6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（原卷版）（人教A版2019必修第二冊(cè)）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二

6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示考法一平面向量基底的辨析【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【一隅三反】1．（2023·黑龍江）設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和2．（2023·湖南）設(shè)為平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．（2023北京）設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是（）A．和 B．和C．和 D．和考法二平面向量的基本定理【例2-1】（2024·云南大理）已知在中，點(diǎn)在邊上，且，則（

）A． B． C． D．【例2-2】（2023·河南?。┤鐖D，在中，，是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【例2-3】（2023安徽）已知AD，BE分別為的邊BC，AC上的中線，設(shè)，則（）

A． B．C． D．【例2-4】（2023·江西宜春）如圖所示，已知點(diǎn)G是的重心，過點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)N與點(diǎn)C不重合），設(shè)，則的值為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【一隅三反】1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在平行四邊形中，，，，，則（

）A． B．C． D．2．（2023湖北）如圖所示，在中，，，若，，則（）A． B．C． D．3．（2023·陜西西安）在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西商洛）如圖，在中，滿足條件，若，則（

）A．8 B．4 C．2 D．考法三線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例3-1】（2023·四川綿陽）已知向量，若，則實(shí)數(shù)m等于（

）A． B．0 C．1 D．【例3-2】（2023·浙江金華）己知向量，且與共線，則（

）A． B． C． D．【例3-3】（2023·湖南永州）已知向量，且，則（

）A．2 B．1 C．0 D．【一隅三反】1．（2023·山東鄒城）已知向量，，則（）A． B．5 C．7 D．252．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量．若非零實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．3 B． C． D．3．（2023·云南?。┮阎c(diǎn)，，三點(diǎn)共線，則（）A．0 B．1 C． D．4．（2023·廣東·）（多選）已知，，下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．5．（2023·湖南）（多選）已知向量，，則（）A．若與垂直，則 B．若，則C．若，則 D．若，則與的夾角為考法四平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示【例4-1】（2023·浙江）（多選）已知平面向量，，下列敘述正確的是（

）A．與的夾角為 B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為【例4-2】（2023·海南）（多選）已知向量，則（

）A．若，則B．在方向上的投影向量為C．存在，使得在方向上投影向量的模為1D．的取值范圍為【一隅三反】1．（2024·湖南邵陽）已知向量.若與的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·甘肅蘭州）已知向量，，若與反向共線，則的值為（

）A．0 B． C． D．3．（2024上·河北）已知向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．（2023上·河北滄州）已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考法五巧建坐標(biāo)解平面向量【例5-1】（2023·安徽）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（1）求；（2）若（，），求的值.【例5-2】（2024陜西）如圖，邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC中，AD為邊BC上的高，P為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．[﹣，0] B．[0，] C．[﹣，+∞） D．[﹣，0]【一隅三反】1.（2023福建）如圖，在中，已知，，，D為線段BC中點(diǎn)，E為線段AD中點(diǎn).（1）求的值；（2）求，夾角的余弦值.2．（2023山東濟(jì)南市·）在中，，，為所在平面上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A．1 B． C．－1 D．-23．（2023·河北）如圖所示，梯形中，，且，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．考法六奔馳定理【例6-1】（2023·安徽）平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【例6-2】（2023湖南）點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023河北）已知為內(nèi)一點(diǎn)，且有，則和的面積之比為（）A． B． C． D．2．（2023江西）內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比為（）A． B． C． D．3．（2023河南）已知點(diǎn)在正所確定的平面上，且滿足，則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．4．（2023·遼寧·）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，且.以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，為的外心，則D．若為的垂心，，則單選題1．（2023·寧夏石嘴山）設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)（

）．A． B． C． D．2．（2024上·北京石景山）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東佛山）已知向量，若，則向量在向量上的投影向量為（）A．1 B． C． D．4．（2023下·寧夏石嘴山）已知平面向量，，若是直角三角形，則的取值是（

）A．2 B． C．2或7 D．2或55．（2023上·重慶渝北）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形中，點(diǎn)為中線的三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．7．（2023上·天津南開）是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，若，，且，則（

）.A． B． C． D．8．（2023·北京）如圖，在中，M，N分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，P是線段MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），CP與AB交于點(diǎn)D，BP與AC交于點(diǎn)E，，，則的最小值為（

）

A．2 B．4 C．6 D．8多選題9．（2024·貴州）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．與的夾角為D．在方向上的投影向量是10．（2023上·黑龍江大慶·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎瑒t（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為2D．若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為11．（2024上·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）如圖，在直角梯形中，，，，是線段的中點(diǎn)，線段與線段交于，則（

）A．B．C．D．12．（2023·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）下列結(jié)論正確的是（

）A．一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底B．若，是單位向量)，則C．向量與共線存在不全為零的實(shí)數(shù)使D．已知A，B，P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若則填空題13．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是．14．（2023上·上海浦東新）若向量，則在方向上的投影的坐標(biāo)為.15．（2023上·天津河北）設(shè)，，，其中，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，則，的最小值為.16（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）如圖．在直角梯形中．，點(diǎn)P是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．解答題17．（2023上·遼寧沈陽）給定三個(gè)平面向量．(1)求的大??；(2)若向量與向量共線，求實(shí)數(shù)的值．18．（2023·廣東惠州）已知平面直角坐標(biāo)系中，向量.(1)若，且，求向量的坐標(biāo)；(2)若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（2023·遼寧）如圖，在中，是邊上的中線．(1)取的中點(diǎn)，試用和表示；(2)若G是上一點(diǎn)，且，直線過點(diǎn)G，交交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．若，，求的最小值．2