6.1 等差數(shù)列（精練）（教師版）

6.1等差數(shù)列（精練）1．（2023·廣西）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，是方程的兩根，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（

）A． B． C．15 D．30【答案】D【解析】，是方程的兩根，所以，又是等差數(shù)列，所以其前20項(xiàng)和為．故選：D2（2023·青海玉樹(shù)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【解析】根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，則，所以，所以，故選：C.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，已知且．則使成立的最小正整數(shù)n的值為（

）A．4 B．5 C．8 D．9【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，又，由，可得，即，所以使成立的最小正整?shù)n的值為9.故選：D.4．（2023·甘肅）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，其前n項(xiàng)和為，且，，則使得的正整數(shù)n的最小值為（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】D【解析】由，得，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，，，，，所以，使得的正整數(shù)n的最小值為.故選:D.5．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)校考二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則取最大值時(shí)的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【解析】等差數(shù)列，，，，，則取最大值時(shí)，.故選：A.6．（2023·天津）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類(lèi)推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”，…，以此類(lèi)推，2023年是癸卯年，請(qǐng)問(wèn)：在100年后的2123年為（

）A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】A【解析】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于，余數(shù)為0，故100年后天干為癸，由于，余數(shù)為4，故100年后地支為未，綜上：100年后的2123年為癸未年.故選：A.7．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）由中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明于東周春秋時(shí)期，距今已2000多年.龍被視為中華古老文明的象征，大型龍類(lèi)風(fēng)箏放飛場(chǎng)面壯觀，氣勢(shì)磅磗，因而廣受喜愛(ài).某團(tuán)隊(duì)耗時(shí)4個(gè)多月做出一長(zhǎng)達(dá)200米、重約25公斤，“龍身”共有180節(jié)“鱗片”的巨龍風(fēng)箏.制作過(guò)程中，風(fēng)箏骨架可采用竹子制作，但竹子易斷，還有一種耐用的碳桿材質(zhì)也可做骨架，但它比竹質(zhì)的成本高.最終團(tuán)隊(duì)決定骨架材質(zhì)按圖中規(guī)律排列（即相鄰兩碳質(zhì)骨架之間的竹質(zhì)骨架個(gè)數(shù)成等差數(shù)列），則該“龍身”中竹質(zhì)骨架個(gè)數(shù)為（

）A．161 B．162 C．163 D．164【答案】B【解析】設(shè)有個(gè)碳質(zhì)骨架，，由已知可得，如果只有個(gè)碳質(zhì)骨架，則骨架總數(shù)少于，所以，所以，且，又解得，所以共有碳質(zhì)骨架18個(gè)，故竹質(zhì)骨架有162個(gè)，故選：B.8．（2023·上海）2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式始于24節(jié)氣倒計(jì)時(shí)，它將中國(guó)人的物候文明、傳承久遠(yuǎn)的詩(shī)歌、現(xiàn)代生活的畫(huà)面和諧統(tǒng)一起來(lái)．我國(guó)古人將一年分為24個(gè)節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同，冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng)，夏至日晷長(zhǎng)最短，周而復(fù)始．已知冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺，夏至日晷長(zhǎng)為1.5尺，則一年中夏至到秋分的日晷長(zhǎng)的和為（

）尺．A．24 B．60 C．40 D．31.5【答案】D【解析】依題意，冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺，記為，夏至日晷長(zhǎng)為1.5尺，記為，因相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同，則從冬至日晷長(zhǎng)到夏至日晷長(zhǎng)的各數(shù)據(jù)依次排成一列得等差數(shù)列，數(shù)列的公差，因夏至日晷長(zhǎng)最短，冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng)，所以夏至到冬至的日晷長(zhǎng)依次排成一列是遞增等差數(shù)列，首項(xiàng)為1.5尺，末項(xiàng)為13.5尺，公差為1，共13項(xiàng)，秋分為第7項(xiàng)，故，所以一年中夏至到秋分的日晷長(zhǎng)的和為(尺).故選：D.9．（2023·江蘇無(wú)錫·輔仁高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿(mǎn)足，，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿(mǎn)足，，故對(duì)任意的，，則，所以，數(shù)列的每一項(xiàng)都是正數(shù)，所以，，可得，由等差中項(xiàng)法可知，數(shù)列是等差數(shù)列，故選：C.10．（2023·江西）若不全相等的非零實(shí)數(shù)成等差數(shù)列且公差為，那么（

）A．可能是等差數(shù)列 B．一定不是等差數(shù)列C．一定是等差數(shù)列，且公差為 D．一定是等差數(shù)列，且公差為【答案】B【解析】若是等差數(shù)列，則，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，則，則，整理得，與非零實(shí)數(shù)不全相等矛盾，所以一定不是等差數(shù)列.故選：B.11．（2023·浙江）南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數(shù)列的第20項(xiàng)為（

）A．172 B．183 C．191 D．211【答案】C【解析】高階等差數(shù)列：1，2，4，7，11，16，22，，令，則數(shù)列：1，2，3，4，5，6，，則數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，，則則故選：C12．（2023·湖南）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，.若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．2022【答案】A【解析】令，則故，為常數(shù)，故數(shù)列是等差數(shù)列故選：A.13．（2023春·安徽亳州）在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，可得：，所?故選：A.13．（2023·海南）等差數(shù)列中，若，則n的值為（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【解析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)知：，，因?yàn)?，故，又，故，所?故選：B.14．（2023·湖北）在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，又，解得：，又，，.故選：B.15．（2023·福建廈門(mén)）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，，，故，又，故，則，故.故選：C.16．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若成等差數(shù)列，且的面積為，則（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】若成等差數(shù)列，則，由余弦定理得，，則，①由的面積為，得，則，②由②÷①得.故選：C.17．（2023·北京）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，，則（

）A． B．4 C． D．【答案】B【解析】由，得，由成等差數(shù)列，得，由余弦定理，得，即，整理，得，由得，由得.則，，所以，故選：B.18．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，命題“”，命題“”，則命題是命題的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由，不能推出，例如，則，所以，故命題是命題的不充分條件；由，不能推出，例如，則，所以，故命題是命題的不必要條件；綜上所述：命題是命題的既不充分也不必要條件.故選：D.19．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，若，，則下列四個(gè)命題正確個(gè)數(shù)為（

）①為的最小值

②

③，

④為的最小值A(chǔ)．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】等差數(shù)列中，，則，故②正確；又，所以，故，則，故③正確；于是可得等差數(shù)列滿(mǎn)足，其為遞增數(shù)列，則，又，所以為的最小值，故①正確，④不正確；則四個(gè)命題正確個(gè)數(shù)為.故選：C.20．（2023·山西陽(yáng)泉·統(tǒng)考三模）（多選）設(shè)無(wú)窮數(shù)列為正項(xiàng)等差數(shù)列且其前n項(xiàng)和為，若，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)等差數(shù)列，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)等差數(shù)列，所以，所以，，，故選：ABD21．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）已知等差數(shù)列是遞減數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且，則（

）A． B．C． D．、均為的最大值【答案】BD【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列是遞減數(shù)列，所以，，所以，，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B正確；因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；因?yàn)橛深}意得，，所以，，故D正確；故選：BD22．（2023·哈爾濱）（多選）在數(shù)列中，若，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．為等差數(shù)列 B．的前n項(xiàng)和C．的通項(xiàng)公式為 D．的最小值為【答案】ABC【解析】由可得，所以是首項(xiàng)為，公差為3的等差數(shù)列，故A正確；，的前n項(xiàng)和，故B正確；由可得，故C正確；因?yàn)椋实淖钚≈挡粸?，故D錯(cuò)誤；故選：ABC23．（2023春·安徽阜陽(yáng)）（多選）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，公差為，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．當(dāng)時(shí)，取得最大值C．D．使得成立的最大自然數(shù)是15【答案】ABC【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，，所以，，，A正確；當(dāng)時(shí)，取得最大值，B正確；，C正確；，，故成立的最大自然數(shù)，D錯(cuò)誤．故選：ABC24．（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若等差數(shù)列前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列的前10項(xiàng)的和為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得，故，所以，所以數(shù)列的前10項(xiàng)的和為.故答案為：.25．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，a，b，c成等差數(shù)列，則____【答案】【解析】由，可得，因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，由正弦定理可得，即，所以，因?yàn)?，所以，所以．故答案為：26．（2023春·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則___________【答案】【解析】由題設(shè)成等差數(shù)列，所以，則，所以.故答案為：27．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，則______.【答案】【解析】設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)?，故，故為常?shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，，，則故答案為：28．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則______．【答案】【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，所以，，又，，所以，，所以．故答案為：29．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測(cè)）中國(guó)古代經(jīng)典數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》記錄了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二（除以3余2），五五數(shù)之剩三（除以5余3），問(wèn)物幾何？”現(xiàn)將1到200共200個(gè)整數(shù)中，同時(shí)滿(mǎn)足“三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三”的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列最大項(xiàng)和最小項(xiàng)之和為_(kāi)__________．【答案】196【解析】被3除余2且被5除余3的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為8，公差為15的等差數(shù)列，則，令，解得，則數(shù)列的最大項(xiàng)為，所以該數(shù)列最大項(xiàng)和最小項(xiàng)之和為．故答案為：196.30．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，，.(1)證明：是等差數(shù)列：(2)記的前n項(xiàng)和為，，求n的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)最小值為10.【解析】（1）解法一：由，得，則，從而.又，所以，即，所以是等差數(shù)列.解法二：由，且，則，得，因?yàn)?，，所以，即，所以是等差?shù)列.（2）解法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為d.當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.又.所以，，又；又，則，且，所以n的最小值為10.解法二：設(shè)等差數(shù)列的公差為d.當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.又，所以.當(dāng)時(shí)，，，所以，，又，則，且，所以n的最小值為10.解法三：設(shè)等差數(shù)列的公差為d.當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.又.當(dāng)時(shí)，，所以，.又，則，且，所以n的最小值為10.1．（2023·廣東廣州·華南師大附中?？既＃┰O(shè)為正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得，可得，又由且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.2．（2023·安徽）已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】依題意，，又=，于是得，因此，要為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)是正整數(shù)，而，則是32的大于1的約數(shù)，又32的非1的正約數(shù)有2，4，8，16，32五個(gè)，則n的值有1，3，7，15，31五個(gè)，所以使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為5.故選：B3．（2023·上海）已知Sn，Tn分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，，設(shè)點(diǎn)A是直線(xiàn)BC外一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)λ的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)镻，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，所以+λ=1，所以+λ=1，，所以+λ=+λ=1，λ=，故選:B.4．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，都有，若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】A【解析】由，得，即，所以數(shù)列為遞增的等差數(shù)列.因?yàn)?，所以，即，則，，所以當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，.因此，有最小值，且最小值為.故選：A.5．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且對(duì)任意，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)的公差為，由題設(shè)條件可知，且則，因此，，而符號(hào)不確定．故選：C．6．（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為，因?yàn)?，即，所以，因?yàn)?，解得，所以，則，這是關(guān)于的二次函數(shù)，開(kāi)口向上，在處取得最小值，由于，最靠近的正整數(shù)為，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：D．7．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的公差，是的首項(xiàng)，是的前項(xiàng)和，設(shè)甲：存在最小值，乙：且，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，則，顯然時(shí)，有最小值.所以，存在最小值，得不出且；若乙成立，即且，則，所以，當(dāng)時(shí)，有，所以，為單調(diào)遞增數(shù)列，所以最小，所以，存在最小值，即甲成立.所以，甲是乙的必要不充分條件.故選：B.8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，則下列命題：①是遞減數(shù)列；②使成立的的最大值是9；③當(dāng)時(shí)，取得最大值；④，其中正確的是（

）A．①② B．①③C．①④ D．①②③【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，故，解得：，由于，故是遞減數(shù)列，①正確；，令，解得：，且，故使成立的的最大值是9，②正確；，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，③正確；，④錯(cuò)誤.故選：D9．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對(duì)也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C10．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）（多選）已知實(shí)數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（

）．A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則恒成立B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則，，，…為等差數(shù)列C．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則D．若數(shù)列為等比數(shù)列，則，，，…為等比數(shù)列【答案】BD【解析】若數(shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)其公差為d,則,顯然當(dāng)才相等，故A錯(cuò)誤，而，作差可得成立，故B正確；若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)其公比為q，則，作商可得或所以或，故C錯(cuò)誤；由題意得各項(xiàng)均不為0，而實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，，即且，結(jié)合選項(xiàng)B的計(jì)算可得，故D正確.故選：BD.11．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．B．若，則的最小值為C．取最小值時(shí)D．設(shè)，則【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得：，解得，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，但，所以的最小值不為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：令，解得，又因?yàn)?，可得的最后一個(gè)負(fù)項(xiàng)為第5項(xiàng)，且