江蘇省南京市九中、十三中2024-2025年高三上學(xué)期8月階段性學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析）

2024年高三上學(xué)期8月階段性學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求出集合，再進(jìn)行逐項(xiàng)判斷看到答案.【詳解】因?yàn)?，故，又，所以沒(méi)有包含關(guān)系，，.所以ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D.2.設(shè)復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)，再根據(jù)純虛數(shù)概念求解.【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算以及純虛數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3.血壓差是指血壓的收縮壓減去舒張壓的值.已知某校學(xué)生的血壓差服從正態(tài)分布.若.則隨機(jī)變量的第90百分位數(shù)的估計(jì)值為（）A.42 B.38 C.36 D.34【答案】D【解析】分析】借助正態(tài)分布定義與百分位數(shù)定義計(jì)算即可得.【詳解】由，則，則，故隨機(jī)變量的第90百分位數(shù)的估計(jì)值為.故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)兩角和公式結(jié)合切化弦得出，再應(yīng)用兩角差余弦計(jì)算.【詳解】因?yàn)?又因?yàn)?所以,所以.故選：A.5.已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.在上是增函數(shù) B.其圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)是奇函數(shù) D.在區(qū)間上的值域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，由函數(shù)圖象平移變換可求得函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng).【詳解】，沿軸向左平移個(gè)單位，得．對(duì)于A，當(dāng)，單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則圖象關(guān)于對(duì)稱，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，是偶函數(shù)．所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，則，所以D正確，綜上可知，正確的為D.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的應(yīng)用，三角函數(shù)平移變換及余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.已知數(shù)列滿足，，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.624 B.625 C.626 D.650【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定遞推公式，按奇偶分類求和即得.【詳解】數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為2，則，當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為，則，所以.故選：C7.已知點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為等邊三角形，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由直線與圓的位置關(guān)系可得，可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，由此分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，圓，即是以為圓心，半徑為的圓，連接，若為等邊三角形，則，在中，，易得，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，又由，則，即，故的取值范圍是.故選：B.8.已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用同構(gòu)變形得到，構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合其單調(diào)性和求解的是a的最小值，考慮兩種情況，進(jìn)行求解，最終求得實(shí)數(shù)a的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，即，?gòu)造函數(shù)，所以，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，與1的大小不定，但當(dāng)實(shí)數(shù)a最小時(shí)，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，此時(shí)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，兩邊取對(duì)數(shù)得：，令，則，令得：，令得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以故a的最小值是．故選：C【點(diǎn)睛】同構(gòu)法針對(duì)與不等式或者等式中同時(shí)出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，要將兩邊變形得到結(jié)構(gòu)相同，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.加斯帕爾?蒙日是18-19世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（如圖所示）．當(dāng)橢圓方程為時(shí)，蒙日?qǐng)A方程為．已知長(zhǎng)方形的四邊均與橢圓相切，則下列說(shuō)法正確的是（）A.橢圓的離心率為B.若為正方形，則的邊長(zhǎng)為C.橢圓的蒙日?qǐng)A方程為D.長(zhǎng)方形的面積的最大值為14【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程可求得離心率，知A正確；根據(jù)蒙日?qǐng)A方程定義可知C正確；結(jié)合長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)和基本不等式可求得B錯(cuò)誤D正確.【詳解】對(duì)于A，由橢圓的方程知，則，橢圓的離心率，A正確；對(duì)于C，由A知，橢圓對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程為，C正確；對(duì)于B，由C可知，正方形是圓的內(nèi)接正方形，正方形對(duì)角線長(zhǎng)為圓的直徑，正方形的邊長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)為橢圓對(duì)應(yīng)蒙日?qǐng)A的直徑，長(zhǎng)方形的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即長(zhǎng)方形的面積的最大值為14，D正確．故選：ACD．10.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒裝有6個(gè)白球3個(gè)紅球，乙盒裝有5個(gè)白球5個(gè)紅球，則下列說(shuō)法正確的是（）A.甲盒中一次取出3個(gè)球，至少取到一個(gè)紅球的概率是B.乙盒有放回地取3次球，每次取一個(gè)，取到2個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率是C.甲盒不放回地取2次球，每次取一個(gè)，第二次取到紅球的概率是D.甲盒不放回地多次取球，每次取一個(gè)，則在第一、二次都取到白球的條件下，第三次也取到白球的概率是【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)利用超幾何分布求概率公式即可計(jì)算；B根據(jù)二項(xiàng)分布求概率公式計(jì)算即可；C選項(xiàng)、D選項(xiàng)利用全概率公式與條件概率公式即可求解.【詳解】對(duì)于A，記“甲盒中取3球至少一個(gè)紅球”，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，記“乙盒有放回的取3次球，取到2個(gè)白球”，則，故B正確；對(duì)于C，記“甲盒不放回第i次取到紅球”，則，故C正確.對(duì)于D，，故D不正確.故選：BC.11.如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.B.平面C.A到直線MN的距離為D.過(guò)MN作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】由可得判斷AB，利用，，求出距離可判斷C，由對(duì)稱性得過(guò)MN作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小的圓是以所在弦為直徑的圓，圓心為中點(diǎn)，求出圓面積斷D．【詳解】正方體中，，而M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則，所以，A正確，B錯(cuò)誤；設(shè)與分別交于點(diǎn)，則，，由M，N分別為棱，的中點(diǎn)，知是中點(diǎn)，，C正確；正方體外接球球心是正方體對(duì)角線交點(diǎn)，由對(duì)稱性知過(guò)MN作該正方體外接球的截面，所得截面的面積最小的圓是以所在的弦為直徑的截面圓，即截面圓圓心為，，，，，截面圓半徑為，則，面積為，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正方體中的平行與垂直，考查球的截面圓問(wèn)題．特殊的幾何圖形如正方體、正四面體等幾何體中有許多直線、平面間的平行與垂直關(guān)系，我們必須掌握，并能應(yīng)用，在判斷D時(shí)，利用正方體的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．這樣可得到面積最小的截面圓的直徑是所在的弦，從而求得半徑長(zhǎng)．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知奇函數(shù)的定義域R，若為偶函數(shù)，且，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性求得正確答案.【詳解】由于是定義在上的奇函數(shù)，所以，由于為偶函數(shù)，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以.故答案為：13.在邊長(zhǎng)為2的菱形中，分別為的中點(diǎn)，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積定義結(jié)合余弦定理求出，再由余弦定理求得，然后建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)計(jì)算可得.【詳解】記與交于點(diǎn)O，，由題知，①，在中，由余弦定理有②，聯(lián)立①②解得，所以，因?yàn)?，所?所以，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，所以.故答案為：14.如圖，一點(diǎn)從正方形的頂點(diǎn)處出發(fā)在各頂點(diǎn)間移動(dòng)，每次移動(dòng)要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移動(dòng)一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移動(dòng)一步．設(shè)移動(dòng)步后回到點(diǎn)的概率為，到達(dá)點(diǎn)的概率為，則________，________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式求出，，再由、，即可得到是以為首項(xiàng)、公比的等比數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)公式.【詳解】依題意，，又，，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出、，再結(jié)合等比數(shù)列的定義求出的通項(xiàng)公式.四、解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c＝7，sinC＝.（1）若cosB＝，求b的值；（2）若a＋b＝11，求△ABC的面積．【答案】（1）b＝5；（2）6.【解析】【分析】（1）由正弦定理計(jì)算；（2）由余弦定理及求得，再由面積公式計(jì)算面積．【詳解】（1）在△ABC中，因?yàn)閏osB＝，且B∈，所以sinB＝，根據(jù)正弦定理＝，及c＝7，sinC＝，解得b＝5.（2）在△ABC中，因?yàn)閟inC＝，所以cosC＝±.當(dāng)cosC＝時(shí)，根據(jù)余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，及a＋b＝11，c＝7，得49＝121－2ab－，所以ab＝30，所以解得或.所以△ABC的面積S△ABC＝absinC＝6.當(dāng)cosC＝－時(shí)，根據(jù)余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，及a＋b＝11，c＝7，得ab＝45，此時(shí)方程組無(wú)解．綜上，△ABC的面積為6.16.記遞增的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.（1）求和；（2）設(shè).求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列性質(zhì)求出通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為，因?yàn)?，所以，又，所以，解得，所以，．【小?wèn)2詳解】，所以．17.如圖，四棱錐中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中點(diǎn)．（1）證明：直線平面PAB；（2）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】（1）取PA的中點(diǎn)為F，連接EF，BF，證得，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理即可得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，空間向量表示直線BM與底面ABCD所成角，進(jìn)而利用二面角的向量方法求解即可.【小問(wèn)1詳解】取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，如圖．是PD的中點(diǎn)，，．由得，又，，，四邊形BCEF是平行四邊形，，又平面PAB，平面PAB，平面PAB．小問(wèn)2詳解】由已知得，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)閥軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A0,0,0，B1,0,0，C1,1,0，，，設(shè)，則，．因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為，是底面ABCD的法向量，，即．①又M在棱PC上，設(shè)，則，，．②由①②解得（舍去）或所以，從而．設(shè)是平面ABM的法向量，則即所以可?。谑牵虼硕娼堑挠嘞抑禐椋?8.已知雙曲線的離心率為，右頂點(diǎn)為.為雙曲線右支上兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)；（3）若直線與軸分別交于點(diǎn)，且為中點(diǎn)，求的值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率以及頂點(diǎn)即可求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得韋達(dá)定理，由垂直得斜率關(guān)系，即可代入化簡(jiǎn)求解，（3）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)可得，即可根據(jù)三角形面積之比求解.【小問(wèn)1詳解】右頂點(diǎn)，解得.【小問(wèn)2詳解】設(shè)Ax1,聯(lián)立，得則，即..以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)即，化簡(jiǎn)得當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不符條件，舍去..直線必過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)3詳解】由（2）知.,為中點(diǎn)，，代入得.由得.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn).（2）特殊到一般法：先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).19.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若的極大值為，求的取值范圍；（3）若，證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，計(jì)算導(dǎo)數(shù)得到答案；（2）分情況討論單調(diào)性，即可得到的取值范圍；（3）將命題轉(zhuǎn)化為證明，然后利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【小問(wèn)1詳解】我們有.當(dāng)時(shí)，.所以曲線y=fx在點(diǎn)處的切線斜率為，從而切線方程