另一個錯誤，并給出正確解答．拓展延伸：(3)如圖，已知矩形ABCD的邊長AB＝3cm，BC＝6cm．某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)＝，解答見解析(2)沒有進行分類討論，見解析(3)存在，t＝或t＝【分析】（1）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得＝，再進行計算即可；（2）根據(jù)題意可知另一個錯誤是沒有進行分類討論，進行解答即可；（3）根據(jù)題意可知有兩種情況分別是和，然后列出方程進行計算即可．（1）由題意得∵∴正確比例式是：＝，∴DE＝＝＝＝；（2）另一個錯誤是沒有進行分類討論，如圖，過點D作∠ADE＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，則△ADE∽△ACB，∴＝，∴DE＝＝＝，綜合以上可得：DE為或．（3）由題意可知，有兩種情況，第一種：當時，設AM=t，則AN=6-2t，則由得，解得：t=；第二種：當時，則由，，解得：t=，綜上所述，當t＝或t＝時以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解決此題的關鍵是要學會分類討論．考點二相似三角形動點中求線段長問題（利用分類討論思想）例題：（2022·河南·鄭州市樹人外國語中學九年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D、E為AC、BC上兩個動點，若將∠C沿DE折疊，使點C的對應點C′落在AB上，且△ADC′恰好為直角三角形，則此時CD的長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】依據(jù)△ADC′恰好為直角三角形，分兩種情況進行討論：當∠ADC'＝90°時，當∠DC'A＝90°時，分別依據(jù)相似三角形的對應邊成比例，列方程求解，即可得到CD的長．【詳解】解：①如圖，當∠ADC'＝90°時，∠ADC'＝∠C，∴DC'CB，∴△ADC'∽△ACB，又∵AC＝3，BC＝4，∴，設CD＝C'D＝x，則AD＝3﹣x，∴，解得x，經(jīng)檢驗：x是所列方程的解，∴CD；②如圖，當∠DC'A＝90°時，∠＝90°，由折疊可得，∠C＝∠DC'E＝90°，∴C'B與CE重合，∵∠C＝∠AC'D＝90°，∠A＝∠A，∴△ADC'∽△ABC，Rt△ABC中，AB＝＝5，∴，設CD＝C'D＝x，則AD＝3﹣x，∴，解得x，經(jīng)檢驗：是方程的解，∴CD；綜上所述，CD的長為或．故選：C．【點睛】本題主要考查了折疊問題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，利用相似三角形的性質(zhì)得到比例式列方程是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·山東·濟南外國語學校九年級階段練習）在中，，點P在上，且，點Q是邊上一個動點，當______時，與相似．【答案】2或8##8或2【分析】分和兩種情況求解．【詳解】當時，則，因為，，所以，解得；當時，則，因為，，所以，解得；故答案為：2或8．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確進行分類計算是解題的關鍵．2．（2021·河北·唐山市第九中學九年級階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是邊AB上的動點，當△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，AE＝__________．【答案】或1【分析】分情況討論：∠CED=90°和∠CDE=90°，利用相似三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和直角三角形30度角的性質(zhì)分別可得AE的長．【詳解】解：分兩種情況：①當∠CED=90°時，如圖1，過E作EF⊥CD于F，∵，AD＜BC，∴AB與CD不平行，∴，∴當△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，∴∠BEC=∠CDE=∠ADE，∵∠A=∠B=∠CED=90°，∴∠BCE=∠DCE，∴AE=EF，EF=BE，∴AE=BE=AB=，②當∠CDE=90°時，如圖2，當△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，∵，CE和BC相交，∴AD與CE不平行，∴，∴∠CEB=∠CED=∠AED=60°，∴∠BCE=∠DCE=∠ADE=30°，∵∠A=∠B=90°，∴BE=ED=2AE，∵AB=3，∴AE=1，綜上，AE的值為或1．故答案為：或1．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和直角三角形30度角的性質(zhì)，當兩個直角三角形相似時，要分情況進行討論；正確畫圖是關鍵，注意不要丟解．3．（2022·河南·泌陽縣光亞學校九年級階段練習）如圖，邊長為2的正方形中，點為邊中點，點為射線上一動點，過點作，當與相似時，的長度為___________．【答案】1或【分析】分兩種情形：如圖1中，當點是的中點，時，，此時；如圖2中，當點是的中點時，；分別求解即可得到答案．【詳解】解：如圖1所示：當點是的中點時，，此時；如圖2所示：當點是的中點時，，，，，，，，，，，，，，綜上所述，滿足條件的的值為1或，故答案為：1或．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想解決問題．4．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，有一正方形，邊長為，是邊上的中點，對角線上有一動點，當與相似時，的值為__________．【答案】6或8．【分析】根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)得出比例式解答即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形∴BC＝CD＝，∠C＝90°∵是邊上的中點∴DE＝CE＝CD＝在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝設BF＝x，則有DF＝12﹣x，①當△ABF∽△FDE時，由，即，解得x＝6．②當△ABF∽△EDF時，由，即，解得，x＝8，綜上所述，BF的值為6或8．故答案為：6或8．【點睛】此題考查相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識，關鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程進行解答．5．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，點P在射線AD上，過點P作PF⊥AE，垂足為F．當點P在射線AD上運動時，若以P、F、E為頂點的三角形與△ABE相似，則PA的值為_________．【答案】2或5【分析】分兩種情況討論，由相似三角形的判定和矩形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵E是BC的中點，∴BE=2，如圖，若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB．∴PE∥AB．∴四邊形ABEP為矩形．∴PA=EB=2，如圖，若△PFE∽△ABE，則∠PEF=∠AEB．∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF．∴PE=PA．∵PF⊥AE，∴點F為AE的中點．∵，∴．∵，即，∴PE=5，綜上所述：AP的值為2或5，故答案為：2或5．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．6．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD邊上的一個動點，則當△ADP與△BCP相似時，DP=__________．【答案】2或8或5【分析】需要分類討論：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，分別根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求得DP的長度即可．【詳解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=4，①當△APD∽△PBC時，可得，即，解得：PD＝2或PD＝8；②當△PAD∽△PBC時，可得，即，解得：DP＝5．綜上所述，DP的長度是2或8或5．故答案為：2或8或5．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．考點三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題例題：（2021·湖南永州·一模）如圖已知中，，，，P是線段BC上的動點，則的最小值是______．【答案】【分析】在BC上取一點P，使CP=AP過B作BD⊥AP交AP的延長線于點D．則△BDP∽△ACP，推出DP=BP，所以PA+PB=PA+DP=AD，設CP=a，則AP=3a，a2+42=（3a）2，即得a=，因此AP=3，BP=3-，DP=1-，求出PA+PB=3+1-=．【詳解】解：在BC上取一點P，使CP=AP，過B作BD⊥AP交AP的延長線于點D，則∠D=∠C=90°∴△BDP∽△ACP，∴，即DP=BP，∴PA+PB=PA+DP=AD，設CP=a，則AP=3a，∴a2+42=（3a）2，∴a=，∴AP=3，∴BP=3-，DP=1-，∴PA+PB=3+1-=故答案為：．【點睛】本題考查了胡不歸問題，正確構建相似三角形是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD的中點，將△CDE沿CE翻折得△CME，點M落在四邊形ABCE內(nèi)．點N為線段CE上的動點，過點N作NP//EM交MC于點P，則MN+NP的最小值為________．【答案】【分析】過點M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值為MF的長，證明四邊形DEMG為菱形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】解：作點P關于CE的對稱點P′，由折疊的性質(zhì)知CE是∠DCM的平分線，∴點P′在CD上，過點M作MF⊥CD于F，交CE于點G，∵MN+NP=MN+NP′≤MF，∴MN+NP的最小值為MF的長，

連接DG，DM，由折疊的性質(zhì)知CE為線段DM的垂直平分線，∵AD=CD=2，DE=1，∴CE==，∵CE×DO=CD×DE，

∴DO=，∴EO=，∵MF⊥CD，∠EDC=90°，∴DE∥MF，∴∠EDO=∠GMO，

∵CE為線段DM的垂直平分線，∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°，∴△DOE≌△MOG，∴DE=GM，∴四邊形DEMG為平行四邊形，

∵∠MOG=90°，∴四邊形DEMG為菱形，∴EG=2OE=，GM=DE=1，∴CG=，∵DE∥MF，即DE∥GF，∴△CFG∽△CDE，∴，即，

∴FG=，∴MF=1+=，∴MN+NP的最小值為．故答案為：．【點睛】此題主要考查軸對稱在解決線段和最小的問題，熟悉對稱點的運用和畫法，知道何時線段和最小，會運用勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)求線段長度是解題的關鍵．2．（2022·陜西·西安濱河學校三模）如圖半徑為，為直徑，弦，點是半圓弧上的動點（不與A、重合），過點作的垂線交的延長線于點，則面積的最大值為______．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理即可求解．【詳解】解：半徑為，為直徑，，，，，，．，，，，．當最大即為直徑時，最大，此時，．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理的運用，解決本題的關鍵是證明．3．（2022·遼寧·沈陽市第七中學九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A是x軸上的一動點，以點為直角頂點構造直角三角形（點A，B，C按順時針排列），使，已知點D的坐標是，連接DB，則的最小值為___________．【答案】【分析】如圖，過作軸的垂線，過分別作且垂直于過點與軸垂直的直線，垂足分別為，交軸于，與軸交于點，證明，利用相似三角形的性質(zhì)可得在直線上運動，作關于直線的對稱點，則，當三點共線時，，此時最小，再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：如圖，過作軸的垂線，過分別作且垂直于過點與軸垂直的直線，垂足分別為，交軸于，與軸交于點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設則而，∴，解得：，∴在直線上運動，作關于直線的對稱點，則，當三點共線時，，此時最小，∴∴的最小值為故答案為：【點睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，坐標與圖形，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用相似三角形的性質(zhì)證明在直線上運動是解本題的關鍵．4．（2020·全國·九年級專題練習）在中，，點D是內(nèi)一動點，且滿足，則的最小值____________．的最小值_______【答案】

；

．【分析】如圖，連接CD，在BC上取CE=，連結CD，ED．可證△DCE∽△BCD．可得DE=BD，當點A，D，E在同一條直線時，AD+BD的值最小，在Rt△ACE中，由CE=，CA=4，可求AE=即可；在CA上取點F，使CF=1，連結FD，BF，可證△FCD∽△DCA．可得FD=AD，當點B、D、F，在同一條直線時，BD+AD的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CB=3，根據(jù)勾股定理BF==即可，【詳解】解：①在BC上取CE=，連結CD，ED，∵CD=2，BC=3，∵∴又∵∠DCE=∠BCD，∴△DCE∽△BCD．∴，∴DE=BD，∴AD+BD=AD+DE，當點A，D，E在同一條直線時，AD+BD的值最小，在Rt△ACE中，∵CE=，CA=4，∴AE=，∴AD+BD的最小值為．故答案為：．②如圖，連接CD，在CA上取點F，使CF=1，連結FD、BF，∵CD=2，AC=4，∴，∴，又∵∠FCD=∠ACD，∴△FCD∽△DCA．∴，∴DF=AD，∴BD+AD=BD+DF，當點B，D，F(xiàn)在同一條直線時，BD+AD的值最小，在Rt△BCF中，∵CF=1，CB=3，∴BF==，∴BD+AD的最小值為．故答案為：；【點睛】本題考查構造相似三角形解決比例問題，勾股定理，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，關鍵是引輔助線準確作出圖形是解題關鍵．5．（2020·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，，，圓C半徑為2，P為圓上一動點，連接最小值__________．最小值__________．【答案】

；

．【分析】如圖，連接CP，在CB上取點D，使CD=1，連結AD，可證△PCD∽△BCP．可得PD=BP，當點A，P，D在同一條直線時，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CA=6，根據(jù)勾股定理AD==即可；在AC上取CE=，△PCE∽△ACP．可得PE=AP，當點B，P，E在同一條直線時，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，由CE=，CB=4，根據(jù)勾股定理BE=即可．【詳解】解：如圖，連接CP，在CB上取點D，使CD=1，連結AD，∵CP=2，BC=4，，∴，∴，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD，當點A，P，D在同一條直線時，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，∵CD=1，CA=6，∴AD==，∴AP+BP的最小值為．故答案為：在AC上取CE=，連接CP，PE∵∴又∵∠PCE=∠ACP，∴△PCE∽△ACP．∴，∴PE=AP，∴BP+AP=BP+PE，當點B，P，E在同一條直線時，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，∵CE=，CB=4，∴BD=，∴BP+AP的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查圓的性質(zhì)，構造相似三角形解決比例問題，勾股定理，掌握圓的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，關鍵是引輔助線準確作出圖形是解題關鍵．6．（2022·福建·九年級階段練習）如圖，四邊形ABCD是矩形，點P是對角線AC上一動點（不與A、C重合），連接PB，過點P作PE⊥PB，交射線DC于點E，已知AD＝3，AC＝5．設AP的長為x．(1)AB＝_______；當x＝1時，＝______；(2)試探究：是否是定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；(3)連接BE，設△PBE的面積為S，求S的最小值．【答案】(1)4，(2)是定值，(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理即可求出AB，作PM⊥AB于M交CD于N，證明，利用相似比求出；（2）利用，求出相似比是個定值即可；（3）將△PBE的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求最值即可．（1）解：作PM⊥AB于M交CD于N．如圖1所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3,∠ABC=90°，∵AC＝5，∴．∵∴∴∴，，∴，∵MN＝AD＝3，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為4，；（2）結論：的值為定值．理由如下：當點E在點C左側時，如圖1所示：由PA＝x，可得．∴，，，∵△BMP∽△PNE，∴．當點E在點C右側時，如圖2所示：同理得出．綜上所述：的值為定值．（3）在Rt△PBM中，，∵．∴，∴，∵0＜x＜5，∴時，S有最小值＝．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關鍵是：熟練掌握矩形的性質(zhì)，通過添加輔助線構造三角形相似．本題還考查了二次函數(shù)求最值的問題．考點四相似三角形中的動點問題與幾何及函數(shù)綜合問題例題：（2022·上海對外經(jīng)貿(mào)大學附屬松江實驗學校花園分校九年級階段練習）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜邊AB上的一個動點，PD⊥AB，交邊AC于點D（點D與點A、C都不重合），E是射線DC上一點，且∠EPD＝∠A．設A、P兩點的距離為x，△BEP的面積為y．(1)求證：AE＝2PE；(2)求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3)當△BEP與△ABC相似時，求△BEP的面積．【答案】(1)見解析(2)y＝﹣+x，定義域是0＜x＜(3)或【分析】（1）先由已知條件判斷出，由相似三角形的對應邊成比例即可得出＝，再由，可知，再根據(jù)其對應邊成比例即可求出答案；（2）由，得＝＝，進而可得出AE與DE的關系，作，垂足為點H，由可得出＝＝，進而可得出y與x的關系式；另解：由x，根據(jù)＝，即可得到y(tǒng)與x的關系式；（3）由，得＝，當與相似時，只有兩種情形：或，由相似三角形的對應邊成比例即可得出答案．（1）解：∴＝，∴＝＝．（2）解：由得＝，作，垂足為點H，∴＝＝．∴HE＝x．又∵AB＝2，y＝（2﹣x）?x，即y＝﹣+x．∵點D是AC上一點，∴∴，定義域是．另解：由得＝＝，∴×x＝x，∴×x×2＝x，∴＝，即＝，∴y＝﹣+x．定義域是．（3）解：由，得＝，∴PE＝x?＝x．當△BEP與△ABC相似時，只有兩種情形：或（i）當時，＝，∴＝．解得x＝．∴﹣x××5+×＝．（ii）當時，同理可得x＝，y＝．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，找出圖形中的相似三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是關鍵，在解（3）時要注意分類討論，不要漏解．【變式訓練】1．（2022·湖南·衡東縣楊山實驗中學九年級期中）如圖中，厘米，厘米，是的中點，點從出發(fā)，以厘米/秒的速度沿勻速向點運動，點同時以1厘米/秒的速度從出發(fā)，沿勻速向點運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設它們運動的時間為秒．(1)若，，求的值；(2)設點在上，四邊形為平行四邊形，若，求的長．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由中，厘米，厘米，是的中點，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可求得與的長，又由，，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得的值；（2）過點作于，由四邊形為平行四邊形，易證得，又由平行線分線段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；【詳解】（1）在中，，，是的中點，，，，，，，，即，解得：；（2）過點作于，四邊形為平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，即，解得：，；【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識．注意數(shù)形結合思想與方程思想的應用是解題的關鍵．2．（2022·山東·青島三十九中九年級期中）如圖，在矩形中，是對角線，，，點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度是；點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度是1．兩點同時出發(fā)，設運動時間為，請回答下列問題：(1)當t為何值時，?(2)設四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)關系式；(3)當為何值時，四邊形的面積等于矩形面積的？(4)當為時，是等腰三角形．【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）勾股定理求得，進而根據(jù)題意得出，，當時，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，代入數(shù)據(jù)計算即可求解；（2）過點作，證明，得出，根據(jù)即可得出結論；（3）根據(jù)（2）的結論建立方程，解方程即可求解．（4）根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，，，∴，，∴，∵點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度是；點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度是1，設運動時間為，∴，∴，當時，∴，∴，即，解得；（2）如圖，過點作，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，，∴；（3）解：依題意，解得（不合題意，舍去）（4）解：∵是等腰三角形①當時，即，解得；②當時，如圖，過點作，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，③若如圖，過點作∴，∴，∵∴∴解得∵∴不存在的情形，綜上所述，當或時，是等腰三角形．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的定義，綜合運用以上知識是解題的關鍵．3．（2022·四川·內(nèi)江市市中區(qū)全安鎮(zhèn)初級中學校九年級階段練習）如圖，Rt△ABC的兩條直角邊cm，cm，點D沿AB從A向B運動，速度是1cm/s，同時，點E沿BC從B向C運動，速度為2cm/s．動點E到達點C時運動終止．連結DE、CD、AE，設運動時間為（s）．(1)當為何值時，△BDE與△ABC相似?(2)設△ADE的面積為S，求S與的函數(shù)解析式；(3)在運動過程中是否存在某一時刻，使?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)當為秒或秒時，與相似(2)，(3)存在，當t=，有CD⊥DE【分析】（1）設D點運動時間為t，則AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤），然后分∠BDE=∠BAC，和∠BDE=∠BAC，兩種情況分別證明Rt△BDE∽Rt△BCA，最后后分別根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出t的值即可；（2）過E作EF⊥AB于F，先證Rt△BEF∽Rt△BAC，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段用t表示EF，BF，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（3）先計算出DF=AB-AD-BF，若CD⊥DE，則易證得Rt△ACD∽Rt△FDE，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出t即可．（1）∵，，∴BC=5cm，設點運動時間為秒，，，，，①當，即時，，，即，∴，②當即時，，∴，即，∴，即當為秒或秒時，與相似；（2）過E作EF⊥AB于F，如圖，根據(jù)題意有∠BAC=90°，∵EF⊥AB，∴∠