4.2.2 等差數(shù)列的前n項和（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】4.2.2等差數(shù)列的前n項和（精練）1等差數(shù)列基本量的計算1．（2022·四川?。┑炔顢?shù)列的前項和為，已知，，則公差為（

）A．-1 B．2 C．3 D．-2【答案】C【解析】設等差數(shù)列的公差為d，由題意可得：

，解得：.故公差為3.故選：C2.（2022·六盤山）《算法統(tǒng)宗》是我國中國古代數(shù)學名著，由明代數(shù)學家程大位編著，它對中國民間普及珠算和數(shù)學知識起到了很大的作用.在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，如“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個問題中，記這位公公的第個兒子的年齡為則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，因為，解得，所以.故選：C.3．（2022·江蘇·高二課時練習）在等差數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，求；(3)已知，，求；(4)已知，，，求．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(1)設公差為d，則，解得，所以.(2)由，而，所以.(3)由題設，，而，則，若公差為d，則，可得，所以.(4)由，又，，所以，可得.4．（2022·江蘇·高二課時練習）設等差數(shù)列的前n項和為．(1)已知，公差，，求和；(2)已知，公差，，求n和；(3)已知，，，求公差d和；(4)已知，，，求和公差d．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)【解析】(1)等差數(shù)列中，公差，，，；(2)等差數(shù)列中，，由，可得，(3)等差數(shù)列中，，由，可得，(4)等差數(shù)列中，，，由，可得2等差數(shù)列前n項和與中項性質(zhì)1．（2022·天津·高二期末）若等差數(shù)列，的前項和分別為，，滿足，則_______.【答案】【解析】依題意可得；故答案為：2．（2022·全國·高二課時練習）已知、都是等差數(shù)列，為的前n項和，為的前n項和，且，則______．【答案】2【解析】因為、都是等差數(shù)列，為的前n項和，為的前n項和，且，所以，故答案為：23．（2022·遼寧·東北育才學校高二期中）已知，分別是等差數(shù)列，的前n項和，且，則______．【答案】【解析】因為為等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：3等差數(shù)列前n項和性質(zhì)1．（2023·全國·高二專題練習）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝10，S20＝60，則S40等于（

）A．110 B．150C．210 D．280【答案】D【解析】因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差數(shù)列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150，又因為(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.故選：D.2．（2022·陜西省丹鳳中學高一階段練習）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，設，則，因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，……，是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，，所以，故選：A3．（2022·全國·高二課時練習）在等差數(shù)列中，若，，則（

）.A．110 B．120 C．130 D．140【答案】C【解析】設公差為d，則，所以，所以.故選：C4．（2021·安徽滁州·高二階段練習）已知為等差數(shù)列的前n項和，且，，則（

）．A．35 B．50 C．80 D．110【答案】C【解析】由為等差數(shù)列的前n項和，則，，，也成等差數(shù)列，所以5，15，，成等差數(shù)列，即，，所以．故選：C5．（2023·全國·高三專題練習）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝﹣2018，，則S2020等于（

）A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040【答案】C【解析】∵Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，∴數(shù)列{}是等差數(shù)列．∵a1＝﹣2018，，∴數(shù)列{}的公差d，首項為﹣2018，∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故選：C．6．（2021·重慶巴蜀中學高三階段練習）在等差數(shù)列中，為其前項和．若，且，則等于（

）A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018【答案】A【解析】因為為等差數(shù)列的前項和，令，則也為等差數(shù)列，設其公差為，由得，又得.故選：A．7．（2022·廣東）已知等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)項之和為290，偶數(shù)項之和為261，則的值為（

）．A．30 B．29 C．28 D．27【答案】B【解析】奇數(shù)項共有項，其和為，∴．偶數(shù)項共有n項，其和為，∴．故選：B．8．（2021·全國·高二專題練習）已知某等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，前三項與最后三項這六項之和為，所有奇數(shù)項的和為，則這個數(shù)列的項數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，，所以，所有奇數(shù)項的和為，于是可得.故選：A.9．（2022·上海市延安中學高二階段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則___________【答案】【解析】由題設成等差數(shù)列，所以，則，所以.故答案為：10．（2022·遼寧·高二期末）等差數(shù)列中，，前項和為，若，則______.【答案】【解析】設的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因為，故，故為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，設公差為，，，，，則故答案為：11．（2022·全國·高二）在等差數(shù)列{an}中，S10＝120，且在這10項中，＝，則公差d＝________.【答案】2【解析】由,得,所以＝5d＝10，所以d＝2.故答案為：2.12．（2022·全國·高二課時練習）已知等差數(shù)列的前項和為377，項數(shù)為奇數(shù)，且前項中，奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為7:6，則中間項為________．【答案】29【解析】】因為為奇數(shù)，所以，解得．所以，所以．故所求的中間項為29．故答案為：294等差數(shù)列前n項和的最值1．（2022·湖南·新邵縣教研室高二期末）（多選）已知遞減的等差數(shù)列的前項和為，，則（

）A． B．最大 C． D．【答案】ABD【解析】因為，故，所以，因為等差數(shù)列為遞減數(shù)列，故公差，所以，故AB正確.又，，故C錯誤，D正確.故選：ABD.2．（2022·全國·高二課時練習）（多選）設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項之和，且S6＜S7，S7＝S8＞S9，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．d＞0 B．a(chǎn)8＝0C．S10＞S6 D．S7，S8均為Sn的最大項【答案】BD【解析】∵S6＜S7，S7＝S8＞S9，∴，a8＝0，d＜0，且a1＞0，∴S7，S8均為Sn的最大項，故A錯誤，B和D正確；∵Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且開口向下，對稱軸為7.5，∴S10＜S6，故C錯誤，故選：BD.3．（2022·四川）已知等差數(shù)列的前項和為，則（

）A．若，，則， B．若，，則，C．若，，則， D．若，，則，【答案】B【解析】設等差數(shù)列的公差為，A選項，若，，，，則，，則，，無法判斷符號，A選項錯誤.B選項，，則，所以，所以.，則，所以，，B選項正確.C選項，若，，，，則，，則，則，，C選項錯誤.D選項，若，，則，當時，所以，但，所以D選項錯誤.故選：B4．（2022·遼寧葫蘆島·高二階段練習）（多選）已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因為，，所以，，故等差數(shù)列首項為負，公差為正，所以，，故A正確，B錯誤；由，可知，所以，故C錯誤；因為，所以，故D正確．故選：AD5．（2022·全國·高二課時練習）（多選）已知是等差數(shù)列的前n項和，且，下列說法正確的是（

）A． B．C．數(shù)列的最大項為 D．【答案】ABD【解析】因為，，所以，A正確；，所以，B正確；因為，，所以數(shù)列的最大項為，C不正確；因為，，，所以，即，D正確．故選：ABD．6．（2022·云南·昆明一中高二期末）（多選）在等差數(shù)列中，首項，公差，前項和為，則下列命題中正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則是中的最小項【答案】AC【解析】對于A，因為，所以，得，所以A正確，對于B，因為，所以，得，因為，所以，所以有可能大于零，也有可能小于零，所以與無法比較大小，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以，所以，所以，所以C正確，對于D，因為，可得，因為，所以，，所以是中的最大項，所以D錯誤，故選：AC7．（2022·廣西·昭平中學高二階段練習（理））已知等差數(shù)列的通項公式為，則其前項和的最大值為____________.【答案】【解析】根據(jù)題意，，所以當時，有最大值且最大值為：.故答案為：8．（2022·廣東·汕頭市潮陽區(qū)棉城中學高二期中）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2021＜0，S2022＞0，則當Sn最小時，n的值為__．【答案】1011【解析】因為等差數(shù)列{an}的中，S20212021a1011＜0，S2022＝1011（a1+a2022）＝1011（a1011+a1012）＞0，所以a1011＜0，a1011+a1012＞0，則當Sn最小時，n＝1011．故答案為：1011．5含有絕對值等差數(shù)列求和1．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個能夠確定一個數(shù)列的條件，并完成解答．（條件①：；

條件②：；

條件③：.）選擇條件和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，并求數(shù)列的前項的和【答案】(1)(2)當時，當時【解析】（1）選①②，由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，又得，故選②③，由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，由可知，選①③，無法確定數(shù)列.（2），其中,當，時，當，時，數(shù)列是從第三項開始，以公差的等差數(shù)列.2．（2022·遼寧·高二期中）已知在前n項和為的等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前20項和．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由，則，由，則，所以，即，故，則.(2)由（1）知：，可得，即，故時，所以.3．（2022·四川?。┮阎獢?shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為d，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，a1+a7=-2，S3=15.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;(2)求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.【答案】(1)(2)Tn=【解析】(1)解法一∵{an}是等差數(shù)列，公差為d，且a1+a7=-2，S3=15，∴解得a1=8，d=-3，∴an=a1+(n-1)d=8+(n-1)(-3)=-3n+11，∴數(shù)列{an}的通項公式為an=-3n+11(n∈N*).解法二∵{an}是等差數(shù)列，∴2a4=a1+a7=-2，∴a4=-1.∵S3=15，∴3a2=15，∴a2=5.∵a4=a2+2d，即-1=5+2d，∴d=-3，∴an=5+(n-2)(-3)=-3n+11.∴數(shù)列{an}的通項公式為an=-3n+11(n∈N*).(2)令an≥0，則-3n+11≥0，∴3n≤11，∴n≤，又n∈N*，∴當n≤3時，an>0;當n≥4時，an<0.∵a1=8，an=-3n+11，∴當n≤3時，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=，當n≥4時，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+a3+(-a4-…-an)=2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)=2S3-Sn=2×15-，∴Tn=4．（2022·廣東·測試·編輯教研五高二階段練習）等差數(shù)列的前項和為．已知，為整數(shù)，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，設數(shù)列的前項和為，求的值．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：設等差數(shù)列的公差為，因為，則，可得，即，解得，因為，則，，因此，.此時，故當時，取得最大值，合乎題意，所以，.(2)解：由（1）知，所以，因此，.5．（2021·湖北·石首市第一中學高二階段練習）記為等差數(shù)列的前項和，已知.(1)求的通項公式.(2)記，求.【答案】(1)(2)【解析】(1)設公差為d，則，又，所以，，故，所以，所以(2)當時，，當時，，所以當時，，當時，綜上：6．（2022·福建省漳州第一中學高三階段練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式及前項和；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，(2)，【解析】（1）設的公差為，則，解得，所以，.（2）由，得，所以當時，；當時，，所以當時，；當時，，所以，.7．（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習（理））已知數(shù)列中，，（，），數(shù)列滿足．(1)證明是等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)求；(3)求數(shù)列中的最大項和最小項，并說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)①時，=；②時(3)，；理由見解析【解析】（1）證明