6.2 等比數(shù)列（精練）（教師版）

6.2等比數(shù)列（精練）1．（2023春·廣東佛山）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．8 B．7 C．6 D．4【答案】B【解析】因?yàn)榍?，由?shù)列為等比數(shù)列，可得，又由，所以.故選：B.2．（2023春·江西南昌）已知1，a，b，c，5五個數(shù)成等比數(shù)列，則b的值為A． B． C． D．3【答案】A【解析】因?yàn)?，a，b，c，5五個數(shù)成等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，等比數(shù)列奇數(shù)項的符號一致，，.故選A.3．（2023春·上海普陀）已知，，，四個實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，4，，1三個正實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，，四個實(shí)數(shù)所成等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，又為正實(shí)數(shù)，故.故選：A4．（2023春·云南）已知為等比數(shù)列，若、是方程的兩根，則（

）.A． B． C． D．以上都不對【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，則、、同號，、是方程的兩根，，，和均為負(fù)數(shù)，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，又、同號，.故選：C.5．（2023春·山東德州）已知為等比數(shù)列的前n項和，，，則的值為（

）A．85 B．64 C．84 D．21【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可知，，得，，所以.故選：A6．（2023春·湖北）已知等比數(shù)列的前項和為，且，若，，則（

）A．27 B．45 C．65 D．73【答案】C【解析】由等比數(shù)列前項和的性質(zhì)可得，，，成等比數(shù)列，所以有，即，整理可得，解得（舍）或.又因?yàn)?，所以有，解?7．（2023春·江西）等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比為q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，則S9＝（）A．50 B．100 C．146 D．128【答案】C【解析】根據(jù)題意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18，則S6﹣S3＝18﹣2＝16，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6構(gòu)成等比數(shù)列，故，即S9﹣S6＝128，故S9＝S6+128＝146，故選：C．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，，對任意，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.9．（2023春·北京）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前n項和，，，則（

）A．63 B．31 C．15 D．7【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，，解得，于是，故.故選：D10．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列滿足，則的最小值是（

）A．4 B．9 C．6 D．8【答案】D【解析】由，得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.故選：D11．（2023春·高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，公差不為0，若滿足、、成等比數(shù)列，則的值為（

）A．2 B．3 C． D．不存在【答案】A【解析】由等差數(shù)列的前項和為，公差不為0，若滿足，，成等比數(shù)列，可得，即，整理得，因?yàn)?，所以，又?故選：A.12．（2023春·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知成等比數(shù)列，且1和4為其中的兩項，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】依題意，當(dāng)1和4為兩項時，則，解得或，取，當(dāng)1和4為兩項時，為正數(shù)，大于，當(dāng)1和4為任意連續(xù)的兩項時，等比數(shù)列的公比，必為正數(shù)，大于，當(dāng)1和4為兩項時，由于與同號，必為正數(shù)，大于，所以的最小值為.故選：C13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有3個不同的零點(diǎn)分別為，且成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】D【解析】設(shè)，則常數(shù)項為：，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，即，解得，把代入，所以，解得．故選：D.14．（2023·江西）若，是函數(shù)（，）的導(dǎo)函數(shù)的兩個不同零點(diǎn)，且，，2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】∵∴，，所以為兩個不等的負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，則必有，2成等差數(shù)列，，2，成等比數(shù)列，故有，，解得，，可得，，.故選：A.14．（2023·全國·模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的很多題目取材于現(xiàn)實(shí)生活，有很強(qiáng)的應(yīng)用性和趣味性，其中一道經(jīng)過改編的題目是這樣的：一堆栗子一斗裝不完，兩斗裝不滿，每斗裝400個栗子，一群猴子分這堆栗子，第一只猴子取走全部的一半多一個，第二只猴子取走剩下的一半多一個，……所有猴子均按此規(guī)則依次取栗子，最后一只猴子恰好取完，則這群猴子的只數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【解析】設(shè)共有只猴子，第只猴子取栗子的個數(shù)為，則第只猴子取栗子后，所剩栗子的個數(shù)為，故，，故，又，所以，得，由題意得即，即，即，易知當(dāng)且僅當(dāng)時，符合題意.故選：A15．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列滿足，則取最大值時的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，有，由函數(shù)單調(diào)遞增，且，可得.有，由數(shù)列單調(diào)遞減，所以取得最大值時的值為9，故選：B.16．（2022秋·北京海淀·高三北大附中?？茧A段練習(xí)）已知是公比為q的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時，數(shù)列不一定為遞增數(shù)列，如數(shù)列，公比，而此數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)為遞增數(shù)列時，，則或，所以當(dāng)為遞增數(shù)列時，成立，所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B.17．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）若為等比數(shù)列，則“，是方程的兩根”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，是方程的兩根，所以，，所以，又因?yàn)?，則，又因?yàn)?，所以，即充分性成立；反之，?dāng)時，不成立，則，不是方程的兩根，即必要性不成立；所以“，是方程的兩根”是“”的充分不必要條件.故選：A18．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知a，b，c為非零實(shí)數(shù)，則下列說法一定正確的是（

）A．若a，b，c成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列B．若a，b，c成等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列C．若a2，b2，c2成等比數(shù)列，則a，b，c成等比數(shù)列D．若a，b，c成等差數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【答案】AD【解析】A.若a，b，c成等比數(shù)列，則，則，所以，，成等比數(shù)列，故A正確；B.數(shù)列1，2，3是等差數(shù)列，但數(shù)列，，不是等差數(shù)列，故B錯誤；C.若a2，b2，c2成等比數(shù)列，則，或，若，則a，b，c不成等比數(shù)列，故C錯誤；D.若a，b，c成等差數(shù)列，則，則成立，所以，，成等比數(shù)列，故D正確.故選：AD19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，若此數(shù)列為等比數(shù)列，則__________．【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列的前項和，所以，；又，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則也滿足，即，解得.故答案為20．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）等比數(shù)列的公比為，其前n項和為，且，．若仍為等比數(shù)列，則______．【答案】【解析】由得：，則，所以，又，所以，又，所以，所以，因?yàn)?，，，所以，解得：，?dāng)時，是等比數(shù)列.故答案為：.21．（2023春·廣東佛山）已知等差數(shù)列的前項和為，公差，，是與的等比中項，則的最大值為________.【答案】【解析】由是與的等比中項，得，即，即，又，所以，所以，所以，所以當(dāng)或時，取得最大值.故答案為：.22．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記等差數(shù)列的前項和為，若，，且，，成等比數(shù)列，則__________.【答案】【解析】依題意，有，解得，故.因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，解得，故.故答案為：23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，且、是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，則___________.【答案】【解析】因?yàn)樵跀?shù)列中，，，則，所以，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項為，公比為，因?yàn)椤⑹呛瘮?shù)的兩個零點(diǎn)，由韋達(dá)定理可得，因?yàn)?，可得，所以，，由等比中項的性質(zhì)可得，因此，.故答案為：.24．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為其前n項和.若，，則的值為__________.【答案】40【解析】因?yàn)?，，所以，，則等比數(shù)列的公比，所以，，也是等比數(shù)列，所以，，也是等比數(shù)列，所以，即，解得或，又，所以.故答案為：40.25．（2023春·黑龍江大慶·高二鐵人中學(xué)?？计谥校?shù)列滿足，，，求證：是等比數(shù)列；【答案】證明見解析【解析】，，∵，∴，∴，又因?yàn)椋啵詳?shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．26．（2023春·江西·高二臨川一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項公式.【答案】證明見解析，【解析】，，，數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，，當(dāng)時，即，又也滿足上式，數(shù)列的通項公式為；1．（2023春·山西）在數(shù)列中，，，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由題意得，，，即，所以當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，；設(shè)的前n項和為，則，.若為奇數(shù)，則為3的倍數(shù)，不是的倍數(shù)，不合題意；當(dāng)為偶數(shù)，則，即，所以.故選：B2．（2023春·安徽阜陽）如果數(shù)列是等比數(shù)列，那么（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列【答案】C【解析】對于C，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以為非零常數(shù)，則數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；對于ABD，取，則，數(shù)列是等比數(shù)列，則，，，故，，，所以，則數(shù)列不是等比數(shù)列，故A錯誤.而，，，顯然，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯誤.而，，，則，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯誤.故選：C.3．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，其前項的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④使成立的最小的自然數(shù)n等于199．其中正確結(jié)論的編號是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【解析】對于①：，，，，．又，，且，，故①正確；對于②：，故②錯誤；對于③：，故③正確；對于④：，，故④正確．故選：D．4．（2023·甘肅蘭州·蘭化一中?？寄M預(yù)測）已知方程的四個根組成以1為首項的等比數(shù)列，則（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【解析】設(shè)方程的四個根由小到大依次為，，，，不妨設(shè)的一根為1，則另一根為27，所以，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，所以，，所以等比數(shù)列，，，的公比為，所以，，由韋達(dá)定理得，可得.故選：C.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】B【解析】當(dāng)時，則，不合乎題意；當(dāng)時，對任意的，，且有，可得，可得，此時，與題干不符，不合乎題意；故，故A錯誤；對任意的，，且有，可得，此時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結(jié)合可得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得故，，∴，故B正確；是數(shù)列中的最大值,故CD錯誤故選：B.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．

B．C．是數(shù)列中的最大值

D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】A【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，，則有，有，又由0，即，必有，由此分析選項：對于A，，故，A正確；對于B，等比數(shù)列中，，，則，則，即，B錯誤；對于C，，則是數(shù)列中的最大項，C錯誤；對于D，由C的結(jié)論，D錯誤；故選：A.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，前n項積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論中不正確的有（

）A．q>1B．C．D．是數(shù)列中的最大項【答案】A【解析】因?yàn)?，所以或，而為等比?shù)列，，于是，，則A錯誤；，則B正確；，則C正確；因?yàn)椋允菙?shù)列中的最大項，則D正確.故選：A.8．（2023河南省濮陽市）（多選）學(xué)校食堂每天中午都會提供A，B兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為.而前一天選擇了套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為；前一天選擇B套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率也是，如此反復(fù).記某同學(xué)第天選擇套餐的概率為，選擇B套餐的概率為.一個月（30天）后，記甲?乙?丙三位同學(xué)選擇套餐的人數(shù)為，則下列說法中正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】ABD【解析】由于每人每次只能選擇A，B兩種套餐中的一種，所以，所以正確，依題意，，則，又時，，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時，，所以，所以ABD正確，C錯誤，故選：ABD.9．（2023·湖南長沙·周南中學(xué)?？既＃ǘ噙x）已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【答案】ABC【解析】對于A，，時，，解得，因此，，是等差數(shù)列，A正確；對于B，，，則，而，是等比數(shù)列，B正確；對于C，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項是，，，因此，則，成等差數(shù)列，C正確；對于D，若等比數(shù)列的公比，則不成等比數(shù)列，D錯誤.故選：ABC10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）1979年,李政道博士給中國科技大學(xué)少年班出過一道智趣題:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡覺,準(zhǔn)備第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起來,先吃掉1個桃子,然后將其分成5等份,藏起自己的一份就去睡覺了;第2只猴子又爬起來,吃掉1個桃子后,也將桃子分成5等份,藏起自己的一份睡覺去了;以后的3只猴子都先后照此辦理.問最初至少有多少個桃子?最后至少剩下多少個桃子?”.下列說法正確的是(

)A．若第n只猴子分得個桃子(不含吃的),則B．若第n只猴子連吃帶分共得到個桃子,則為等比數(shù)列C．若最初有個桃子,則第只猴子分得個桃子(不含吃的)D．若最初有個桃子,則必有的倍數(shù)【答案】ABD【解析】設(shè)最初有個桃子,猴子每次分剩下的桃子依次為,則,若第n只猴子分得個桃子(不含吃的),則,所以,即,故A正確;由A，,則,即是等比數(shù)列,若第n只猴子連吃帶分共得到個桃子,則,所以是以為公比的等比數(shù)列,故B正確.由B知,是等比數(shù)列,所以,即,若最初有個桃子,即,所以,故C錯誤;根據(jù)題意:,因?yàn)橐詾楣鹊牡缺葦?shù)列,所以,化簡得,因?yàn)?且為正整數(shù),所以,即必有的倍數(shù),故D正確.故選:ABD.11．（2023春·河南鄭州）在等比數(shù)列中，，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則＝__________.【答案】【解析】由函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)，由，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則，