山東省菏澤市成武縣伯樂高級中學2024-2025學年高二上學期開學考試數(shù)學試題（解析）

2024—2025學年度高二數(shù)學暑假學習質(zhì)量監(jiān)測一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若向量，，，則（）A. B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】因為，，，所以，解得.故選：D2.在中，，則（）A.8 B.12 C.16 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理代入計算，即可求解.【詳解】在中，由正弦定理可得，即.故選：D3.設(shè)，則的虛部是（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)化簡復數(shù)，即可根據(jù)虛部概念求解.【詳解】由于，所以的虛部為1，故選：A4.交通錐，又稱錐形交通路標，如圖1，常用于進行工程、發(fā)生事故時提醒行人或車輛，以保證安全．某數(shù)學課外興趣小組對一個去掉底座圓錐形交通錐筒進行研究，發(fā)現(xiàn)將其放倒在地面上，如圖2，使交通錐筒在地面上繞其頂點滾動，當其首次轉(zhuǎn)回原位置時，交通錐筒恰好滾動了3周．若交通錐筒近似看成無底的圓錐，將地面近似看成平面，該圓錐的母線長為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圓的周長公式、圓錐的體積公式運算即可得解.【詳解】因為該圓錐的母線長為，則圓錐繞頂點滾動所形成的圓的半徑為，周長為，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則該圓錐的底面周長為，故由題意，，則該圓錐的高為，所以該圓錐的體積為，故選：C.5.已知三條不同的直線和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系及平行垂直性質(zhì)判斷逐一判斷.【詳解】若,可以有或相交，故A錯；若，可以有或異面，故B錯；若，可以有、與斜交、，故C錯；過作平面，則，又，得，，所以，故D正確.故選:D【點睛】本題考查空間線、面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6.某射擊運動員射擊5次的成績?nèi)缦卤恚旱?次第2次第3次第4次第5次9環(huán)9環(huán)10環(huán)8環(huán)9環(huán)下列結(jié)論正確的是（）A.該射擊運動員5次射擊的平均環(huán)數(shù)為9.2B.該射擊運動員5次射擊的平均環(huán)數(shù)為9.5C.該射擊運動員5次射擊的環(huán)數(shù)的方差為1D.該射擊運動員5次射擊的環(huán)數(shù)的方差為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均值和方差的公式即可求解.【詳解】該射擊運動員5次射擊的平均環(huán)數(shù)為，5次射擊的環(huán)數(shù)的方差.結(jié)合選項可知：ABC錯誤，D正確.故選：D.7.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，記事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件“次中至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是（）A.當時， B.當時，C.當時， D.當時，【答案】D【解析】【分析】分和的情況分別考慮四個選項.【詳解】當時，表示一正一反，故，故A正確；表示兩個正面，此時，故B正確；當時，表示既有正面朝上又有反面朝上，故，故C正確；當時，表示既有正面朝上又有反面朝上，故，故D錯誤.故選：D.8.“十字貫穿體”是由兩個完全相同正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點（該點為所在棱的中點）若某“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為的正四棱柱構(gòu)成，則下列說法正確的是（）A.一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線互相垂直B.該“十字貫穿體”的表面積是C.該“十字貫穿體”的體積是D.一只螞蟻從該“十字貫穿體”頂點A出發(fā)，沿表面到達頂點B的最短路線長為【答案】C【解析】【分析】對于A：求出，看是否符合勾股定理即可；對于B：該“十字貫穿體”由個正方形和個與梯形全等的梯形組成，分別求出來即可；對于C：求出兩個正四棱錐重疊部分為多面體的體積，然后求整個幾何體的體積；對于D：將面，面，面繞著面與面之間的交線旋轉(zhuǎn)到與面共面，則線段的長即為所求.【詳解】依題意，不妨設(shè)該幾何體中心對稱，對于A：在梯形中，，，則，所以，即一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線不互相垂直，A錯誤；對于B：該“十字貫穿體”由個正方形和個與梯形全等的梯形組成，故表面積，B錯誤；對于C：如圖兩個正四棱錐重疊部分為多面體，取的中點，則多面體可以分成個全等的三棱錐，又，所以該“十字貫穿體”的體積是，C正確；對于D：將面，面，面繞著面與面之間的交線旋轉(zhuǎn)到與面共面，如圖：則，所以為鈍角，連接，則線段的長為一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點A出發(fā)，沿表面到達頂點B的最短路線長，根據(jù)對稱性可得，因為，所以，又，所以，所以，又，所以，則，D錯誤.故選：C.【點睛】方法點睛：對于幾何體表面距離和問題，一般通過將各面旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為共面問題，然后距離最小問題可以轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短或者垂線段最短的問題來解答.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則由下列條件能得到為鈍角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A.利用余弦定理判斷；B.利用余弦定理求得邊c，再利用余弦定理判斷；C.利用兩角和的余弦公式判斷；D.利用兩角和的余弦公式判斷.【詳解】A.因為，由余弦定理得，角C為鈍角，所以為鈍角三角形，故正確；B.因為，由余弦定理得，，角B為鈍角，所以為鈍角三角形，故正確；C.由，得，由，得，又，所以角A為銳角，則，所以，所以，所以為直角三角形，故錯誤；D.由，得，則，即，角B為鈍角，所以為鈍角三角形，故正確；故選：ABD10.有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到的新樣本數(shù)據(jù)，其中（其中，為非零常數(shù)），則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)即可判斷AB；根據(jù)中位數(shù)的定義即可判斷C；根據(jù)極差的定義即可判斷D.【詳解】對于A，，，因為，故平均數(shù)不相同，故A錯誤；對于B，若樣本數(shù)據(jù)的方差為，則新樣本數(shù)據(jù)的方差為，故方差相同，故B正確；對于C，若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，因為，故中位數(shù)不相同，故C錯誤；對于D，由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，所以極差相同，故D正確；故選：BD.11.如圖，在正方體中，，分別是，的中點，為線段上的動點(不含端點)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.平面B.存在點使得C.存在點使得異面直線與所成的角為60°D.三棱錐的體積為定值【答案】ABD【解析】【分析】對于A，轉(zhuǎn)證線線平行即可；對于B，轉(zhuǎn)證線面垂直即可；對于C，把異面直線所成角轉(zhuǎn)為相交直線所成角問題，借助邊間關(guān)系即可判斷；對于D，利用面面平行可知點到平面距離為定值.【詳解】如圖，易證，平面，則有平面，故A正確；設(shè)中點為，若為中點，則有，，，則平面，則，因為，所以，故B正確；設(shè)正方體棱長為2，取中點為，連接，因為，所以異面直線與所成的角即為，在直角三角形中，，即，故C錯誤；易知點到平面的距離為定值，則三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一組數(shù)據(jù)如下：，該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是______．【答案】14【解析】【分析】直接由百分位數(shù)定義求解即可.【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排成，一共個數(shù).解不等式，得，故分位數(shù)是從小到大排第個數(shù)和第個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，即.故答案為：.13.在三棱錐中，，若該三棱錐的所有頂點均在球的表面上，則球的表面積為__________.【答案】##【解析】【分析】由三棱錐三條側(cè)棱相等可知三棱錐的外接球球心在正三棱錐的高上且點在底面的射影即為的外心,可先由正弦定理求得外接圓半徑，再由勾股定理求得外接球半徑,即可求得球的表面積.【詳解】因為，所以點在平面上的射影為的外心，如下圖，又，所以的外接圓的半徑，從而三棱錐的高為.設(shè)該三棱錐外接球的半徑為，則，即，解得，故球的表面積為.故答案為：.14.甲?乙兩隊進行答題比賽，每隊3名選手，規(guī)定兩隊的每名選手都完成一次答題為一輪比賽，每名選手答對一題得1分，答錯一題得0分.已知甲隊中每名選手答對題的概率都為，乙隊中3名選手答對題的概率分別為.在第一輪比賽中，甲隊得分，乙隊得分，則在這一輪中，滿足且的概率為__________.【答案】【解析】【分析】首先求出甲在一輪比賽中得分、分概率，乙在一輪比賽中得分、分的概率，設(shè)在這一輪中，滿足且為事件，則包含①甲隊得分，乙隊得分，②甲隊得分，乙隊得分，③甲隊得分，乙隊得分，再根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得.【詳解】依題意甲隊在一輪比賽中得分的概率為，甲隊在一輪比賽中得分的概率為，乙隊在一輪比賽中得分的概率為：，乙隊在一輪比賽中得分的概率為：，設(shè)在這一輪中，滿足且為事件，則包含①甲隊得分，乙隊得分，②甲隊得分，乙隊得分，③甲隊得分，乙隊得分，所以，即在這一輪中，滿足且的概率為.

故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是分析得到①甲隊得分，乙隊得分，②甲隊得分，乙隊得分，③甲隊得分，乙隊得分，再根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓.（1）若直線l經(jīng)過點，且與圓C相切，求直線l的方程；（2）若圓與圓C相切，求實數(shù)m的值.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）首先設(shè)出過定點直線，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求直線，不要忘記討論斜率不存在的情況；（2）分內(nèi)切和外切，結(jié)合公式，列式求值.【小問1詳解】若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為，與圓C相切，符合題意.若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，則，解得，所以直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.【小問2詳解】圓的方程可化為.若圓與圓C外切，則，解得.若圓與圓C內(nèi)切，則，解得.綜上，或.16.如圖，平面，，，為中點．（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接、，即可得到四邊形為平行四邊形，從而得到，即可得證；（2）利用等體積法求出點到平面的距離.【小問1詳解】取的中點，連接、，因為為中點，所以且，又，，，即且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因為，，所以，所以，又平面，所以，因為，，所以，由平面，平面，所以，，又，，所以，所以，設(shè)點到平面的距離為，則，解得.17.中，角，，的對邊分別為，，，若．（1）求；（2）若且的面積為，求邊長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合兩角和的正弦公式、輔助角公式化簡進行求解即可；（2）由正弦定理得，，代入面積公式求邊長．【小問1詳解】中，，由正弦定理得，又，所以，由于，，有，所以，又B∈0,π，則，所以.【小問2詳解】由（1），而，由正弦定理有asin5π12=由三角形面積公式可知，的面積可表示為S△ABC由已知的面積為，可得，所以.18.某校高一年級開設(shè)有羽毛球訓練課，期末對學生進行羽毛球五項指標(正手發(fā)高遠球、定點高遠球、吊球、殺球以及半場計時往返跑)考核，滿分100分.參加考核的學生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示.（1）由頻率分布直方圖，求出圖中的值，并估計考核得分的第60百分位數(shù):（2）為了提升同學們的羽毛球技能，校方準備招聘高水平的教練.現(xiàn)采用分層抽樣的方法(樣本量按比例分配)，從得分在內(nèi)的學生中抽取5人，再從中挑出兩人進行試課，求兩人得分分別來自和80,90的概率:（3）現(xiàn)已知直方圖中考核得分在內(nèi)的平均數(shù)為75，方差為6.25，在80,90內(nèi)的平均數(shù)為85，方差為0.5，求得分在內(nèi)的平均數(shù)和方差.【答案】（1），85（2）（3）得分在內(nèi)的平均數(shù)為81，方差為26.8.【解析】【分析】（1）首先根據(jù)頻率和為1求出，再根據(jù)百分數(shù)公式即可得到答案；（2）求出各自區(qū)間人數(shù)，列出樣本空間和滿足題意的情況，根據(jù)古典概型公式即可；（3）根據(jù)方差定義，證明出分層抽樣的方差公式，代入計算即可.【小問1詳解】由題意得:，解得，設(shè)第60百分位數(shù)為，則，解得，第60百分位數(shù)為85.【小問2詳解】由題意知，抽出的5位同學中，得分在的有人，設(shè)為、，在的有人，設(shè)為、、.則樣本空間為.設(shè)事件“兩人分別來自和，則，因此，所以兩人得分分別來自和的概率為.【小問3詳解】由題意知，落在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有個，落在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有個.記在區(qū)間的數(shù)據(jù)分別為，平均分為，方差為；在區(qū)間的數(shù)據(jù)分別為為，平均分為，方差為；這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.由題意，，且，則.根據(jù)方差的定義，由，可得故得分在內(nèi)的平均數(shù)為81，方差為26.8.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是充分利用方差定義，推導出分層抽樣的方差計算公式即可.19.定義：如果在平面直角