浙江省L16聯(lián)盟2024-2025學年7月新高三適應性測試數(shù)學試題

浙江省L16聯(lián)盟2024年7月新高三適應性測試數(shù)學本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁，選擇題部分1至2頁；非選擇題部分3至4頁.滿分150分，考試時間120分鐘.考生注意：1.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，集合，則的子集個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】由交集的概念得出交集中元素的個數(shù)即可求解.【詳解】集合，集合，則，則的子集個數(shù)是.故選：D.2.公比為的等比數(shù)列滿足，，則（）A. B.1 C.3 D.9【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項公式：，代入解關于的方程，即可得的值.【詳解】由，知，又，則，，解得（舍），或.故選：C.3.已知存在常數(shù)項，且常數(shù)項是，則（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】求得二項式展開式的通項公式，化簡整理，由常數(shù)項是，得，．【詳解】的展開式的通項公式為，，令，得，，所以它的常數(shù)項為，又已知常數(shù)項是，所以，，故選：B．4.已知橢圓：的左右焦點到直線：的距離之差為2，則的焦距是（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】設橢圓的左右焦點分別為，結合題意可得，分和兩種情況，分析求解即可.【詳解】設橢圓的左右焦點分別為，由題意可得：，則，若，則，即；若，則，不合題意；綜上所述：，即的焦距是.故選：C.5.在中，和是方程的兩個根，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由韋達定理，，結合誘導公式、兩角和的正切即可求解.【詳解】因為和是方程的兩個根，所以由韋達定理有，所以.故選：A.6.邊長為1的正方體中，，分別是，中點，是靠近的四等分點，在正方體內部或表面，，則的最大值是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標系，設，從而求得，再根據(jù)向量模長公式結合即可求解.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，設，則，所以，則，因為，又，所以，即，所以，又，所以，當且僅當，此時時，等號成立，所以的最大值是.故選：D.7.已知函數(shù)，則（）A. B. C.0 D.8100【答案】A【解析】【分析】首先得出關于中心對稱，然后即可利用這一性質求解.【詳解】，所以，即關于中心對稱，所以.故選：A.8.若正實數(shù)，，滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】借助導數(shù)研究函數(shù)單調性，進而得到函數(shù)值大小即可.【詳解】，，則，則，則.則，則，則先比較a，b：作差，設，求導，則在單調遞減.，，故有正負還有零.即值有正負還有零，故不能比較大小.故A錯誤.再比較a，c：作差，設，求導，則由于，則在單調遞減.，則在單調遞增.且，則，即，即.故B正確．最后比較b，c，由于，假設滿足題意，假設，即，即，即也滿足題意，假設，即，即，即也滿足題意．則無法比較大小，故CD錯誤.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知均值為的多組樣本點數(shù)據(jù)，…經(jīng)最小二乘法得到的回歸直線.現(xiàn)刪去樣本點數(shù)據(jù)，并利用最小二乘法得到新回歸直線，則新回歸直線（）參考數(shù)據(jù)：回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.A.斜率改變 B.截距不變 C.斜率不變 D.截距改變【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)題意得，接著先求出新數(shù)據(jù)的，再代入最小二乘法公式求得和a，進而得解.【詳解】由題意可得，且，所以，不妨將樣本點數(shù)據(jù)作為第n組數(shù)據(jù)，即，則前組數(shù)據(jù)滿足，，所以，所以.綜上，新回歸直線斜率不變，截距會發(fā)生變化，故選項AB錯誤，選項CD正確.故選：CD.10.如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，分別是，的中點，正方形的邊長為2，則在三棱錐中（）A.的面積為 B.C.平面平面 D.三棱錐的體積為【答案】ABD【解析】【分析】直接求的面積可判定A，連接交于G，根據(jù)條件證平面即可判定B，判定的夾角是否為直角可判定C，利用棱錐的體積公式可判定D.【詳解】對于A，易知，故A正確；對于B，連接交于G，根據(jù)正方形的性質易知，所以有，又平面，所以平面，平面，所以，故B正確；對于C，由上可知為平面與平面的夾角，易知，則不垂直，故C錯誤；對于D，由題意可知兩兩垂直，則，故D正確.故選：ABD11.已知曲線上的點滿足：到定點1,0與定直線軸的距離的差為定值，其中，點，分別為曲線上的兩點，且點恒在點的右側，則（）A.若，則曲線圖象為一條拋物線B.若，則曲線的方程為C.當時，對于任意的，，都有D.當時，對于任意的，，都有【答案】AC【解析】【分析】設曲線上點Px,y，由題意求出的方程，分、化簡后逐項判斷可得答案.【詳解】對于A，若，設曲線上的點Px,y，由題意可得，化簡得，當時，為拋物線，當時，，因為，所以，而，顯然不成立，綜上，若，則曲線的圖象為一條拋物線，故A錯誤；對于B，若，設曲線上的點Px,y，由題意可得，化簡得，當時，為拋物線，當時，為一條射線，故B錯誤；對于C，若，設曲線上的點Px,y，由題意可得，化簡得，因為，當時，，為開口向右，頂點為的拋物線的一部分，，當時，，為開口向左，頂點為的拋物線的一部分，，且與關于對稱,其圖象大致如下，因為，兩點的縱坐標相同，根據(jù)對稱性可得，故C正確；對于D，若，設曲線上的點Px,y，由題意可得，化簡得，因為，當時，，為開口向左，頂點為的拋物線的一部分，當時，，為開口向右，頂點為的拋物線的一部分，且與關于對稱,其圖象大致如下，因為，兩點的縱坐標相同，根據(jù)對稱性可得，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是設曲線上的點Px,y，求出點的軌跡方程，數(shù)形結合求出答案.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計算：______（為虛數(shù)單位）.【答案】0【解析】【分析】利用的指數(shù)冪的周期可計算得出所求代數(shù)式的值.【詳解】因為，所以.故答案為：0.13.三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，，則三棱錐體積的最大值是______.【答案】1【解析】【分析】點在以為焦點長軸長為4橢球上（去掉長軸端點），可得側面平面時三棱錐的體積最大，求出最大值即可.【詳解】由題意可得，點在以為焦點長軸長為4的橢球上（去掉長軸端點），設，，橢球的焦距為，可得橢球的短軸長，所以當側面平面時三棱錐的體積最大，此時，最大值為.故答案為：1.14.已知一道解答題有兩小問，每小問5分，共10分.現(xiàn)每十個人中有六人能夠做出第一問，但在第一問做不出的情況下，第二問做出的概率為0.1；第一問做出的情況下，第二問做不出的概率為0.6.用頻率估計概率，則此題得滿分的概率是______；得0分的概率是______.【答案】①.0.24##②.0.36##【解析】【分析】設相應事件，由題意可得，根據(jù)對立事件結合條件概率公式分析求解.【詳解】設“第一問做出”為事件A，“第二問做出”為事件B，由題意可得：，則，所以，即此題得滿分的概率是0.24；所以，即此題得滿分的概率是0.36.故答案為：0.24；0.36.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15..如圖，底面固定在底面上的盛水容器口為正方形，側棱，，，相互平行.（1）證明：底面四邊形是平行四邊形；（2）若已知四條側棱垂直于面，且，.現(xiàn)往該容器中注水，求該容器最大盛水體積及此時側面與底面所成角的余弦值（水面平行于底面）.【答案】（1）證明見解析（2），【解析】【分析】（1）只需證明平面平面，再結合面面平行的性質即可得證；（2）取的中點，說明該容器最大盛水體積就是平行六面體的體積，當時，最大，此時可以說明，結合解三角形知識以及平行六面體的體積公式即可求解.【小問1詳解】因為，平面，平面，所以平面，同理，平面，平面，所以平面，而，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，同理，所以底面四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】取的中點，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面，同理，所以四邊形平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，所以該容器最大盛水體積就是平行六面體的體積，由題意，所以，因為，所以四邊形是平行四邊形，而分別是的中點，所以，當時，最大，而，，所以，所以的補角就是側面與底面所成角，因為，所以，，注意到，所以，此時，平行六面體的高為，平行六面體的底面積為，所以平行六面體的體積為.16.現(xiàn)有一拋硬幣游戲機制：假設拋中正、反面可能性均為，若拋中的是正面，則收益的手中金額；否則虧損的手中金額.甲同學按此規(guī)則進行多組模擬，拋硬幣次，發(fā)現(xiàn)最終虧損的次數(shù)多于盈利的次數(shù).假設初始金額為元，記為拋硬幣次數(shù)，為經(jīng)歷次拋硬幣后手中的金額.（1）若，求的分布列；（2）如圖，橫坐標表示，縱坐標表示，在圖中描出所有可能取值對應的，并求出當、1、2、3時盈利的概率；（3）綜合（1）（2）數(shù)據(jù)，簡要說明形成甲同學的實驗現(xiàn)象的原因（直接寫結論）.【答案】（1）分布列見解析（2）圖象見解析，，，，（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件知的可能取值為，再求出相應的概率，即可求出結果；（2）通過取一些特殊值，即可得到部分圖象，再根據(jù)條件，即可求出、1、2、3時盈利的概率；（3）根據(jù)題設條件，即可寫出結果.【小問1詳解】易知的可能取值為，，，，所以的分布列為2590324【小問2詳解】當時，，當時，或，當時，的可能取值為，，所以圖象如下圖易知，，，.【小問3詳解】越大，最終手中金額大于初始金額的概率會越小，則最終虧損的可能性越大，最后虧損的組數(shù)多于盈利的組數(shù)，即甲同學實驗現(xiàn)象（答案不唯一）.17.已知為實數(shù)，，設函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，分和兩種情況討論函數(shù)的單調性；（2）根據(jù)（1）的結果，轉化為函數(shù)的最小值小于0，并且結合函數(shù)零點存在性定理說明存在2個零點.【小問1詳解】，，當時，，在單調遞增，當時，令，得，令，得，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，綜上可知，時，的增區(qū)間是；時，的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是；【小問2詳解】由（1）可知，若有兩個零點，則，且當時，取得最小值，，得，且時，，·當，，所以有1個零點，也有1個零點，所以若有兩個零點，則.18.已知點，，，均在拋物線：上，，關于軸對稱，直線，關于直線對稱，點在直線的上方，直線交軸于點，直線斜率小于2.（1）求面積的最大值；（2）記四邊形的面積為，的面積為，若，求.【答案】（1）16（2）【解析】【分析】（1）設，則，令可得的坐標，由韋達定理可表示出，從而可求得面積的表達式，結合基本不等式即可求解；（2）設面積為，由題意，由韋達定理以及同理思想可得，由公式可知也可以用表示，進而可以得出關于的方程，解出，結合二倍角公式、平方關系即可求解.【小問1詳解】由題意，解得，所以拋物線：，因為，關于軸對稱，直線，關于直線對稱，所以斜率互為相反數(shù)，不妨設，則，設與軸交于點，而直線交軸于點，所以，聯(lián)立與拋物線：，化簡并整理得，，設Ax則，設面積為，則，等號成立當且僅當，所以面積的最大值為16；【小問2詳解】由（1）可知，解得，設點的坐標為，同理可得，所以，設的面積為，而四邊形的面積為，的面積為，由題意，所以，而，而，所以，即，解得，由題意軸，且，設，所以，所以.19.已知正整數(shù)，設，，…，，，，…，是個非負實數(shù)，.若對于任意，取，，，都有，則稱這個數(shù)構成—孿生數(shù)組.（1）寫出8個不全相等的數(shù)，使得這8個數(shù)構成—孿生數(shù)組；（2）求最小的，使得，，…，，，，…，構成—孿生數(shù)組；（3）若，且，，…，，，，…，構成—孿生數(shù)組，求的最大值.參考公式：（i），當且僅當時取等；（ii）當正偶數(shù)時，設，有；當正奇數(shù)時，設，有.【答案】（1）2，2，2，2，0，4，0，4（答案不唯一）（2）12（3）4【解析】【分析】（1）根據(jù)—孿生數(shù)組的含義寫出即可；（2）由題知，進而可以求出，再結合參考公式（i）即可證明；（3）由題知，結合（2）可得.再利用參考公式（ii）放縮，進而求解最大值.【小問1詳解】根據(jù)—孿生數(shù)組的含義可知:構成—孿生數(shù)組，當然其答案不唯一;【小問2詳解】若，由題知:所以.由參考公式（i），有，記是數(shù)列中奇數(shù)項的和，即，不妨設，則有因為，解得，當且僅當時取等.故最小的為12.