高考數(shù)學(xué)科學(xué)復(fù)習(xí)提升版第49講橢圓（一）

第49講橢圓(一)[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).2.掌握橢圓的簡單應(yīng)用．1．橢圓的概念平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做eq\x(\s\up1(01))橢圓．這兩個定點叫做橢圓的eq\x(\s\up1(02))焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的eq\x(\s\up1(03))焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：(1)若eq\x(\s\up1(04))a>c，則集合P表示橢圓；(2)若eq\x(\s\up1(05))a＝c，則集合P表示線段；(3)若eq\x(\s\up1(06))a<c，則集合P為空集．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍eq\x(\s\up1(07))－a≤x≤eq\x(\s\up1(08))aeq\x(\s\up1(09))－b≤y≤eq\x(\s\up1(10))beq\x(\s\up1(11))－b≤x≤eq\x(\s\up1(12))beq\x(\s\up1(13))－a≤y≤eq\x(\s\up1(14))a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為eq\x(\s\up1(15))2a；短軸B1B2的長為eq\x(\s\up1(16))2b焦距|F1F2|＝eq\x(\s\up1(17))2c焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)離心率e＝eq\x(\s\up1(18))eq\f(c,a)∈eq\x(\s\up1(19))(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝eq\x(\s\up1(20))a2－b2橢圓的焦點三角形橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點三角形．如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.(1)當(dāng)P為短軸端點時，θ最大．(2)S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時，即點P為短軸端點時，△PF1F2的面積取最大值，最大值為bc.(3)焦點三角形的周長為2(a＋c)．(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.1．已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦點為F1(－4，0)，則m＝()A．2 B．3C．4 D．9答案B解析4＝eq\r(25－m2)(m>0)?m＝3.故選B.2．(人教A選擇性必修第一冊習(xí)題3.1T1改編)方程eq\r(（x－4）2＋y2)＋eq\r(（x＋4）2＋y2)＝10的化簡結(jié)果是()A.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1答案C解析由方程左邊式子的幾何意義及橢圓定義可知，方程表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓，且c＝4，a＝5，所以b2＝a2－c2＝9，故化簡結(jié)果為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.3．(人教A選擇性必修第一冊3.1.2例4改編)已知橢圓C：16x2＋4y2＝1，則下列結(jié)論正確的是()A．長軸長為eq\f(1,2) B．焦距為eq\f(\r(3),4)C．短軸長為eq\f(1,4) D．離心率為eq\f(\r(3),2)答案D解析把橢圓方程16x2＋4y2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,16))＝1，所以a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(\r(3),4)，則長軸長2a＝1，焦距2c＝eq\f(\r(3),2)，短軸長2b＝eq\f(1,2)，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).故選D.4．若方程eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示橢圓，則k的取值范圍是________．答案(3，4)∪(4，5)解析由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－k＞0，,k－3＞0，,5－k≠k－3，))解得3＜k＜5且k≠4.5．(人教B選擇性必修第一冊習(xí)題2－5BT2改編)已知點P(x1，y1)是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點，當(dāng)∠F1PF2最大時，△PF1F2的面積是________．答案12解析∵橢圓的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，∴a＝5，b＝4，c＝eq\r(25－16)＝3，∴F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)．根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知當(dāng)點P與短軸端點重合時，∠F1PF2最大，此時△PF1F2的面積S＝eq\f(1,2)×2×3×4＝12.考向一橢圓的定義及其應(yīng)用例1(1)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A是圓上任意一點，N(2，0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是()A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線答案B解析點P在線段AN的垂直平分線上，故|PA|＝|PN|.又AM是圓的半徑，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由橢圓的定義知，動點P的軌跡是橢圓．(2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,24)＋eq\f(y2,49)＝1的兩個焦點，P是橢圓上一點，3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積等于()A．24 B．26C．22eq\r(2) D．24eq\r(2)答案A解析由橢圓的方程可得a2＝49，b2＝24，則c2＝a2－b2＝49－24＝25，所以a＝7，c＝5，由3|PF1|＝4|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6，可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以△PF1F2的面積等于eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×8×6＝24.故選A.1．橢圓定義的應(yīng)用范圍(1)確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的軌跡是否為橢圓．(2)解決與焦點有關(guān)的距離問題．2．焦點三角形的應(yīng)用橢圓上一點P與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通過整體代入可求其面積等．1.(多選)已知P是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上一點，橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且cos∠F1PF2＝eq\f(1,3)，則()A．△PF1F2的周長為12B．S△PF1F2＝2eq\r(2)C．點P到x軸的距離為eq\f(2\r(10),5)D.eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝2答案BCD解析由橢圓方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq\r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周長為2a＋2c＝6＋2eq\r(5)，故A錯誤；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－eq\f(2,3)|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，故S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×6×eq\f(2\r(2),3)＝2eq\r(2)，故B正確；設(shè)點P到x軸的距離為d，則S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·d＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)d＝2eq\r(2)，所以d＝eq\f(2\r(10),5)，故C正確；eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|cos∠F1PF2＝6×eq\f(1,3)＝2，故D正確．故選BCD.2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是橢圓eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1上的一個動點，點A(1，1)，B(0，－1)，則|PA|＋|PB|的最大值為________．答案5解析∵橢圓的方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴B(0，－1)是橢圓的一個焦點，設(shè)另一個焦點為C(0，1)，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義知，|PB|＋|PC|＝4，∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5，即|PA|＋|PB|的最大值為5.考向二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)已知△ABC的周長為12，B(0，－2)，C(0，2)，則頂點A的軌跡方程為()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1(x≠0) B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1(x≠0) D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1(y≠0)答案A解析∵△ABC的周長為12，頂點B(0，－2)，C(0，2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴頂點A到兩個定點的距離之和等于定值，又8>4，∴頂點A的軌跡是橢圓，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，∴橢圓的方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1(x≠0)．(2)已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(eq\r(6)，1)，P2(－eq\r(3)，－eq\r(2))，則該橢圓的方程為________．答案eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1解析設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因為橢圓經(jīng)過P1，P2兩點，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6m＋n＝1，,3m＋2n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))所以所求橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法(1)定義法：根據(jù)橢圓的定義確定2a，2c，然后確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點位置寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)待定系數(shù)法：具體過程是先定位，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點位置不確定，那么要考慮是否有兩解．有時為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．解題步驟如下：1.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，點A(0，b)，點B在橢圓C上，eq\o(AF1,\s\up6(→))＝2eq\o(F1B,\s\up6(→))，D，E分別是AF2，BF2的中點，且△DEF2的周長為4，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(3y2,8)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(3y2,4)＝1 D．x2＋eq\f(3y2,2)＝1答案B解析因為eq\o(AF1,\s\up6(→))＝2eq\o(F1B,\s\up6(→))，所以A，F(xiàn)1，B三點共線，且|AF1|＝2|F1B|，因為D，E分別為AF2，BF2的中點，所以4a＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2(|DE|＋|DF2|＋|EF2|)＝8，所以a＝2.設(shè)B(x0，y0)，F(xiàn)1(－c，0)，A(0，b)，由eq\o(AF1,\s\up6(→))＝2eq\o(F1B,\s\up6(→))，可得(－c，－b)＝2(x0＋c，y0)，求得x0＝－eq\f(3c,2)，y0＝－eq\f(b,2)，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3c,2)，－\f(b,2)))，因為點B在橢圓C上，所以eq\f(9c2,16)＋eq\f(1,4)＝1，求得c2＝eq\f(4,3)，b2＝eq\f(8,3)，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(3y2,8)＝1.故選B.2．已知橢圓的長軸長為10，其焦點到中心的距離為4，則這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．答案eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1解析因為橢圓的長軸長為10，其焦點到中心的距離為4，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝10，,c＝4，))解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1；當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1.綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1.多角度探究突破考向三橢圓的幾何性質(zhì)角度橢圓的長軸、短軸、焦距例3(多選)某月球探測器在繞月飛行時是以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點與月球表面距離為100公里，遠(yuǎn)月點與月球表面距離為400公里，已知月球的直徑約為3476公里，則下列說法正確的是()A．焦距約為300公里B．長軸長約為3988公里C．兩焦點坐標(biāo)約為(±150，0)D．離心率約為eq\f(75,994)答案AD解析設(shè)該橢圓的長半軸長為a，半焦距為c.依題意可得月球半徑約為eq\f(1,2)×3476＝1738，a－c＝100＋1738＝1838，a＋c＝400＋1738＝2138，所以2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988，c＝2138－1988＝150，2c＝300，橢圓的離心率約為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(150,1988)＝eq\f(75,994)，所以A，D正確，B錯誤；因為沒有給坐標(biāo)系，所以焦點坐標(biāo)不確定，C錯誤．角度離心率問題例4(1)(2023·深圳模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(21),6)C.eq\f(\r(7),4) D.eq\f(2,3)答案C解析在橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，由橢圓的定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a，因為|PF1|＝3|PF2|，所以|PF2|＝eq\f(a,2)，|PF1|＝eq\f(3a,2)，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2，即4c2＝eq\f(9a2,4)＋eq\f(a2,4)－eq\f(3a2,4)＝eq\f(7a2,4)，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(7,16)，所以C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(7),4).故選C.(2)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率e的取值范圍為________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析若橢圓上存在點P，使得∠F1PF2＝90°，則以原點為圓心，F(xiàn)1F2為直徑的圓與橢圓必有交點，如圖，可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥eq\f(1,2)，又e<1，所以e的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).角度與橢圓有關(guān)的最值(范圍問題)例5(1)(2021·全國乙卷)設(shè)B是橢圓C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的上頂點，點P在C上，則|PB|的最大值為()A.eq\f(5,2) B.eq\r(6)C.eq\r(5) D．2答案A解析由P在C上，設(shè)P(x0，y0)，則eq\f(xeq\o\al(2,0),5)＋yeq\o\al(2,0)＝1，又B(0，1)，所以|PB|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2，由eq\f(xeq\o\al(2,0),5)＋yeq\o\al(2,0)＝1，得xeq\o\al(2,0)＝5－5yeq\o\al(2,0)，y0∈[－1，1]，代入上式，得|PB|2＝5－5yeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2，化簡，得|PB|2＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,4)，y0∈[－1，1]．因此當(dāng)且僅當(dāng)y0＝－eq\f(1,4)時，|PB|取得最大值eq\f(5,2).故選A.(2)設(shè)A，B是橢圓C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是()A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)答案A解析由題意知，當(dāng)M在短軸頂點時，∠AMB最大．①如圖1，當(dāng)焦點在x軸，即m<3時，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(m)，tanα＝eq\f(\r(3),\r(m))≥tan60°＝eq\r(3)，∴0<m≤1.②如圖2，當(dāng)焦點在y軸，即m>3時，a＝eq\r(m)，b＝eq\r(3)，tanα＝eq\f(\r(m),\r(3))≥tan60°＝eq\r(3)，∴m≥9.綜上，m的取值范圍是(0，1]∪[9，＋∞)．故選A.1．求橢圓的離心率的方法(1)直接求出a，c來求解，通過已知條件列方程組，解出a，c的值．(2)構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．(3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．2．橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式，例如，在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求橢圓相關(guān)量的范圍時，要注意應(yīng)用這些不等式．1.(2022·全國甲卷)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為eq\f(1,4)，則C的離心率為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)答案A解析A(－a，0)，設(shè)P(x1，y1)，則Q(－x1，y1)，則kAP＝eq\f(y1,x1＋a)，kAQ＝eq\f(y1,－x1＋a)，故kAP·kAQ＝eq\f(y1,x1＋a)·eq\f(y1,－x1＋a)＝eq\f(yeq\o\al(2,1),－xeq\o\al(2,1)＋a2)＝eq\f(1,4)，又eq\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，則yeq\o\al(2,1)＝eq\f(b2（a2－xeq\o\al(2,1)）,a2)，所以eq\f(\f(b2（a2－xeq\o\al(2,1)）,a2),－xeq\o\al(2,1)＋a2)＝eq\f(1,4)，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，所以橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),2).故選A.2．(多選)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，點P(1，1)在橢圓內(nèi)部，點Q在橢圓上，則以下說法正確的是()A．|QF1|＋|QP|的最小值為2a－1B．橢圓C的短軸長可能為2C．橢圓C的離心率的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－1,2)))D．若eq\o(PF1,\s\up6(→))＝eq\o(F1Q,\s\up6(→))，則橢圓C的長軸長為eq\r(5)＋eq\r(17)答案ACD解析由題意可知2c＝2，則c＝1，因為點Q在橢圓上，所以|QF1|＋|QF2|＝2a，|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|，又－1≤－|QF2|＋|QP|≤1，所以2a－1≤|QF1|＋|QP|≤2a＋1，所以A正確；因為點P(1，1)在橢圓內(nèi)部，所以b＞1，2b＞2，所以B錯誤；因為點P(1，1)在橢圓內(nèi)部，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＜1，即b2＋a2－a2b2＜0，又c＝1，b2＝a2－c2，所以(a2－1)＋a2－a2(a2－1)＜0，化簡可得a4－3a2＋1＞0，解得a2＞eq\f(3＋\r(5),2)或a2＜eq\f(3－\r(5),2)(舍去)，則橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＜eq\f(1,\r(\f(3＋\r(5),2)))＝eq\f(1,\f(\r(5)＋1,2))＝eq\f(\r(5)－1,2)，所以C正確；由eq\o(PF1,\s\up6(→))＝eq\o(F1Q,\s\up6(→))可得，F(xiàn)1為PQ的中點，而P(1，1)，F(xiàn)1(－1，0)，所以Q(－3，－1)，|QF1|＋|QF2|＝eq\r(（－3＋1）2＋（－1－0）2)＋eq\r(（－3－1）2＋（－1－0）2)＝eq\r(5)＋eq\r(17)＝2a，所以D正確．故選ACD.課時作業(yè)一、單項選擇題1．已知橢圓eq\f(x2,11－m)＋eq\f(y2,m－3)＝1的長軸在y軸上，且焦距為4，則m＝()A．5 B．6C．9 D．10答案C解析由橢圓eq\f(x2,11－m)＋eq\f(y2,m－3)＝1的長軸在y軸上，且焦距為4，可得eq\r(m－3－11＋m)＝2，解得m＝9.故選C.2．(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq\f(x2,4)＋y2＝1的離心率分別為e1，e2.若e2＝eq\r(3)e1，則a＝()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.eq\r(6)答案A解析由e2＝eq\r(3)e1，得eeq\o\al(2,2)＝3eeq\o\al(2,1)，因此eq\f(4－1,4)＝3×eq\f(a2－1,a2)，而a>1，所以a＝eq\f(2\r(3),3).故選A.3．(2023·湖南模擬)曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與曲線eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(k<9且k≠0)的()A．長軸長相等 B．短軸長相等C．焦距相等 D．離心率相等答案C解析曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1表示焦點在x軸上，長軸長為10，短軸長為6，離心率為eq\f(4,5)，焦距為8的橢圓．曲線eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(k<9且k≠0)表示焦點在y軸上，長軸長為2eq\r(25－k)，短軸長為2eq\r(9－k)，焦距為2eq\r(（25－k）－（9－k）)＝8，離心率為eq\f(4,\r(25－k))的橢圓．故選C.4．(2023·全國甲卷)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的兩個焦點，點P在C上，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，則|PF1|·|PF2|＝()A．1 B．2C．4 D．5答案B解析解法一：因為eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，從而S△F1PF2＝b2tan45°＝1＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝2.故選B.解法二：因為eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，由橢圓方程可知，c2＝5－1＝4?c＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(5)，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.故選B.5．(2022·全國甲卷)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,3)，A1，A2分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－1，則C的方程為()A.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,2)＋y2＝1答案B解析因為離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(1,3)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(8,9)，b2＝eq\f(8,9)a2，A1，A2分別為C的左、右頂點，則A1(－a，0)，A2(a，0)，B為C的上頂點，所以B(0，b)，所以eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq\o(BA2,\s\up6(→))＝(a，－b)．因為eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－1，所以－a2＋b2＝－1，將b2＝eq\f(8,9)a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.故選B.6．已知點M在橢圓eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1上運(yùn)動，點N在圓x2＋(y－1)2＝1上運(yùn)動，則|MN|的最大值為()A．1＋eq\r(19) B．1＋2eq\r(5)C．5 D．6答案B解析設(shè)圓x2＋(y－1)2＝1的圓心為C(0，1)，則|MN|≤|MC|＋r＝|MC|＋1，設(shè)M(x0，y0)，則eq\f(xeq\o\al(2,0),18)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),9)＝1?xeq\o\al(2,0)＝18－2yeq\o\al(2,0)，所以|MC|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋（y0－1）2)＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－2y0＋1)＝eq\r(18－2yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－2y0＋1)＝eq\r(－yeq\o\al(2,0)－2y0＋19)＝eq\r(－（y0＋1）2＋20)≤2eq\r(5)，當(dāng)且僅當(dāng)y0＝－1時取等號，所以|MN|≤|MC|＋1≤2eq\r(5)＋1.故選B.7．(2023·全國甲卷)已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩個焦點，O為原點，P為橢圓上一點，cos∠F1PF2＝eq\f(3,5)，則|PO|＝()A.eq\f(2,5) B.eq\f(\r(30),2)C.eq\f(3,5) D.eq\f(\r(35),2)答案B解析解法一：設(shè)∠F1PF2＝2θ，0＜θ＜eq\f(π,2)，所以S△PF1F2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2)＝b2tanθ，由cos∠F1PF2＝cos2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq\f(3,5)，解得tanθ＝eq\f(1,2).由橢圓方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|yP|＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×|yP|＝6×eq\f(1,2)，解得yeq\o\al(2,P)＝3，所以xeq\o\al(2,P)＝9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,6)))＝eq\f(9,2)，因此|PO|＝eq\r(xeq\o\al(2,P)＋yeq\o\al(2,P))＝eq\r(3＋\f(9,2))＝eq\f(\r(30),2).故選B.解法二：因為|PF1|＋|PF2|＝2a＝6①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq\f(6,5)|PF1||PF2|＝12②，聯(lián)立①②，解得|PF1||PF2|＝eq\f(15,2)，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→)))，所以|PO|＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|，即|eq\o(PO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(|\o(PF1,\s\up6(→))|2＋2\o(PF1,\s\up6(→))·\o(PF2,\s\up6(→))＋|\o(PF2,\s\up6(→))|2)＝eq\f(1,2)eq\r(21＋2×\f(3,5)×\f(15,2))＝eq\f(\r(30),2).故選B.解法三：因為|PF1|＋|PF2|＝2a＝6①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq\f(6,5)|PF1||PF2|＝12②，聯(lián)立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，由中線定理可知，(2|PO|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，易知|F1F2|＝2eq\r(3)，解得|PO|＝eq\f(\r(30),2).故選B.8．(2021·全國乙卷)設(shè)B是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上頂點，若C上的任意一點P都滿足|PB|≤2b，則C的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案C解析依題意，B(0，b)，設(shè)橢圓上一點P(x0，y0)，則|y0|≤b，eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，可得xeq\o\al(2,0)＝a2－eq\f(a2,b2)yeq\o\al(2,0)，則|PB|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－b)2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－2by0＋b2＝－eq\f(c2,b2)yeq\o\al(2,0)－2by0＋a2＋b2≤4b2.因為當(dāng)y0＝－b時，|PB|2＝4b2，所以－eq\f(b3,c2)≤－b，得2c2≤a2，所以離心率e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).故選C.二、多項選擇題9.2021年2月10日19時52分，首次火星探測任務(wù)“天問一號”探測器在火星附近一點P變軌進(jìn)入以火星星球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ(環(huán)火軌道)繞火星飛行，2021年2月24日6時29分，“天問一號”探測器成功實施第三次近火制動，在點P第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ(火星停泊軌道)，且測得該軌道近火點m千米、遠(yuǎn)火點n千米，火星半徑為r千米，若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)1＋c1＝a2＋c2B．a(chǎn)1－c1＝a2－c2C．橢圓軌道Ⅱ的短軸長為2eq\r(（m＋r）（n＋r）)D．a(chǎn)2c1<a1c2答案BC解析由已知得a1>a2，b1>b2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，故A錯誤；|PF|＝a1－c1＝a2－c2，故B正確；軌道Ⅱ的短軸長為2b2＝2eq\r(aeq\o\al(2,2)－ceq\o\al(2,2))＝2eq\r(（a2－c2）（a2＋c2）)＝2eq\r(（m＋r）（n＋r）)，故C正確；由a1－c1＝a2－c2得a1＋c2＝a2＋c1，兩邊平方得aeq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,2)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)＋ceq\o\al(2,1)＋2a2c1，即beq\o\al(2,1)＋2a1c2＝beq\o\al(2,2)＋2a2c1，由于b1>b2>0，故beq\o\al(2,1)>beq\o\al(2,2)，∴a1c2<a2c1，故D錯誤．故選BC.10．(2024·重慶開學(xué)考試)已知橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別是A1，A2，點P是橢圓C上異于A1，A2的任意一點，則下列說法正確的是()A．|PF1|＋|PF2|＝4B．若△F1PF2的面積為2eq\r(7)，則點P的橫坐標(biāo)為±eq\f(4\r(5),3)C．存在點P滿足∠F1PF2＝90°D．直線PA1與直線PA2的斜率之積為－eq\f(9,16)答案BD解析依題意，得a＝4，b＝3，c＝eq\r(7)，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，A錯誤；設(shè)P(x0，y0)，|F1F2|＝2eq\r(7)，eq\f(1,2)×2eq\r(7)×|y0|＝2eq\r(7)，|y0|＝2，xeq\o\al(2,0)＝eq\f(144－16yeq\o\al(2,0),9)＝eq\f(144－64,9)＝eq\f(80,9)，x0＝±eq\f(4\r(5),3)，B正確；cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)≥eq\f(\f(（|PF1|＋|PF2|）2,2)－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(2a2－4c2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(32－28,2|PF1||PF2|)＝eq\f(2,|PF1||PF2|)>0，“≥”中的等號成立的條件是|PF1|＝|PF2|，所以不存在點P滿足∠F1PF2＝90°，C錯誤；設(shè)P(x0，y0)，則eq\f(xeq\o\al(2,0),16)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),9)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝eq\f(9,16)(16－xeq\o\al(2,0))，又A1(－4，0)，A2(4，0)，所以kPA1·kPA2＝eq\f(y0－0,x0＋4)·eq\f(y0－0,x0－4)＝eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－16)＝eq\f(\f(9,16)（16－xeq\o\al(2,0)）,xeq\o\al(2,0)－16)＝－eq\f(9,16)，D正確．故選BD.11．已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P(eq\r(2)，1)在橢圓內(nèi)部，點Q在橢圓上，橢圓C的離心率為e，則以下說法正確的是()A．離心率e的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))B．存在點Q，使得eq\o(QF1,\s\up6(→))＋eq\o(QF2,\s\up6(→))＝0C．當(dāng)e＝eq\f(\r(2),4)時，|QF1|＋|QP|的最大值為4＋eq\f(\r(6),2)D.eq\f(1,|QF1|)＋eq\f(1,|QF2|)的最小值為1答案ACD解析對于A，∵點P(eq\r(2)，1)在橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的內(nèi)部，∴eq\f(2,4)＋eq\f(1,b2)<1，∴b2>2，又橢圓焦點在x軸上，∴b2<4，∴2<b2<4，又a2＝4，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,4)，又b2∈(2，4)，∴e2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))，∴A正確；對于B，若存在點Q，使得eq\o(QF1,\s\up6(→))＋eq\o(QF2,\s\up6(→))＝0，則Q只能為原點O，顯然不成立，∴B錯誤；對于C，當(dāng)e＝eq\f(\r(2),4)時，則e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(c2,4)＝eq\f(1,8)，∴c＝eq\f(\r(2),2)，∴F2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))，又P(eq\r(2)，1)，∴|PF2|＝eq\f(\r(6),2)，∵點Q在橢圓上，∴|QF1|＋|QF2|＝2a＝4，∴|QF1|＋|QP|＝4－|QF2|＋|QP|≤4＋|PF2|＝4＋eq\f(\r(6),2)，當(dāng)且僅當(dāng)Q為PF2的延長線與橢圓交點時取等號，∴|QF1|＋|QP|的最大值為4＋eq\f(\r(6),2)，∴C正確；對于D，∵點Q在橢圓上，∴|QF1|＋|QF2|＝2a＝4，∴eq\f(1,|QF1|)＋eq\f(1,|QF2|)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|QF1|)＋\f(1,|QF2|)))(|QF1|＋|QF2|)＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(|QF2|,|QF1|)＋\f(|QF1|,|QF2|)))≥eq\f(1,4)×(2＋2)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)|QF1|＝|QF2|＝2時取等號，∴eq\f(1,|QF1|)＋eq\f(1,|QF2|)的最小值為1，∴D正確．故選ACD.三、填空題12．設(shè)橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個端點與兩焦點是同一個正三角形的頂點，焦點與橢圓上的點的最短距離為eq\r(3)，則這個橢圓的方程為________，離心率為________．答案eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,9)＝1eq\f(1,2)解析焦點與橢圓上的點的最短距離為a－c＝eq\r(3)，又a＝2c，∴c＝eq\r(3)，a＝2eq\r(3)，b＝3，∴橢圓的方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,9)＝1，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).13．(2023·邵陽二模)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，半焦距為c.在橢圓上存在點P使得eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，則橢圓離心率的取值范圍是________．答案