專題03 二次根式（講義）（原卷版）

專題03二次根式核心知識點精講1．理解二次根式的意義，能用區(qū)分什么是最簡二次根式，會找出同類二次二次根式．2．理解并掌握二次根式的性質(zhì)．3．理解并掌握非負(fù)數(shù)的概念與?？碱}型．4．掌握二次根式的加減乘除以及混合運算方法．5.理解根式的估值和運用。6.掌握二次根式的化簡求值的方法．考點1二次根式的有關(guān)概念1.二次根式一般地，形如式子的式子叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號“”；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。2.最簡二次根式若二次根式滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式?；胃綖樽詈喍胃降姆椒ê筒襟E：（1）如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進行化簡。（2）如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開得盡方的因數(shù)或因式開出來。3.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式?？键c2二次根式性質(zhì)1.二次根式的性質(zhì)（1）雙重非負(fù)性：（2）（3）積的算術(shù)平方根：（4）商的算術(shù)平方根：考點3非負(fù)數(shù)1.非負(fù)數(shù)：正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。如果a是非負(fù)數(shù)，那么可以表示為。2.常見非負(fù)數(shù)及其性質(zhì)=1\*GB3①實數(shù)的絕對值：；=2\*GB3②實數(shù)的平方：；=3\*GB3③二次根式：；=4\*GB3④如果幾個非負(fù)數(shù)的和為0，那么每個非負(fù)數(shù)為0。如考點4二次根式的運算1.二次根式的加減法：先將各根式化為最簡根式，然后合并被開方數(shù)相同的二次根式。2.二次根式的乘法：3.二次根式的除法：4.二次根式混合運算：二次根式的混合運算與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去括號）。考點5估值估值通常在無理數(shù)中使用。一般采用夾逼法確定無理數(shù)所在的范圍，具體地說，先確定無理數(shù)的被開方數(shù)，找出與被開方數(shù)相鄰的兩個能開得盡方的整數(shù)，對其進行開方，即可確定這個無理數(shù)在那兩個整數(shù)之間?？键c6二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．【題型1：二次根式的有關(guān)概念】【典例1】（2023秋?梅州區(qū)校級）下列各式中，一定是二次根式的是（）A．?3 B．32a C．a(chǎn)2+2【典例2】（2023秋?龍華區(qū)校級期中）要使二次根式x?2有意義，x的值不可以?。ǎ〢．1 B．2 C．2.5 D．3【典例3】（（2023秋?信宜市期中）下列二次根式中，最簡二次根式是（）A．13 B．4 C．36 D．1．（2023?惠城區(qū)校級開學(xué)）已知12+m是整數(shù)，則自然數(shù)m的最小值是（）A．2 B．4 C．8 D．112.（2023秋?信宜市期中）若二次根式x?2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值可以是（）A．5 B．0 C．1 D．﹣53.（2023秋?龍崗區(qū)校級月考）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A．12 B．2 C．13 D．4.（2023秋?信宜市期中）下列二次根式中，能與3合并的是（）A．12 B．12 C．20 D．5．（2023秋?南山區(qū)校級期中）已知最簡二次根式a+2與18是同類二次根式，則a的值為（）A．16 B．0 C．2 D．不確定【題型2：二次根式性質(zhì)】【典例4】（2023秋?坪山區(qū)期中）若y=x?2+2?x+4，則yx＝【典例5】（2023春?番禺區(qū)期末）下列計算正確的是（）A．22=±2 B．(?2)2=?2 1．（2023秋?南山區(qū)期中）下列計算正確的是（）A．(?3)2=?3 B．23+42=62．（2023?越秀區(qū)校級開學(xué)）下列各式中，正確的是（）A．（a+1）2＝a2+1 B．（2a）3＝6a3 C．(?4)2=4 3．（2023?番禺區(qū)一模）下列計算正確的是（）A．22=2 B．(?2)2=?2 C．34．（2023春?東莞市校級）已知：實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：(b?1)2【題型3：非負(fù)數(shù)】【典例6】1.（2023春?新會區(qū)校級）若a、b為實數(shù)，且|a?1|+b+1A．﹣1 B．1 C．0 D．±11．（2023春?東莞市）若a+1+b?1=0，則a1011+A．2 B．0 C．1 D．﹣22．（2023春?雷州市校級）若|x?3|+y+4=0，則（x+y）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．13．（2023春?南山區(qū)校級月考）a?b?3+|2a?4|=0，則a+bA．a(chǎn)+b＝﹣1 B．a(chǎn)+b＝1 C．a(chǎn)+b＝2 D．a(chǎn)+b＝3【題型4：二次根式的運算】【典例7】（2023?茂南區(qū)三模）下列計算正確的是（）A．23?3=2 C．（﹣a）2?a＝a3 D．（a2）3＝a51．（2023秋?龍華區(qū)校級期中）(?5A．5 B．﹣5 C．5 D．?2．（2023秋?坪山區(qū)期中）下列計算正確的是（）A．(?2)2=?2 B．43?33=1 3．（2023?南山區(qū)校級三模）計算：（1﹣π）0+|2?3|?12+（【題型5：估值】【典例8】（2023春?東莞市）規(guī)定用符號[x]表示一個數(shù)的整數(shù)部分，例如[3.65]＝3，[3]＝1，按此規(guī)定[13?1]＝1.10的整數(shù)部分是x，小數(shù)部分是y，則y（x+10A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春?天河區(qū)期末）閱讀下列材料：因為4＜5＜9，即2＜5＜3，所以5的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為5?2，若規(guī)定實數(shù)m的整數(shù)部分記為[m]，小數(shù)部分記為{m}，可得[5]＝2，{5}=3.已知m=2+1，求m+1m的整數(shù)部分為【題型6：二次根式的化簡求值】【典例9】（2023春?海珠區(qū)期末）若，則式子的值為．1．（2023春?潮陽區(qū)校級期中）我們知道形如，的數(shù)可以化簡，其化簡的目的主要是把原數(shù)分母中的無理數(shù)化為有理數(shù)．如：，．這樣的化簡過程叫做分母有理化．我們把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下結(jié)論：①；②設(shè)有理數(shù)，滿足，則；③；④已知，則；⑤．以上結(jié)論正確的有A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．②③④2．（2023春?香洲區(qū)校級期中）若，，則．一．選擇題（共7小題）1．化簡：A． B． C．4 D．22．下列計算正確的是A． B． C． D．3．實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是A．0 B． C． D．4．下列說法：①的相反數(shù)是．②若，則．③若，則的倒數(shù)是，④若，則，其中正確的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．下列各式計算正確的是A． B． C． D．6．下列計算正確的是A． B． C． D．7．一個長方形，面積為，一邊長為，那么這條邊的鄰邊長為A． B． C． D．二．填空題（共5小題）8．當(dāng)時，二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．9．代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．10．化簡：．11．實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．12．計算．三．解答題（共3小題）13．新定義：若無理數(shù)的被開方數(shù)為正整數(shù)）滿足（其中為正整數(shù)），則稱無理數(shù)的“青一區(qū)間”為；同理規(guī)定無理數(shù)的“青一區(qū)間”為．例如：因為，所以，所以的“青一區(qū)間”為，的“青一區(qū)間”為．請解答下列問題：（1）的“青一區(qū)間”是；的“青一區(qū)間”是；（2）若無理數(shù)為正整數(shù)）的“青一區(qū)間”為，的“青一區(qū)間”為，求的值；（3）實數(shù)，，滿足關(guān)系式：，求的算術(shù)平方根的“青一區(qū)間”．14．計算：；15．計算：（1）；（2）一．選擇題（共4小題）1．下列二次根式中，不是最簡二次根式是A． B． C． D．2．下列二次根式中，可以與合并的是A． B． C． D．3．要使二次根式有意義，的值可以是A． B．0 C．1 D．24．能與相乘得1的是A． B． C． D．二．填空題（共4小題）5．若與是同類二次根式，則可能是（寫出一個即可）．6．化簡：（y不等于0）．7．已知，則．8．如果有意義，那么字母的取值范圍是且．三．解答題（共3小題）9．計算：（1）；（2）．10．設(shè)的小數(shù)部分為，的小數(shù)部分為，求的值．11．閱讀與思考閱讀下列材料，并解決相應(yīng)問題：．應(yīng)用：用上述類似的方法化簡下列各式：（1）；（2）若是，求的值．1．（2023秋?深圳）下列運算正確的是A． B． C． D．2．（2022?廣州）代數(shù)式有意義時，應(yīng)滿足的條