江西省多所學(xué)校2025屆高三下學(xué)期第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2025屆新高三第一次大聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)真數(shù)要大于0和集合交集的運(yùn)算法則即可求解．【詳解】，故．故選：D．2.某高中為鼓勵(lì)全校師生增強(qiáng)身體素質(zhì)，推行了陽光校園跑的措施，隨機(jī)調(diào)查7名同學(xué)在某周周日校園跑的時(shí)長（單位：分鐘），得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：.則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別為（）A.60，58 B.60，60 C.55，58 D.55，60【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)定義，以及平均數(shù)公式即可求得.【詳解】將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為.易得中位數(shù)為60，平均數(shù)為.故選：B3.已知為實(shí)數(shù)，則（）A. B.2 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】利用為實(shí)數(shù)求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式求解．【詳解】由題意可得，由為實(shí)數(shù)，得，即，則，故．故選：D．4.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫出方程.【詳解】因?yàn)?，所以在點(diǎn)處的切線斜率為，所以切線方程為，即.故選：C.5.已知銳角滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式以及兩角差的余弦公式可得，再根據(jù)角的范圍以及余弦函數(shù)單調(diào)性即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉殇J角，則，而在上單調(diào)遞減，從而，即.故選：A.6.過點(diǎn)的直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題知曲線是以為圓心，1為半徑的半圓，結(jié)合圖形，利用過兩點(diǎn)直線的斜率和直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，曲線是以為圓心，1為半徑的半圓（如圖所示），設(shè)曲線的下端點(diǎn)為，要使與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則應(yīng)位于直線和切線之間，所以，因?yàn)椋字?，又與曲線相切，由，解得，所以，所以直線斜率的取值范圍為.故選：B.7.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在直線上，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別聯(lián)立直線和橢圓，利用的坐標(biāo)相等建立齊次方程，求解離心率即可.【詳解】設(shè)，由題意可知直線的方程為，線段的中點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，所以，另一方面，聯(lián)立，得.易知，由韋達(dá)定理得，解得，所以，故離心率，故D正確.故選：D.8.如圖，在平行四邊形中，為邊上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，利用共線定理設(shè)，表示出，，根據(jù)建立等式求解，分別求出各邊的長度，然后即可求解．【詳解】由，知為銳角，又因?yàn)椋裕O(shè)，即，．由，得，又，故．則，因此，即．中，由正弦定理，以及，整理計(jì)算得．故選：B．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線，則（）A.的取值范圍是B.時(shí)，的漸近線方程為C.的焦點(diǎn)坐標(biāo)為D.可以是等軸雙曲線【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，利用求雙曲線漸近線的求法，即可求解；選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A知焦點(diǎn)在軸上，再由，即可求解；選項(xiàng)D，利用等軸雙曲線的定義，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)楸硎倦p曲線，所以，解得，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，雙曲線方程為，其漸近線方程為，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A得0，所以焦點(diǎn)在軸上，設(shè)的半焦距為，則，解得，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若為等軸雙曲線，則，解得，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD.10.下列函數(shù)中，存在數(shù)列使得和都是公差不為0的等差數(shù)列的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為選項(xiàng)所給函數(shù)與一次函數(shù)是否存在3個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)是另外兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)，即可滿足題意，A選項(xiàng)，根據(jù)為奇函數(shù)，過原點(diǎn)的直線滿足要求，A正確；BC選項(xiàng)，不會(huì)有3個(gè)交點(diǎn)，舍去；D選項(xiàng)，判斷出為奇函數(shù)，與過原點(diǎn)的直線會(huì)和函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，且原點(diǎn)是另外兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)，D正確.【詳解】該題可轉(zhuǎn)化為判斷選項(xiàng)所給函數(shù)與一次函數(shù)是否存在3個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)是另外兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)，即可滿足題意，A選項(xiàng)，為奇函數(shù)，過原點(diǎn)的直線與有多個(gè)交點(diǎn)（包含原點(diǎn)），其中原點(diǎn)為兩個(gè)對(duì)稱交點(diǎn)的中點(diǎn)，滿足題意，故A正確；B選項(xiàng)，由于與一次函數(shù)最多兩個(gè)交點(diǎn)，不可能有三個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，為偶函數(shù)，且與二次函數(shù)圖象形狀類似，與一次函數(shù)最多兩個(gè)交點(diǎn)，不可能有三個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，令，解得，故的定義域?yàn)?，又，故為奇函?shù)，在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，且，時(shí)，趨向于，故過原點(diǎn)的直線可以與奇函數(shù)存在三個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)為原點(diǎn)，且原點(diǎn)是另外兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：數(shù)列新定義問題，主要針對(duì)于等差，等比，遞推公式和求和公式等綜合運(yùn)用，對(duì)常見的求通項(xiàng)公式和求和公式要掌握牢固，同時(shí)涉及數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與解析幾何，數(shù)列與二項(xiàng)式定理，數(shù)列與排列組合等知識(shí)的綜合，要將“新”性質(zhì)有機(jī)地應(yīng)用到“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性的解決問題.11.已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.是以8為周期的周期函數(shù)C.D【答案】ABC【解析】分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及表達(dá)式可知滿足，可判斷A正確；化簡(jiǎn)可得可知B正確；又可得，即C正確；利用賦值法可求得，可知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由題意，且，即①，用替換中的，得②，由①+②得，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，故A正確；對(duì)于B，由，可得，，所以，所以是以8為周期的周期函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由①知，則，所以，故C正確；對(duì)于D，又因?yàn)?，所以，令，則有2，令，則有，令，則有，所以，所以，故D錯(cuò)誤故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)性質(zhì)綜合問題經(jīng)常利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性中的兩條性質(zhì)去推導(dǎo)第三個(gè)性質(zhì)，再將3個(gè)性質(zhì)綜合運(yùn)用即可實(shí)現(xiàn)問題求解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為__________.【答案】15【解析】【分析】先寫出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，再依題意求解.【詳解】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，得其展開式中的系數(shù)為.故答案為：1513.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】由正弦型函數(shù)可知：兩個(gè)零點(diǎn)之間必存在極值點(diǎn)，兩個(gè)極值點(diǎn)之間必存在零點(diǎn)，利用正弦型函數(shù)的極值點(diǎn)可得即可求解.【詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，可知，解得.故答案為：14.已知三個(gè)正整數(shù)的和為8，用表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，則的期望__________.【答案】【解析】【分析】利用組合的知識(shí)與隔板法，分類討論求得與對(duì)應(yīng)的概率，從而利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可求解.【詳解】設(shè)這三個(gè)正整數(shù)分別為，則題意可得，所以隨機(jī)變量可能取值為1和2，用隔板法可求得：事件總情況為種，當(dāng)時(shí)，分兩種情況：①三個(gè)數(shù)中只有一個(gè)1，有種；②三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)1，有種，所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，也分兩種情況：①三個(gè)數(shù)中只有一個(gè)2，有種；②三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)2，有種，所以時(shí)，，所以故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于利用隔板法求得事件總情況為種，再分類討論與對(duì)應(yīng)的概率，從而得解.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.2024年全國田徑冠軍賽暨全國田徑大獎(jiǎng)賽總決賽于6月30日在山東省日照市落幕.四川田徑隊(duì)的吳艷妮以12秒74分的成績(jī)打破了100米女子跨欄的亞洲紀(jì)錄，并奪得了2024年全國田徑冠軍賽女子100米跨欄決賽的冠軍，通過跑道側(cè)面的高清軌道攝像機(jī)記錄了該運(yùn)動(dòng)員時(shí)間（單位：）與位移（單位：）之間的關(guān)系，得到如下表數(shù)據(jù)：2.82.933.13.22425293234畫出散點(diǎn)圖觀察可得與之間近似為線性相關(guān)關(guān)系.（1）求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）記，其中為觀測(cè)值，為預(yù)測(cè)值，為對(duì)應(yīng)的殘差，求前3項(xiàng)殘差的和.參考數(shù)據(jù)：，參考公式：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得回歸方程的系數(shù)，即可得回歸方程；（2）結(jié)合題中數(shù)據(jù)和計(jì)算公式即可求得.【小問1詳解】依題意可得所以關(guān)于的線性回歸方程為.【小問2詳解】根據(jù)（1）得到；；，所以.16.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）證明：；（2）若，求的周長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件得到，利用正弦定邊化角，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦定理得到，根據(jù)即可證明；（2）由（1）的結(jié)論計(jì)算出，再利用余弦定理建立等式求解即可．【小問1詳解】由，得，由正弦定理得．因?yàn)椋裕拘?詳解】因?yàn)?，所以，由余弦定理得，即，解得，所以的周長為．17.已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程消元，利用根的判別式來證明；（2）設(shè)，根據(jù)建立等式，將代入等式得出關(guān)于，利用偶次方的非負(fù)性解不等式即可．【小問1詳解】由題意聯(lián)立得，；【小問2詳解】設(shè)，由（1）得，，，即，即，整理得，將代入并整理得，，，且，解得：或．18.如圖，在棱長為4的正方體中，將側(cè)面沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度至平面，其中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求四棱錐的體積；（2）當(dāng)直線與平面所成的角為時(shí)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）只需算出，并證明平面，然后結(jié)合棱錐體積公式計(jì)算即可；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用表示直線的方向向量與平面的法向量，結(jié)合已知即可列方程求解.【小問1詳解】由題意平面平面，所以，又因?yàn)?，得，所以，因?yàn)椋?，故，又，故平面，所?【小問2詳解】如圖，易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題知，則，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得取，得，故，又，，即，化簡(jiǎn)可得，解得或（舍去）.19.定義：若對(duì)于任意，數(shù)列滿足：①；②，其中的定義域?yàn)?，則稱關(guān)于滿足性質(zhì).（1）請(qǐng)寫出一個(gè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，使得關(guān)于滿足性質(zhì)；（2）設(shè)，若關(guān)于滿足性質(zhì)，證明：；（3）設(shè)，若關(guān)于滿足性質(zhì)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（注：所有的定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)均符合題意）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè)，得到任意，，且，故滿足要求；（2）因?yàn)椋?，變形得到，利用基本不等式得到結(jié)論；（3）求導(dǎo)，結(jié)合基本不等式，求出導(dǎo)數(shù)恒大于0，故在上單調(diào)遞增，而，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，因?yàn)?，結(jié)合性質(zhì)，得到，求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問1詳解】令，定義域?yàn)镽，顯然任意，，且，故滿足要求，（注：所有的定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)均符合題意）【小問2詳解】因?yàn)?，所以，移?xiàng)得，因?yàn)?，所以，故，由基本不等式，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，而，故，即.【小問3詳解】由題意，，故，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，而，故時(shí)，時(shí)，，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.不