1.1 集合的概念與表示-2022-2023學年高一數(shù)學《考點•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（蘇教版2019必修第一冊）

1.1集合的概念與表示【考點梳理】考點一元素與集合的概念1．元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素(element)，常用小寫的拉丁字母a，b，c…表示．2．集合：把一些元素組成的總體叫做集合(set)，(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C…表示．3．集合相等：指構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的．4．集合中元素的特性：給定的集合，它的元素必須是確定的、互不相同的．考點二元素與集合的關系1．屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.2．不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.考點三常見的數(shù)集及表示符號數(shù)集非負整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*或N＋ZQR考點四：集合的表示（1）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．（2）描述法：一般地，設A是一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．【題型歸納】題型一：集合的概念1．（2022·全國·高一）①聯(lián)合國安全理事會常任理事國；②充分接近的所有實數(shù)；③方程的實數(shù)解；④中國著名的高等院校.以上對象能構(gòu)成集合的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④2．（2022·全國·高一專題）判斷下列元素的全體可以組成集合的是（

）①湖北省所有的好學校；②直角坐標系中橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)的點；③n的近似值；④不大于5的自然數(shù)．A．①② B．②③ C．②④ D．③④3．（2022·全國·高一專題）設集合M＝{大于0小于1的有理數(shù)}，N＝{小于1050的正整數(shù)}，P＝{定圓C的內(nèi)接三角形}，Q＝{所有能被7整除的數(shù)}，其中無限集是（

）M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q題型二：元素與集合的關系4．（2022·全國·高一課時練習）下列元素與集合的關系中，正確的是（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高一課時練習）已知集合A中含有5和這兩個元素，且，則的值為（

）A．0 B．1或 C．1 D．6．（2022·全國·高一專題練習）已知，，為非零實數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．題型三：根據(jù)元素和集合的關系求參數(shù)7．（2022·全國·高一課時練習）設集合，若，則的值為（

）．A．，2 B． C．，，2 D．，28．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，若，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B．1或0 C．0 D．或09．（2021·北京市第五十七中學高一期中）已知為實數(shù)，，集合中有一個元素恰為另一個元素的倍，則實數(shù)的個數(shù)為（

）A． B． C． D．題型四：集合的表示方法10．（2021·陜西·咸陽市高新一中高一期中）下列命題正確的有（

）（1）很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合；（2）集合與集合是同一個集合；（3），，，0.5，這些數(shù)組成的集合有5個元素；（4）集合是指第二和第四象限內(nèi)的點集.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個11．（2022·江蘇·高一單元測試）下列命題中正確的是（

）①與表示同一個集合②由1，2，3組成的集合可表示為或③方程的所有解的集合可表示為④集合可以用列舉法表示A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都對12．（2021·遼寧·大連八中高一階段練習）集合的元素個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．10 D．12題型五：集合的基本知識綜合問題13．（2022·全國·高一）用列舉法表示下列集合(1)以內(nèi)非負偶數(shù)的集合；(2)方程的所有實數(shù)根組成的集合；(3)一次函數(shù)與的圖象的交點組成的集合．14．（2021·全國·高一）已知,,求實數(shù)的值.15．（2022·全國·高一）已知集合．(1)若集合A中僅含有一個元素，求實數(shù)a的值；(2)若集合A中含有兩個元素，求實數(shù)a的取值范圍．【雙基達標】一、單選題16．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，則（

）A． B．或 C． D．17．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，若，，則與集合間的關系正確的是（

）A．， B．，C．， D．，18．（2022·四川·雅安中學高一開學考試）方程組的解組成的集合為（

）A． B．或C．， D．19．（2022·湖南·株洲二中高一開學考試）已知x，y為非零實數(shù)，則集合為（

）A． B． C． D．20．（2022·全國·高一課時練習）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”寓意創(chuàng)造非凡、探索未來；北京冬殘奧會吉祥物“雪容融”寓意點亮夢想、溫暖世界．這兩個吉祥物的中文名字中的漢字組成集合M，則M中元素的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．621．（2022·全國·高一課時練習）用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的整數(shù)組成的集合；(2)不等式的解集；(3)方程的所有實數(shù)解組成的集合；(4)拋物線上所有點組成的集合；(5)集合.22．（2022·全國·高一課時練習）已知﹣3是由x﹣2，2x2+5x，12三個元素構(gòu)成的集合中的元素，求x的值．【高分突破】一：單選題23．（2022·全國·高一專題練習）以下集合為有限集的是（

）A．由大于10的所有自然數(shù)組成的集合B．平面內(nèi)到一個定點O的距離等于定長l（l＞0）的所有點P組成的集合C．由24與30的所有公約數(shù)組成的集合D．由24與30的所有公倍數(shù)組成的集合24．（2022·全國·高一專題練習）數(shù)集中的x不能取的數(shù)值的集合是（

）A． B． C． D．25．（2021·上海市洋涇中學高一階段練習）以某些整數(shù)為元素的集合P具有以下性質(zhì)：（1）P中元素有正數(shù)，也有負數(shù)；（2）P中元素有奇數(shù)，也有偶數(shù)；（3）；（4）若，則．則下列選項哪個是正確的（

）A．集合P中一定有0但沒有2 B．集合P中一定有0可能有2C．集合P中可能有0可能有2 D．集合P中既沒有0又沒有226．（2021·北京市第十二中學高一階段練習）若集合，則集合A的元素個數(shù)為（

）A．4042 B．4044 C．20212 D．2022227．（2021·全國·高一課時練習）已知集合，，，若，，，則下列結(jié)論中可能成立的是（

）A． B．C． D．二、多選題28．（2022·全國·高一課時練習）下列說法中，正確的是（

）A．若，則B．中最小的元素是0C．的近似值的全體構(gòu)成一個集合D．一個集合中不可以有兩個相同的元素29．（2022·江蘇·揚中市第二高級中學高一開學考試）已知，且，，，則取值可能為（

）A． B． C． D．30．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，則為（

）A．2 B． C．5 D．31．（2022·全國·高一專題練習）已知集合，則下列說法中正確的是（

）A．但B．若，其中，則C．若，其中，則D．若，其中，則32．（2021·重慶市萬州第二高級中學高一期中）設集合是實數(shù)集的子集，如果實數(shù)滿足：對任意，都存在，使得成立，那么稱為集合的聚點，則下列集合中，1為該集合的聚點的有（

）A． B．C． D．整數(shù)集Z三、填空題33．（2022·上?！偷└街懈咭婚_學考試）若，則實數(shù)______．34．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，則集合B中元素的個數(shù)為______.35．（2022·全國·高一課時練習）下列說法中，正確的有______（填序號）①單詞book的所有字母組成的集合的元素共有4個；②集合M中有3個元素：a，b，c，其中a，b，c是的三邊長，則不可能是等腰三角形；③將小于10的自然數(shù)按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排列，可分別構(gòu)成不同的兩個集合；④集合與表示同一個集合．36．（2022·全國·高一課時練習）用符號“”或“”填空.（1）設集合D是由滿足的有序?qū)崝?shù)對組成的，則______D，______D；（2）設集合M由可表示為的實數(shù)構(gòu)成，則0______M，______M，______M.37．（2022·全國·高一單元測試）已知集合，，用符號表示非空集合A中元素的個數(shù)．定義若，則實數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成的集合為______．四、解答題38．（2022·全國·高一課時練習）已知，集合.(1)若A是空集，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若集合A中只有一個元素，求集合A；(3)若集合A中至少有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍.39．（2022·全國·高一單元測試）設關于的不等式的解集為．(1)求；(2)若且，求實數(shù)的取值范圍．40．（2022·全國·高一）試分別用列舉法和描述法表示下列集合：(1)方程的解集；(2)大于且小于的所有整數(shù)組成的集合．41．（2022·全國·高一）已知集合A中的元素全為實數(shù)，且滿足：若，則．(1)若，求出A中其他所有元素．(2)0是不是集合A中的元素？請你取一個實數(shù)，再求出A中的元素．(3)根據(jù)（1）（2），你能得出什么結(jié)論？42．（2022·全國·高一）設集合，集合，這里是某個正數(shù)，且，求集合．43．（2021·全國·高一）已知關于x的方程（m、）.(1)求方程的解集A.(2)若，關于上述方程僅有正整數(shù)解，求m的所有取值組成的集合B.【答案詳解】1．B【分析】根據(jù)集合的概念及性質(zhì)依次判斷即可得到答案.【詳解】對①，聯(lián)合國安全理事會常任理事國包括中國、法國、美國、俄羅斯、英國，能構(gòu)成集合.對②，充分接近的所有實數(shù)，不滿足集合的確定性，不能構(gòu)成集合，對③，方程，，方程無實根，集合為空集，對④，中國著名的高等院校，不滿足集合的確定性，不能構(gòu)成集合，故選：B2．C【分析】集合的元素具有確定性、互異性、無序性，據(jù)此即可選出正確選項．【詳解】①“好學?！辈痪哂写_定性，因此①不能組成集合；②直角坐標系中橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)的點，滿足集合的元素的特征，因此能組成集合；③n的近似值不具有確定性，因此③不能組成集合；④不大于5的自然數(shù)，滿足集合的元素的特征，因此④能組成集合．故選：C．3．B【分析】利用集合中元素的個數(shù)有限與無限進行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：集合M＝{大于0小于1的有理數(shù)}，是無限集，N＝{小于1050的正整數(shù)}，是有限集，P＝{定圓C的內(nèi)接三角形}，是無限集，Q＝{所有能被7整除的數(shù)}，是無限集，故選：B．4．B【分析】由分別表示的數(shù)集，對選項逐一判斷即可.【詳解】不屬于自然數(shù)，故A錯誤；不屬于正整數(shù)，故B正確；是無理數(shù)，不屬于有理數(shù)集，故C錯誤；屬于實數(shù)，故D錯誤.故選:B.5．B【分析】根據(jù)題給條件列出關于a的方程，進而求出a的值，即可求得a3的值【詳解】根據(jù)題意得，整理得，解之得或則或故選：B．6．A【分析】分別對，，的符號進行討論，計算出集合的所有元素，再進行判斷.【詳解】根據(jù)題意，分4種情況討論；①、全部為負數(shù)時，則也為負數(shù)，則；②、中有一個為負數(shù)時，則為負數(shù)，則；③、中有兩個為負數(shù)時，則為正數(shù)，則；④、全部為正數(shù)時，則也正數(shù)，則；則；分析選項可得符合．故選：A.7．D【分析】由集合中元素確定性得到：，或，通過檢驗，排除掉.【詳解】由集合中元素的確定性知或．當時，或；當時，．當時，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當時，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求；當時，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求．綜上，或．故選：D．8．C【分析】根據(jù)或，求出，保留符合元素互異性的值即可.【詳解】若，即時，，不符合集合元素的互異性，舍去；若，即（舍去）或時，，故.故選：C.9．B【分析】由題意分情況討論并判斷即可.【詳解】由題意：當時，，此時集合，不成立；當時，，時不成立，時，集合，成立；當時，集合，成立；當時，或，時集合，不成立，時集合，成立；當時，，時集合，不成立，時集合，成立；當時，或，時集合，不成立，時不成立；故，故選：B.10．A【分析】（1）由集合元素的確定性特征判斷；（2）由數(shù)集和點集判斷；（3）由集合元素的互異性判斷；（4）由x，y可以為0判斷.【詳解】（1）很小的實數(shù)不確定，不能構(gòu)成集合，故錯誤；（2）集合表示二次函數(shù)的值域，是數(shù)集，集合是二次函數(shù)圖象上的點構(gòu)成的集合，是點集，故不同一個集合，故錯誤；（3），，，0.5，這些數(shù)組成的集合有，，，是3個元素，故錯誤；（4）集合是指第二和第四象限內(nèi)及坐標軸上的點集，故錯誤.故選：A11．C【分析】由集合的表示方法判斷①，④；由集合中元素的特點判斷②，③．【詳解】解：對于①，由于“0”是元素，而“”表示含0元素的集合，而不含任何元素，所以①不正確；對于②，根據(jù)集合中元素的無序性，知②正確；對于③，根據(jù)集合元素的互異性，知③錯誤；對于④，由于該集合為無限集、且無明顯的規(guī)律性，所以不能用列舉法表示，所以④不正確.綜上可得只有②正確.故選：C.12．A【分析】根據(jù)題意，集合中的元素滿足x是自然數(shù)，且是自然數(shù)．由此列出與對應值，即可得到題中集合元素的個數(shù)．【詳解】由題意，集合中的元素滿足是自然數(shù)，且是自然數(shù)，由此可得=0，1，3，9；此時的值分別為：4，3，2，1，符合條件的共有4個，故選：A．13．(1)；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)偶數(shù)的定義即可列舉所有的偶數(shù)，（2）求出方程的根，即可寫出集合，（3）聯(lián)立方程求交點，進而可求集合.（1）以內(nèi)的非負偶數(shù)有，所以構(gòu)成的集合為，（2）的根為，所以所有實數(shù)根組成的集合為，（3）聯(lián)立和，解得，所以兩個函數(shù)圖象的交點為，構(gòu)成的集合為14．【分析】由,有或，顯然，解方程求出實數(shù)的值，但要注意集合元素的互異性.【詳解】因為，所以有或，顯然，當時，，此時不符合集合元素的互異性，故舍去；當時，解得，由上可知不符合集合元素的互異性，舍去，故.【點睛】本題考查了元素與集合之間的關系，考查了集合元素的互異性，考查了解方程、分類討論思想.15．(1)或(2)且．【分析】（1）分和兩種情況求解，（2）根據(jù)題意可得，且，從而可求出實數(shù)a的取值范圍．（1）當時，，符合題意；當時，，得．綜上，或．（2）集合A中含有兩個元素，即關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，且，解得且，所以實數(shù)a的取值范圍為且．16．D【分析】依題意可得或，分別求出的值，再代入檢驗是否滿足集合元素的互異性，即可得解.【詳解】∵，∴或．若，解得或．當時，，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當時，集合，滿足題意，故成立．若，解得，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去．綜上所述，．故選：D．17．B【分析】利用元素與集合之間的關系判斷即可.【詳解】中，，，故．中，，，故．故選：B．18．D【分析】首先求出方程組的解，再用列舉法表示集合;【詳解】解：由可得或，故方程組的解組成的集合為，故選：D19．B【分析】分類討論：當時；當時；若x，y異號，分別求出m的值，即可求解.【詳解】當時，；當時，.若x，y異號，不妨設，則.因此或，則.故選：B20．C【分析】根據(jù)集合中元素的互異性即可確定元素的個數(shù).【詳解】解：由集合中元素的互異性知，兩個“墩”相同，去掉一個，“容”“融”不同都保留，所以有5個元素．故選：C21．(1)(2)(3)(4)(5)且【分析】根據(jù)題設中的集合和集合的表示方法，逐項表示，即可求解.（1）解：所有被3整除的整數(shù)組成的集合，用描述法可表示為：（2）解：不等式的解集，用描述法可表示為：.（3）解：方程的所有實數(shù)解組成的集合，用描述法可表示為：.（4）解：拋物線上所有點組成的集合，用描述法可表示為：.（5）解：集合，用描述法可表示為：且.22．x的值為．【分析】由已知可得x﹣2＝﹣3或2x2+5x＝﹣3，分別求出x的值，驗證可得結(jié)論．【詳解】解：當x﹣2＝﹣3時，x＝﹣1，此時這三個元素構(gòu)成的集合為{﹣3，﹣3，12}，不滿足集合元素的互異性；當2x2+5x＝﹣3時．x或x＝﹣1（舍），此時這三個元素構(gòu)成的集合為{，﹣3，12}，滿足集合元素的互異性，綜上，x的值為．23．C【分析】分析選項A中元素限制條件判斷選項A；分析選項B中元素限制條件判斷選項B；列舉選項C中的元素個數(shù)判斷選項C；分析選項D中元素限制條件判斷選項D.【詳解】對于A：大于10的所有自然數(shù)，有無數(shù)個滿足條件的自然數(shù)，所以選項A不合題意；對于B：滿足題意點的軌跡是以點O為圓心，以l為半徑的圓，即滿足條件的點是圓上的點，而圓上有無數(shù)個點，所以選項B不合題意；對于C：24與30的公約數(shù)有：1、2、3、6．共有4個，所以選項C滿足題意；對于D：設，則m是24與30的公倍數(shù)，所以24與30的公倍數(shù)有無數(shù)個，選項D不合題意故選：C．24．C【分析】利用集合中的元素具有互異性的性質(zhì)列出關于x的不等式，解之即可得到x不能取的數(shù)值的集合．【詳解】由解得；由解得．∴x不能取的值的集合為．故選：C．25．A【分析】由（4）得，則（k是正整數(shù)），由（1）可設，且，，可得.利用反證法可得若，則P中沒有負奇數(shù)，若P中負數(shù)為偶數(shù)，得出矛盾即可求解.【詳解】解：由（4）得，則（k是正整數(shù)）．由（1）可設，且，，則、，而．假設，則．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P中，故（k是正整數(shù)），不妨令P中負數(shù)為奇數(shù)（k為正整數(shù)），由（4）得，矛盾．故若，則P中沒有負奇數(shù)．若P中負數(shù)為偶數(shù)，設為（k為正整數(shù)），則由（4）及，得均在P中，即（m為非負整數(shù)），則P中正奇數(shù)為，由（4）得，矛盾．綜上，，.故選:A．26．B【分析】將條件變形為，然后討論n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，進而通過列舉法求得答案.【詳解】由題意，.若n為偶數(shù)，為奇數(shù)，若，以此類推，，共2022個n，每個n對應一個；同理，若n為奇數(shù)，為偶數(shù)，此時，共2022個n，每個n對應一個.于是，共有4044個n，每一個n對應一個m滿足題意.故選：B.27．C【分析】由集合中元素形式，確定，，，的性質(zhì)，然后判斷．【詳解】由題意設，，，，則，不是3的整數(shù)倍，A不可能；，同理B不可能；，，如取，則，即，C成立；，同A可知D不可能．故選：C．28．AD【分析】根據(jù)集合的概念及集合中元素的三個特性：確定性、無序性、互異性即可判斷四個選項的正誤.【詳解】若，則－a也是整數(shù)，即，故A正確；因為實數(shù)集中沒有最小的元素，所以B錯誤；因為“的近似值”不具有確定性，所以不能構(gòu)成集合，故C錯誤；同一集合中的元素是互不相同的，故D正確.故選：AD.29．BCD【分析】分別將各選項代入集合，利用元素與集合之間的關系判斷即可得到答案.【詳解】選項A：當時，，，故，A錯誤；選項B：當時，，，故，B正確；選項C：當時，，，故，C正確；選項D：當時，，，故，D正確.故答案為：BCD.30．BC【分析】結(jié)合元素與集合的關系，集合元素的互異性來求得的值.【詳解】依題意，當時，或，若，則，符合題意；若，則，對于集合，不滿足集合元素的互異性，所以不符合.當時，或，若，則，對于集合，不滿足集合元素的互異性，所以不符合.若，則，符合題意.綜上所述，的值為或.故選：BC31．BC【分析】A選項，求出，，故；BC選項，通過計算可以得到，；D選項，時，不符合要求，D錯誤.【詳解】，故，，所以，A錯誤；，其中，，故，B正確；，其中，，故，C正確；因為，若，此時無意義，故，D錯誤.故選：BC32．ABC【分析】利用集合聚點的新定義，集合的表示及元素的性質(zhì)逐項判斷.【詳解】解：對于A，因為集合中的元素是極限為的數(shù)列，所以對于任意，都存在，使得成立，所以為集合的聚點，故正確；對于B，因為集合中的元素是極限為1的數(shù)列，除第一項外，其余項與之間的距離均小于，所以對任意，都存在，使得的x，所以為集合的聚點，故正確；對于C，對任意，都存在，使得成立，那所以為集合的聚點，故正確；對于D，對任意，如，對任意的整數(shù)，都有或成立，不可能有成立，所以不是集合整數(shù)集Z的聚點，故錯誤；故選：ABC33．【分析】討論或，解出的值，由集合的互異性即可得出答案.【詳解】當x＝-2時，，與互異性矛盾.當時，解得x＝-1或x＝-2（舍去）．當x＝-1時符合題意，故答案為：.34．6【分析】由已知，根據(jù)條件給的集合A，按照集合B給的定義列舉即可完成求解.【詳解】因為，，，所以時，；時，或，時，或3或4.，所以集合B中元素的個數(shù)為6.故答案為：6.35．②【分析】利用集合的定義和性質(zhì)逐項分析可得.【詳解】①不正確．單詞book中的字母o有重復，共有3個不同字母，因此單詞book的所有字母組成的集合的元素個數(shù)是3．②正確．因為a，b，c是集合M中的3個元素，所以a，b，c互不相等，因此的三邊長互不相等，故不可能是等腰三角形.③不正確．小于10的自然數(shù)不管按哪種順序排列，構(gòu)成的集合里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數(shù)，集合是相同的．④不正確．集合表示數(shù)3，4構(gòu)成的集合，集合中有兩個元素，集合表示點集，集合中有一個元素，故集合M與N不是同一個集合．故答案為：②36．

【分析】（1）（2）根據(jù)集合元素的性質(zhì)判斷元素與集合關系.【詳解】（1）不是有序?qū)崝?shù)對，所以；是有序?qū)崝?shù)對且，故.（2）因為，所以；因為，所以.因為，，所以.故答案為：，，，，37．【分析】先由題中條件，得到或，結(jié)合方程分別求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，所以或．當時，或．當時，關于x的方程有3個實數(shù)解，所以關于x的方程只有一個解且不為1和，則，解得．當時，的解為1，不符合題意；當時，的解為-1，符合題意．綜上，a的所有可能取值為0，1，，即所求集合為．故答案為：.38．(1)；(2)當時，；當時，；(3).【分析】（1）根據(jù)空集，結(jié)合一元二次方程的判別式求參數(shù)范圍；（2）（3）討論、，結(jié)合集合元素個數(shù)及一元二次方程判別式求集合或參數(shù)范圍.（1）若A是空集，則關于x的方程無解，此時，且，所以，即實數(shù)a的取值范圍是.（2）當時，，符合題意；當時，關于