內(nèi)蒙古呼和浩特市2025屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2025屆高三年級(jí)第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)寫在答題卡上.2.選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).不能答在本試卷上，否則無效.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，求出集合.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.2.已知命題，；命題，，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題【答案】B【解析】【分析】分別判斷兩個(gè)命題的真假即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故命題為假命題，命題為真命題；當(dāng)時(shí)，，故命題為真命題，命題為假命題；故和都是真命題.故選:B3.已知為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則求出z,再求的模.【詳解】因?yàn)?所以，則.故選：B.4.已知平面向量，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再由平面向量的夾角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】，，，，．故選：B5.若是第二象限角，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用兩角和的正切公式計(jì)算出，再用三角函數(shù)定義求得.【詳解】，得，解得.是第二象限角,終邊取點(diǎn)，則.故選：A.6.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A. B.3 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計(jì)算可得，即可得離心率.【詳解】由題意，設(shè)、、，則，，，則，則.故選：C7.當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】作出兩函數(shù)在上的圖象，結(jié)合圖象即可得答案.【詳解】時(shí)，，令，得，此時(shí)，令，得，此時(shí)，令，得，此時(shí)，令，得，此時(shí)，時(shí)，，函數(shù)的周期，結(jié)合周期，利用五點(diǎn)法作出圖象，由圖知，共有4個(gè)交點(diǎn).故選：.8.已知圓錐的頂點(diǎn)為，其三條母線兩兩垂直，且母線長(zhǎng)為.則圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圓錐底面圓的半徑，然后由圓錐的側(cè)面積公式求出結(jié)果即可.【詳解】因三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長(zhǎng)為，所以為圓錐底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)，由正弦定理可得底面圓的半徑，圓錐的側(cè)面積為；故選：D二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列選項(xiàng)中正確的是（）A.越大，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越小B.該物理量在一次測(cè)量中小于11的概率小于0.5C.該物理量在一次測(cè)量中小于10.98與大于11.02的概率不相等D.該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率不相等【答案】AD【解析】【分析】越大，正態(tài)密度曲線越“胖矮”可判斷A；根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可判斷BCD．【詳解】對(duì)于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越大，數(shù)據(jù)在均值附近越分散，所以測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越小，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量小于11的概率為0.5，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋烧龖B(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知，該物理量一次測(cè)量中小于10.98與大于11.02的概率概率相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知，該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率不相等，故D正確.故選：AD.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.有三個(gè)零點(diǎn)B.是的極大值點(diǎn)C.曲線為軸對(duì)稱圖形D.為曲線的對(duì)稱中心【答案】BD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，求出極值可得的大致圖象可判斷ABC；求出可判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處有極大值，為，在處有極小值，為，又，的大致圖象如下所以有兩個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A選項(xiàng)可知是的極大值點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，由A選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以曲線不是軸對(duì)稱圖形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以為曲線的對(duì)稱中心，故D正確.故選：BD.11.如圖，曲線過原點(diǎn)，其漸近線方程為，則（）A.曲線關(guān)于直線對(duì)稱B.點(diǎn)位于曲線圍成的封閉區(qū)域（陰影部分）外C.若在曲線上，則D.曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離之積的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)換判斷A，點(diǎn)代入曲線判斷B，應(yīng)用基本不等式判斷C,D.【詳解】若把的解析式中的互換，則方程不變，故C的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，A正確；點(diǎn)在第一象限，且，故點(diǎn)位于曲線C圍成的封閉區(qū)域（陰影部分）內(nèi)，B錯(cuò)誤；曲線在漸近線的上方，故，即，又當(dāng)在第一象限內(nèi)時(shí)，由，得故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故,C正確；因?yàn)榍€C在第一象限內(nèi)的點(diǎn)滿足，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故曲線C在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離之積的最大值為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.用0與1兩個(gè)數(shù)字隨機(jī)填入如圖所示的3個(gè)格子里，每個(gè)格子填一個(gè)數(shù)字.若從左到右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總是1的個(gè)數(shù)不少于0的個(gè)數(shù)，則這樣填法的概率為__________.【答案】##0.375【解析】【分析】根據(jù)列舉法應(yīng)用古典概型計(jì)算即可.【詳解】列出樹狀圖基本事件的總數(shù)為8個(gè)，滿足條件的基本事件為共3種，所以概率為.故答案為：.13.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知，外接圓直徑為4，則邊的長(zhǎng)為__________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理得求出，由利用兩角和的正弦展開式求出，從而求出，再利用正弦定理可得答案.【詳解】，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，由得，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，可得，所以，因?yàn)橥饨訄A直徑為4，所以由正弦定理得，則邊的長(zhǎng)為.故答案為：.14.若是的極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，對(duì)極值點(diǎn)條件轉(zhuǎn)化，判斷極值點(diǎn)，即可求解.【詳解】x=0是的極小值點(diǎn)，求導(dǎo)得.，因?yàn)?是極小值點(diǎn)，所以單調(diào)遞減，?x∈0,ε,設(shè)，當(dāng)a≥1時(shí)，單調(diào)遞增,,滿足單調(diào)遞減，x∈0,+∞當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減,，x∈?∞,0,f'x∈0,+∞當(dāng)0<a<1時(shí)，,有兩個(gè)根設(shè)單調(diào)遞減,,x∈x1,0x∈0,故a≥1.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，且成等比數(shù)列.（1）求和；（2）若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式即可求解；（2）結(jié)合題意，由（1）的結(jié)論可得，利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【小問1詳解】設(shè)已知數(shù)列的公差為，則，由，得，即，所以或，顯然不0，所以，所以，.【小問2詳解】由（1）知，又，，，所以.16.某廠為了考察設(shè)備更新后的產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率，質(zhì)檢部門根據(jù)有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本測(cè)試數(shù)據(jù)，制作了如下列聯(lián)表：產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品更新前2416更新后4812（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析設(shè)備更新后能否提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率？（2）如果以這次測(cè)試中設(shè)備更新后的優(yōu)質(zhì)品頻率作為更新后產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率.質(zhì)檢部門再次從設(shè)備更新后的生產(chǎn)線中抽出5件產(chǎn)品進(jìn)行核查，核查方案為：若這5件產(chǎn)品中至少有3件是優(yōu)質(zhì)品，則認(rèn)為設(shè)備更新成功，提高了優(yōu)質(zhì)率；否則認(rèn)為設(shè)備更新失敗.①求經(jīng)核查認(rèn)定設(shè)備更新失敗的概率；②根據(jù)的大小解釋核查方案是否合理.附：0.05000100.0013.8416.63510.828【答案】（1）可以認(rèn)為設(shè)備更新后能夠提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率（2）①0.05792；②合理【解析】【分析】（1）先計(jì)算出的值，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想對(duì)照臨界值得結(jié)論；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的有關(guān)計(jì)算公式，求出對(duì)應(yīng)的概率，并根據(jù)對(duì)應(yīng)概率的大小，作出正確的判斷.【小問1詳解】零假設(shè)為：設(shè)備更新與產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率獨(dú)立，即設(shè)備更新前與更新后的產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率沒有差異.由列聯(lián)表可計(jì)算，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可以推斷不成立，因此可以認(rèn)為設(shè)備更新后能夠提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率.【小問2詳解】根據(jù)題意，設(shè)備更新后的優(yōu)質(zhì)率為0.8.可以認(rèn)為從生產(chǎn)線中抽出的5件產(chǎn)品是否優(yōu)質(zhì)是相互獨(dú)立的.①設(shè)表示這5件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)，則，可得②實(shí)際上設(shè)備更新后提高了優(yōu)質(zhì)率.當(dāng)這5件產(chǎn)品中的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)不超過2件時(shí)，認(rèn)為更新失敗，此時(shí)作出了錯(cuò)誤的判斷，由于作出錯(cuò)誤判斷的概率很小，則核查方案是合理的.17.如圖1，在菱形中，，沿將向上折起得到棱錐.如圖2所示，設(shè)二面角的平面角為.（1）當(dāng)為何值時(shí)，三棱錐和四棱錐的體積之比為；（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，結(jié)合圖形，得，即，再由相似三角形的性質(zhì)即得；（2）由條件推得為直二面角的平面角，利用其建系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出兩平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求得.【小問1詳解】由圖知，，從而，因，故,則,于是，；【小問2詳解】因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直，設(shè)與的交點(diǎn)為，由可知O點(diǎn)為線段EF的中點(diǎn)，在翻折的過程中，始終有，所以二面角的平面角為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸?軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，可得，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則令，則，可取因平面,故平面的法向量可取為，由題意可得，因，故.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)得出切線斜率，再寫出切線方程；（2）分別構(gòu)造函數(shù)再求導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性，最后結(jié)合中介函數(shù)得出函數(shù)的不等關(guān)系.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，且，所以切線方程為，即.【小問2詳解】由題意知，設(shè)，則，令?'x>0得，令?'故?x在單調(diào)遞減，在0,+∞單調(diào)遞增，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.設(shè)，則，令φ'x>0得，令φ'故φx在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，綜上可得，，等號(hào)不能同時(shí)成立，所以，.19.設(shè)點(diǎn)從格點(diǎn)出發(fā)，沿格徑以最短的路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，即每次運(yùn)動(dòng)到另一格點(diǎn)時(shí)，橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)增加1.設(shè)點(diǎn)經(jīng)過的所有格點(diǎn)中兩坐標(biāo)乘積之和為.（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)沿格徑以最短的路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的方案有多少種？（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（3）當(dāng)點(diǎn)從格點(diǎn)出發(fā)，沿格徑以最短的路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)且，求的最大值.（參考公式：）【答案】（1）（2）21（3）【解析】【分析】（1）分析從點(diǎn)到點(diǎn)的過程，只需確定橫格或確定縱格即可確定路線，由此即可求出方案數(shù)；（2）結(jié)合圖形，考慮不同的路線方案，計(jì)算的值，取其最大者即得；（3）依題，要使最大，應(yīng)使盡可能接近.先證明猜想：如果使S最大，則對(duì)任何，有成立，接著分和兩種情況列出的表達(dá)式，利用參考公式與等差數(shù)列求和公式求和即得.【小問1詳解】因從點(diǎn)到點(diǎn)的路線，至少經(jīng)過三個(gè)橫格與兩個(gè)縱格，只需確定了橫格或縱格，方案即確定，故方案種數(shù)為；【小問2詳解】方案一：，；方案二：，；方案三：，；方案四：，所以，的最大值為21.【小問3詳解】設(shè)P經(jīng)過的點(diǎn)依次為的坐標(biāo)為，則，要使S最大，應(yīng)使盡可能接近.于是猜想：如果使S最大，則對(duì)任何，有.以下證明這個(gè)猜想.假設(shè)存在，使，不妨設(shè),觀察路徑，發(fā)現(xiàn)一定有一個(gè)點(diǎn)，滿足這樣的條件，即路徑中存在這樣連續(xù)三點(diǎn)，使得是橫向格，是縱向格