2025版新教材高中數(shù)學(xué)綜合測評含解析新人教A版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE13綜合測評(滿分:100分;時(shí)間:90分鐘)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.直線x+3y-1=0的傾斜角為 ()A.π2.已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,C上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)F1的距離的最大值為6,過F1的直線交C于A,B兩點(diǎn),且△ABF2的周長為16,則橢圓C的方程為 ()A.x2C.x23.若兩個(gè)向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),則平面ABC的一個(gè)法向量為 ()A.(-1,2,-1) B.(1,2,1)C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)4.已知☉O1:x2+y2-ax=0(a>0)截直線x-y=0所得線段的長度是22,則☉O1與☉O2:(x-4)2+(y-2)2=1的位置關(guān)系是 ()A.內(nèi)切 B.相離 C.外切 D.相交5.已知點(diǎn)P為拋物線y=12x2上的動點(diǎn),A.8 B.196.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同始終線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)B(-1,0),C(0,2),AB=AC,則△ABC的歐拉線方程為 ()A.2x-4y-3=0 B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0 D.2x+4y-3=07.已知拋物線C:y2=8x,圓F:(x-2)2+y2=4(點(diǎn)F為其圓心),直線l:y=k(x-2)(k≠0)自上而下順次與上述兩曲線交于M1,M2,M3,M4四點(diǎn),則下列各式結(jié)果為定值的是 ()A.|M1M3|·|M2M4| B.|FM1|·|FM4|C.|M1M2|·|M3M4| D.|FM1|·|M1M2|8.如圖,已知F1,F2是橢圓T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P是橢圓T上一點(diǎn),且不與x軸重合,過F2作∠F1PF2的外角的平分線的垂線,垂足為Q,A.直線 B.圓 C.橢圓 D.拋物線二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分)9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1D1,C1D1的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是 ()A.A1C1∥平面CEFB.B1D⊥平面CEFC.CE=12DAD.點(diǎn)D與點(diǎn)B1到平面CEF的距離相等10.已知F1、F2是雙曲線C:y24-x22=1的上、下焦點(diǎn),點(diǎn)M是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn),并且以線段F1A.雙曲線C的漸近線方程為y=±2xB.以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=2C.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為±2D.△MF1F2的面積為2311.如圖,直線l1,l2相交于點(diǎn)O,點(diǎn)P是平面內(nèi)的隨意一點(diǎn),若x,y分別表示點(diǎn)P到l1,l2的距離,則稱(x,y)為點(diǎn)P的“距離坐標(biāo)”.下列說法正確的是 ()A.距離坐標(biāo)為(0,0)的點(diǎn)有1個(gè)B.距離坐標(biāo)為(0,1)的點(diǎn)有2個(gè)C.距離坐標(biāo)為(1,2)的點(diǎn)有4個(gè)D.距離坐標(biāo)為(x,x)的點(diǎn)在一條直線上12.在平面直角坐標(biāo)系中,有兩個(gè)圓C1:(x+2)2+y2=r12和C2:(x-2)2+y2=r22,其中常數(shù)r1,r2為正數(shù),滿意r1+r2<4,一個(gè)動圓PA.橢圓 B.雙曲線C.直線 D.拋物線三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.若雙曲線3x2-y2=m的虛軸長為2,則實(shí)數(shù)m的值為.

14.若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一點(diǎn),則點(diǎn)(m,n)到原點(diǎn)的距離d的最小值等于.

15.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)分別為E的兩個(gè)焦點(diǎn)16.《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的鱉臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=4,PA=2,D為AB的中點(diǎn),E為△PAC內(nèi)的動點(diǎn)(含邊界),且PC⊥DE.當(dāng)E在AC上時(shí),AE=,點(diǎn)E的軌跡的長度為.(本題第一空2分,其次空3分)

四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知直線l的斜率為-34,且直線l經(jīng)過直線kx-y+2k+5=0所過的定點(diǎn)(1)求直線l的方程;(2)若直線m平行于直線l,且點(diǎn)P到直線m的距離為3,求直線m的方程.18.(本小題滿分12分)已知☉C:x2+y2=16.(1)設(shè)點(diǎn)Q(x,y)為☉C上的一個(gè)動點(diǎn),求4x+3y的范圍;(2)直線l過點(diǎn)P(3,4),且與☉C交于A、B兩點(diǎn),若|AB|=27,求直線l的方程.19.(本小題滿分12分)如圖,直二面角D-AB-E中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,AE=EB,F為CE上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE.(1)求證:AE⊥平面BCE;(2)求二面角B-AC-E的正弦值;(3)求點(diǎn)D到平面ACE的距離.20.(本小題滿分12分)已知拋物線C:x2=2py(0<p<2)的焦點(diǎn)為F,M(2,y0)是C上一點(diǎn),且|MF|=52(1)求C的方程;(2)直線l交C于A、B兩點(diǎn),kOA·kOB=-2,且△OAB的面積為16,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求直線l的方程.21.(本小題滿分12分)從①CD⊥BC;②BC∥平面PAD這兩個(gè)條件中選一個(gè),補(bǔ)充在下面的橫線上,并完成解答.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=23,E為PB的中點(diǎn),.

(1)求證:四邊形ABCD是直角梯形;(2)求直線AE與平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PB上是否存在一點(diǎn)F,使得AF∥平面PCD?若存在,求PFPB的值;若不存在,請說明理由注:假如選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.22.(本小題滿分12分)已知橢圓E:x2a2+(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E,AB∥DC.記直線AC,BD的斜率分別為k1,k2,試問k1·k2是不是定值?證明你的結(jié)論.答案全解全析一、單項(xiàng)選擇題1.D由直線x+3y-1=0得其斜率為k=-33,設(shè)直線的傾斜角為θ(θ∈所以θ=5π6,所以直線的傾斜角為5π2.A設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).依題意得,a+c=6,且4a=16,∴a=4,c=2,∴b2=a3.A設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則n·AB=0,n·AC=0n=(-1,2,-1);令x=1,則y=-2,z=1,則n=(1,-2,1).故選A.4.D☉O1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-a2圓心到直線x-y=0的距離d=a22=a24-又O2(4,2),∴☉O1與☉O2的圓心距為22,且2-1<22<2+1,5.B依題意可知,拋物線y=12依題意只需干脆考慮P到準(zhǔn)線與P到A點(diǎn)距離之和最小即可,由于在拋物線中P到準(zhǔn)線的距離等于P到焦點(diǎn)的距離,此時(shí)問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為|PF|+|PA|距離之和最小即可,明顯當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)|PF|+|PA|距離之和最小為|FA|,由兩點(diǎn)間距離公式得|FA|=62那么|PA|+|PM|的最小值為|FA|-12=1926.D因?yàn)锽(-1,0),C(0,2),所以線段BC的中點(diǎn)的坐標(biāo)為-12,1,線段BC所在直線的斜率kBC=2,則線段BC的垂直平分線的方程為y-1=-12x+12,即2x+47.C設(shè)M1,M2,M3,M4四點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,x4,由題意知y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)與圓F的圓心(2,0)相同,準(zhǔn)線l0:x=-2.由定義得|M1F|=x1+2,又∵|M1F|=|M1M2|+2,∴|M1M2|=x1,同理,|M3M4|=x4,將y=k(x-2)代入拋物線方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,∴x1x4=4,∴|M1M2|·|M3M4|=4,故選C.8.B延長F2Q與F1P交于點(diǎn)M,連接OQ.因?yàn)镻Q是∠F1PF2的外角的平分線所在直線,且PQ⊥F2M,所以在△PF2M中,|PF2|=|PM|,且Q為線段F2M的中點(diǎn).又O為線段F1F2的中點(diǎn),由三角形的中位線定理,得|OQ|=12|F1M|=12(|PF1|+|PF2|).由橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=2a,所以|OQ|=a二、多項(xiàng)選擇題9.AC建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)AB=2,平面CEF的法向量為n=(x,y,z).∵E,F分別是A1D1,C1D1的中點(diǎn),∴EF∥A1C1,又EF?平面CEF,A1C1?平面CEF,∴A1C1∥平面CEF,故選項(xiàng)A正確;易知C(0,2,0),E(1,0,2),F(0,1,2),B1(2,2,2),D(0,0,0),∴DB1=(2,2,2),EF=(-1,1,0),∴n令x=2,則y=2,z∵DB1=(2,2,2),∴DB1∴B1D不垂直于平面CEF,故選項(xiàng)B錯誤;CE=CD+DD1+D1E=12DA+DD1-DC,DC=(0,2,0),設(shè)點(diǎn)D到平面CEF的距離為d1,則d1=|DCB1C=(-2,0,-2),設(shè)B1到平面CEF的距離為d則d2=|B1C·n||n|=|-10.ACD由雙曲線方程y24-S△MF1F211.ABC對于A,若距離坐標(biāo)為(0,0),即P到兩條直線的距離都為0,P為兩直線的交點(diǎn),即距離坐標(biāo)為(0,0)的點(diǎn)只有1個(gè),A正確;對于B,若距離坐標(biāo)為(0,1),即P到直線l1的距離為0,到直線l2的距離為1,P在直線l1上,到直線l2的距離為1,符合條件的點(diǎn)有2個(gè),B正確;對于C,若距離坐標(biāo)為(1,2),即P到直線l1的距離為1,到直線l2的距離為2,有4個(gè)符合條件的點(diǎn),即與直線l1相距為2的兩條平行線和與直線l2相距為1的兩條平行線的交點(diǎn),C正確;對于D,若距離坐標(biāo)為(x,x),即P到兩條直線的距離相等,則距離坐標(biāo)為(x,x)的點(diǎn)在2條相互垂直的直線上,D錯誤.故選ABC.12.BC由題意得,圓C1的圓心為C1(-2,0),半徑為r1,圓C2的圓心為C2(2,0),半徑為r2,所以|C1C2|=4,設(shè)動圓P的半徑為r.當(dāng)r1+r2<4時(shí),兩圓相離,動圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個(gè)內(nèi)切,一個(gè)外切.①若均內(nèi)切,則|PC1|=r-r1,|PC2|=r-r2,此時(shí)||PC1|-|PC2||=|r1-r2|,當(dāng)r1≠r2時(shí),點(diǎn)P的軌跡是以C1,C2為焦點(diǎn)的雙曲線,當(dāng)r1=r2時(shí),點(diǎn)P在線段C1C2的垂直平分線上.②若均外切,則|PC1|=r+r1,|PC2|=r+r2,此時(shí)||PC1|-|PC2||=|r1-r2|,則點(diǎn)P的軌跡與①相同.③若一個(gè)外切,一個(gè)內(nèi)切,不妨設(shè)與圓C1內(nèi)切,與圓C2外切,則|PC1|=r-r1,|PC2|=r+r2,|PC2|-|PC1|=r1+r2.同理,當(dāng)與圓C2內(nèi)切,與圓C1外切時(shí),|PC1|-|PC2|=r1+r2.此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以C1,C2為焦點(diǎn)的雙曲線,與①中雙曲線不一樣.故選BC.三、填空題13.答案-3或1解析因?yàn)殡p曲線3x2-y2=m的虛軸長為2,①當(dāng)m>0時(shí),雙曲線方程可化為x2m3-②當(dāng)m<0時(shí),雙曲線方程可以化為y2-m-x故實(shí)數(shù)m的值為-3或1.14.答案5解析由y=5(n+215.答案2解析由題意不妨設(shè)|AB|=3,則|BC|=2.設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N,則在Rt△BMN中,|MN|=2c=2,故|BN|=|BM32=1,16.答案2;2解析建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.設(shè)CB=2m,則P(0,0,2),C(0,4,0),D(m,2,0).當(dāng)E在AC上時(shí),設(shè)E(0,t,0)(0≤t≤4),則DE=(-m,t-2,0),又PC=(0,4,-2),所以由PC⊥DE,可得PC·DE=0,即4(t-2)=0,解得t=2,因此AE=2,此時(shí)E為AC的中點(diǎn),可得E(0,2,0).當(dāng)E為AC的中點(diǎn)時(shí),作EE'⊥PC于點(diǎn)E',連接DE',由PC⊥DE,PC⊥EE',DE∩EE'=E,得PC⊥平面DEE',所以點(diǎn)E在△PAC內(nèi)的軌跡為線段EE',因此求出EE'的長度即可.設(shè)PE'=λPC=(0,4λ,-2λ),則E'(0,4λ,2-2λ),所以EE'=(0,4λ-2,2-2λ),由EE'四、解答題17.解析(1)kx-y+2k+5=0整理得k(x+2)+(5-y)=0,所以直線kx-y+2k+5=0過定點(diǎn)P(-2,5), (2分)因此l:y-5=-34(x+2),即3x+4y-14=0. (5分(2)設(shè)直線m的方程為y=-34x+b,b≠72,則所以直線m的方程為y=-34x-118.解析(1)設(shè)4x+3y=t,則直線4x+3y=t與☉C有公共點(diǎn), (2分)所以圓心到直線的距離d≤4, (4分)即|t|42+32≤4,所以4x+3y的范圍為[-20,20]. (6分)(2)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),直線方程為x=3,l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,7),(3,-7),這兩點(diǎn)的距離為27,當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè)其方程為y-4=k(x-3),即kx-y-3k+4=0,設(shè)圓心到此直線的距離為d(d>0),則27=216-d2,解得即|-3k+4|k2+1=3,綜上所述,所求直線方程為7x-24y+75=0或x=3. (12分)19.解析(1)證明:因?yàn)锽F⊥平面ACE,所以BF⊥AE. (1分)因?yàn)槎娼荄-AB-E為直二面角,且CB⊥AB,所以CB⊥平面ABE.所以CB⊥AE. (2分)又BF∩CB=B,所以AE⊥平面BCE. (3分)(2)以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O,OE所在直線為x軸,AB所在直線為y軸,過O點(diǎn)平行于AD的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖. (4分)因?yàn)锳E⊥面BCE,BE?面BCE,所以AE⊥BE.在Rt△AEB中,AB=2,O為AB的中點(diǎn),所以O(shè)E=1.所以A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),則AE=(1,1,0),AC=(0,2,2).設(shè)平面AEC的法向量為n=(x,y,z),則AE·n=0,令x=1,得n=(1,-1,1)是平面AEC的一個(gè)法向量. (7分)又平面BAC的一個(gè)法向量為m=(1,0,0),cos<m,n>=m·n|m||所以二面角B-AC-E的正弦值為63. (9分(3)因?yàn)锳D∥z軸,AD=2,所以AD=(0,0,2), (10分)所以點(diǎn)D到平面ACE的距離d=|AD·n||n|=20.解析(1)將M(2,y0)代入x2=2py(0<p<2),得y0=2p, (2分又|MF|=y0--p2=2p+p2=52,∴p=1,∴拋物線的方程為x2(2)直線l的斜率明顯存在,設(shè)直線l:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+b,x2=2y得x∴x1+x2=2k,x1x2=-2b,由kOA·kOB=y1x1·y2x∴b=4, (9分)∴直線l的方程為y=kx+4,∴直線恒過定點(diǎn)(0,4),原點(diǎn)O到直線l的距離d=41+∴S△OAB=12·d·|AB|=12·41+k=24k2+32=16,∴4k2+32=64,解得k=±22,∴直線l的方程為y=±22x+4. (12分)21.解析選擇①.(1)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,PA⊥CD.∵PA=AD=CD=2,∴PD=22.又∵PC=23,∴CD2+PD2=PC2,得CD⊥PD. (2分)又∵PA∩PD=P,∴CD⊥平面PAD,則CD⊥AD.又∵CD⊥BC,∴AD∥BC.又AD≠BC,∴四邊形ABCD是直角梯形. (4分)(2)過A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AM,PA⊥AD.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.則A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),B(2,-1,0).∵E為PB的中點(diǎn),∴E1,-∴AE=1,-12,1,設(shè)