2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)測試專題強(qiáng)化練十四含解析

PAGE專題強(qiáng)化練(十四)1．(2024·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)點(diǎn)P(1，t)(t>0)是拋物線C：y2＝4x上一點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)．(1)若直線OP與拋物線的準(zhǔn)線l交于點(diǎn)Q，求△QFP的面積；(2)過點(diǎn)P作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別與C交于M，N兩點(diǎn)，證明：直線MN的斜率是定值．＝－1，所以Q(－1，－2)所以S△QFP＝eq\f(1,2)|OF||yP－yQ|＝2.(2)證明：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由題可知，kMP＋kNP＝0，＝0，所以y1＋y2＝－4，所以kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝－1為定值．2．(2024·太原模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，一個頂點(diǎn)為M(0，1)，直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且MA⊥MB.(1)求橢圓C的方程；(2)證明：直線l過定點(diǎn)．(1)解：由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e2＝\f(c2,a2)＝\f(a2－b2,a2)＝\f(3,4)，,b＝1，))解得a2＝4，b2＝1，所以橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)證明：依題意，直線l斜率存在，設(shè)方程為y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，得x1＋x2＝eq\f(－8km,1＋4k2)，＋x2)＋m2，因?yàn)镸A⊥MB，所以eq\o(MA,\s\up14(→))·eq\o(MB,\s\up14(→))＝0，即x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，代入整理得eq\f(4m2－4,1＋4k2)＋eq\f(m2－4k2,1＋4k2)－eq\f(2m,1＋4k2)＋1＝0，即5m2－2m－3＝0，解得m＝－eq\f(3,5)，m＝1(舍)，所以直線l過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(3,5))).3．(2024·寶雞模擬)已知定點(diǎn)S(－2，0)，T(2，0)，動點(diǎn)P為平面上一個動點(diǎn)，且直線SP，TP的斜率之積為－eq\f(3,4).(1)求動點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)B為軌跡E與y軸正半軸的交點(diǎn)，是否存在斜率為eq\f(\r(3),3)的直線l，使得l交軌跡E于M，N兩點(diǎn)，且Q(eq\r(3)，0)恰是△BMN的重心？若存在，求l的方程；若不存在，說明理由．解：(1)設(shè)P(x，y)，由已知有eq\f(y,x＋2)·eq\f(y,x－2)＝－eq\f(3,4)，整理得動點(diǎn)P的軌跡E的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠±2)．(2)由(1)知，E的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠±2)，所以B(0，eq\r(3))，設(shè)存在直線l符合題意，并設(shè)l的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得13x2＋8eq\r(3)mx＋12(m2－3)＝0，由Δ＝(8eq\r(3)m)2－4×13×12(m2－3)>0，得－eq\f(\r(39),3)<m<eq\f(\r(39),3)，x1＋x2＝－eq\f(8\r(3)m,13).＝3eq\r(3)，解得m＝－eq\f(39,8).當(dāng)m＝－eq\f(39,8)時，不滿意－eq\f(\r(39),3)<m<eq\f(\r(39),3)，所以不存在直線l，使得Q是△BMN的重心．4．(2024·濟(jì)寧6月模擬)已知點(diǎn)F為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn)．(1)求過點(diǎn)F、A且和直線x＝9相切的圓C的方程；(2)過點(diǎn)F任作一條不與x軸重合的直線l，直線l與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA，QA分別與直線x＝9相交于點(diǎn)M，N.試證明：以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)F.(1)解：由已知得：a＝3，b＝2eq\r(2)，c＝1，所以A(3，0)，F(xiàn)(1，0)，所以圓C的圓心肯定在線段AF中垂線x＝eq\f(1＋3,2)＝2上，由圓C與直線x＝9相切，得：圓C的半徑r＝9－2＝7，設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為C(2，m)，則有：r＝|AC|＝eq\r(（3－2）2＋（0－m）2)＝7，m＝±4eq\r(3)，即圓心C(2，±4eq\r(3))，所以圓C的方程為：(x－2)2＋(y±4eq\r(3))2＝49.(2)證明：當(dāng)直線l斜率不存在時，其方程為x＝1，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,\f(x2,9)＋\f(y2,8)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝±\f(8,3)，))又因?yàn)锳(3，0)．所以直線PM、QA為y＝±eq\f(4,3)(x－3)．可求得M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為M(9，8)，N(9，－8)或M(9，－8)，N(9，8)，又F(1，0)，所以FM，F(xiàn)N的斜率之積為：kFM·kFN＝eq\f(8－0,9－1)·eq\f(－8－0,9－1)＝－1，所以FM⊥FN.當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)＋9k2－72＝0所以x1＋x2＝eq\f(18k2,8＋9k2)，x1x2＝eq\f(9k2－72,8＋9k2)，y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，又設(shè)M(9，yM)，N(9，yN)由P，A，M共線得：eq\f(y1－0,x1－3)＝eq\f(yM－0,9－3)，yM＝eq\f(6y1,x1－3)，由Q，A，N共線得：eq\f(y2－0,x2－3)＝eq\f(yN－0,9－3)，yN＝eq\f(6y2,x2－3)，所以FM，F(xiàn)N的斜率之積為：kFM·kFN＝eq\f(yM－0,9－1)·eq\f(yN－0,9－1)＝eq\f(yMyN,64)＝eq\f(9y1y2,16（x1－3）（x2－3）)＝eq\f(9k2[x1x2－（x1＋x2）＋1],16[x1x2－3（x1＋x2）＋9])＝eq\f(9k2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9k2－72,8＋9k2)－\f(18k