高考新課標(biāo)全國卷ⅱ理科數(shù)學(xué)第20題

說題主講人：福建省龍巖市第二中學(xué)王慕華學(xué)科：高中數(shù)學(xué)聯(lián)系電話題出自2013年高考新課標(biāo)全國卷Ⅱ理科數(shù)學(xué)第20題。

平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓：(

)右焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為。（1）求的方程;（2）為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對角線⊥，求四邊形面積的最大值.全國卷Ⅱ理數(shù)第20題

二、說解題思路一、說考點(diǎn)分析和思想方法三、說變式、推廣和拓展四、說反思和感悟五、說高考鏈接說題流程1.根據(jù)已知條件確定橢圓方程2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系3.與圓錐曲線有關(guān)的最值問題一、說考點(diǎn)分析、思想方法本題考點(diǎn)

4.涉及的知識(shí)點(diǎn)①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;②橢圓的簡單幾何性質(zhì);③兩點(diǎn)間的斜率公式;④兩點(diǎn)間的的距離公式;⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)⑥直線方程及兩直線垂直時(shí)兩直線斜率的關(guān)系（一）

本題設(shè)問直接、簡潔，給考生似曾相識(shí)的感覺，但考生必須要克服定勢思維的影響，認(rèn)真分析題意，根據(jù)已知條件合理假設(shè)未知量，構(gòu)造方程組，在運(yùn)算中合理選擇算法、算理，同時(shí)要有耐心細(xì)致的品質(zhì)，才能準(zhǔn)確地得到所要的結(jié)論.1.本題第一問考查了方程思想，考查的主要方法為待定系數(shù)法，而在用待定系數(shù)法求橢圓方程時(shí)，又著重考查了點(diǎn)差法的巧妙使用.2.本題第二問重點(diǎn)考查了函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想(在探究CD最長時(shí)用到這一思想).3.本題兩問均深入考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想,突出考查了韋達(dá)定理和直線與圓錐曲線相交弦的弦長公式,在化簡運(yùn)算過程中，注重考查整體代換的思想，尤其是考查考生在面對多個(gè)未知參數(shù)時(shí)如何處理主元與輔元的關(guān)系.（二）思想方法二、說解題思路

由此可得方法總結(jié)：待定系數(shù)法及方程思想的應(yīng)用.

問（1）的解法（一）：點(diǎn)差法問（1）的解法（二）.點(diǎn)評:本解法利用代入消元,巧用韋達(dá)定理,尋找a,b之間的關(guān)系.方程思想的應(yīng)用由條件得直線OP的方程為問(1)的解法（三）.點(diǎn)評:因半焦距c已知，利用a，b，c的關(guān)系先用b表達(dá)a元，再利用直線OP的斜率已知，構(gòu)造方程求解，凸顯化簡方程的意識(shí)。問(2)的解法

B由題意可設(shè)得直線CD的

方法總結(jié)：因線段AB的長度可求，為了表達(dá)四邊形ACBD的面積，此解法在于巧用C,D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)表達(dá)線段CD的長，從而構(gòu)造面積S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的最值求法求得面積的最大值，這種解法為通法。問(2)的解法初步優(yōu)化點(diǎn)評:通過兩點(diǎn)間的弦長公式巧用設(shè)而不求的思想，簡化計(jì)算.

問(2)的解法進(jìn)一步優(yōu)化.點(diǎn)評:此法利用橢圓的對稱性，從特殊角度出發(fā)求解，進(jìn)一步簡化了計(jì)算.

拓展變式推廣三、說變式、推廣、拓展變式1：已知條件不變，把問題（2）改為，設(shè)直線OP與橢圓M交于不同的兩點(diǎn)C、D,求：四邊形ACBD的面積。變式2：平面直角坐標(biāo)系中過橢圓：()右焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為.(1)求的方程;變式變式3：平面直角坐標(biāo)系中，過拋物線：

焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，

(Ι)求的方程;（Ⅱ）為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對角線⊥，求四邊形面積的最大值。(Ι)（Ⅱ）已知條件不變，把問題2推廣為，過橢圓M右焦點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，與橢圓M交于C、D的兩點(diǎn)，與橢圓M交于E、F兩點(diǎn).求證：四邊形CEDF的面積是否存在最大值，若存在最大值，則求此最大值，若不存在則說明理由.推廣點(diǎn)評:本題解法用到了分類討論、整體換元、函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合，特殊與一般等重要的數(shù)學(xué)思想，比原題更能考查考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，更能考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，當(dāng)然在求函數(shù)最值時(shí)也可利用導(dǎo)數(shù)求解。拓展點(diǎn)評:拓展后的運(yùn)算求解全部涉及字母運(yùn)算，要求考生有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，同時(shí)要有鍥而不舍的個(gè)性品質(zhì)才能得出相關(guān)的結(jié)論。反思1：橢圓一直是高考解答題中考查解析幾何知識(shí)的重要載體，在解題教學(xué)中應(yīng)狠抓雙基，重視基本技能的培養(yǎng)，同時(shí)要特別注意多字母參數(shù)的訓(xùn)練。反思2：直線與橢圓的位置關(guān)系的考查，一定要把握好以下幾“不”，①不能缺少判別式；②不能忽略直線的斜率；③不能小視“基本”變形；④不能弱化幾何證明；⑤不能忘記交代幾何結(jié)論。⑥不能忽視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。四、說反思、感悟感悟1：在解析幾何的復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)特別重視以下兩類問題的研究，一是根據(jù)已知條件確定曲線方程，二是利用曲線方程研究曲線的幾何性質(zhì)。在由條件確定曲線方程時(shí),若已知曲線類型，則宜采用待定系數(shù)法；若曲線類型未知時(shí)，則可利用直接法、定義法、參數(shù)法、交軌法、幾何法、相關(guān)點(diǎn)法等求解。感悟2：與圓錐曲線有關(guān)的最值問題涉及代數(shù)、三角、不等式等多方面，而代數(shù)法中的函數(shù)思想是重中之重，其變化形式更是多種多樣，建立函數(shù)模型、利用不等式、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)等多種工具求解體現(xiàn)了其較強(qiáng)的綜合性。解決此類問題的基本思路是：先根據(jù)已知條件列出所求目標(biāo)函數(shù)的解析式，再利用求函數(shù)最值的有關(guān)方法解決，在求最值過程中要注意想盡一切辦法簡化計(jì)算，求出結(jié)果后理應(yīng)帶回去檢驗(yàn)。五、高考鏈接近年高考解析幾何題中,涉及求最值問題的題目不多，現(xiàn)略舉如下:2012年廣東20（2）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：的離心率，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最大值為3.

(1)求橢圓C的方程;（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m,n），使得直線與圓O：相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的的面積；若不存在，請說明理由.()2013年浙江卷理科21(2)如圖，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，的