高考數(shù)學回歸課本-三角函數(shù)教案-舊人教版

/高考數(shù)學回歸課本教案第六章三角函數(shù)一、基礎學問定義1角，一條射線圍著它的端點旋轉得到的圖形叫做角。若旋轉方向為逆時針方向，則角為正角，若旋轉方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉則為零角。角的大小是任意的。定義2角度制，把一周角360等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圓心角的弧長為L，則其弧度數(shù)的確定值|α|=,其中r是圓的半徑。定義3三角函數(shù)，在直角坐標平面內，把角α的頂點放在原點，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個不同于原點的點P，設它的坐標為（x,y），到原點的距離為r,則正弦函數(shù)sinα=,余弦函數(shù)cosα=,正切函數(shù)tanα=，余切函數(shù)cotα=，正割函數(shù)secα=,余割函數(shù)cscα=定理1同角三角函數(shù)的基本關系式，倒數(shù)關系：tanα=,sinα=，cosα=；商數(shù)關系：tanα=；乘積關系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方關系：sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.定理2誘導公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=cotα;（Ⅲ）sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα;（Ⅳ）sin=cosα,cos=sinα,tan=cotα（奇變偶不變，符號看象限）。定理3正弦函數(shù)的性質，依據(jù)圖象可得y=sinx（x∈R）的性質如下。單調區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周期為2.奇偶數(shù).有界性：當且僅當x=2kx+時，y取最大值1，當且僅當x=3k-時,y取最小值-1。對稱性：直線x=k+均為其對稱軸，點（k,0）均為其對稱中心，值域為[-1，1]。這里k∈Z.定理4余弦函數(shù)的性質，依據(jù)圖象可得y=cosx(x∈R)的性質。單調區(qū)間：在區(qū)間[2kπ,2kπ+π]上單調遞減，在區(qū)間[2kπ-π,2kπ]上單調遞增。最小正周期為2π。奇偶性：偶函數(shù)。對稱性：直線x=kπ均為其對稱軸，點均為其對稱中心。有界性：當且僅當x=2kπ時，y取最大值1；當且僅當x=2kπ-π時，y取最小值-1。值域為[-1，1]。這里k∈Z.定理5正切函數(shù)的性質：由圖象知奇函數(shù)y=tanx(xkπ+)在開區(qū)間(kπ-,kπ+)上為增函數(shù),最小正周期為π，值域為（-∞，+∞），點（kπ，0），（kπ+，0）均為其對稱中心。定理6兩角和與差的基本關系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;tan(αβ)=定理7和差化積與積化和差公式:sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].定理8倍角公式:sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=定理9半角公式:sin=,cos=,tan==定理10萬能公式:,,定理11幫助角公式：假如a,b是實數(shù)且a2+b20，則取始邊在x軸正半軸，終邊經過點(a,b)的一個角為β，則sinβ=,cosβ=，對任意的角α.asinα+bcosα=sin(α+β).定理12正弦定理：在任意△ABC中有，其中a,b,c分別是角A，B，C的對邊，R為△ABC外接圓半徑。定理13余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分別是角A，B，C的對邊。定理14圖象之間的關系：y=sinx的圖象經上下平移得y=sinx+k的圖象；經左右平移得y=sin(x+)的圖象（相位變換）；縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼模玫統(tǒng)=sin()的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(>0)的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(,>0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)=Asinx的圖象。定義4函數(shù)y=sinx的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx(x∈[-1,1])，函數(shù)y=cosx(x∈[0,π])的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作y=arccosx(x∈[-1,1]).函數(shù)y=tanx的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx(x∈[-∞,+∞]).y=cosx(x∈[0,π])的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx(x∈[-∞,+∞]).定理15三角方程的解集，假如a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina,n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k∈Z}.假如a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理16若，則sinx<x<tanx.二、方法與例題1．結合圖象解題。例1求方程sinx=lg|x|的解的個數(shù)?！窘狻吭谕蛔鴺讼祪犬嫵龊瘮?shù)y=sinx與y=lg|x|的圖象（見圖），由圖象可知兩者有6個交點，故方程有6個解。2．三角函數(shù)性質的應用。例2設x∈(0,π),試比較cos(sinx)與sin(cosx)的大小?！窘狻咳簦瑒tcosx≤1且cosx>-1，所以cos，所以sin(cosx)≤0,又0<sinx≤1,所以cos(sinx)>0，所以cos(sinx)>sin(cosx).若，則由于sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)≤<，所以0<sinx<-cosx<，所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx).綜上，當x∈(0,π)時，總有cos(sinx)<sin(cosx).例3已知α，β為銳角，且x·（α+β-）>0，求證：【證明】若α+β>，則x>0，由α>-β>0得cosα<cos(-β)=sinβ,所以0<<1，又sinα>sin(-β)=cosβ,所以0<<1，所以 若α+β<，則x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,所以>1。又0<sinα<sin(-β)=cosβ，所以>1，所以，得證。注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調性和有界性及幫助角公式，值得留意的是角的爭辯。3．最小正周期的確定。例4求函數(shù)y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】首先，T=2π是函數(shù)的周期（事實上，由于cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，當且僅當x=kπ+時，y=0（由于|2cosx|≤2<π）,所以若最小正周期為T0，則T0=mπ,m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。4．三角最值問題。例5已知函數(shù)y=sinx+，求函數(shù)的最大值與最小值?！窘夥ㄒ弧苛顂inx=,則有y=由于，所以，所以≤1，所以當，即x=2kπ-(k∈Z)時，ymin=0，當，即x=2kπ+(k∈Z)時，ymax=2.【解法二】由于y=sinx+,=2（由于(a+b)2≤2(a2+b2)），且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，所以當=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)時,ymax=2，當=-sinx，即x=2kπ-(k∈Z)時,ymin=0。例6設0<<π，求sin的最大值。【解】由于0<<π，所以，所以sin>0,cos>0.所以sin（1+cos）=2sin·cos2=≤=當且僅當2sin2=cos2,即tan=,=2arctan時，sin(1+cos)取得最大值。例7若A，B，C為△ABC三個內角，試求sinA+sinB+sinC的最大值。【解】由于sinA+sinB=2sincos,①sinC+sin,②又由于，③由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,當A=B=C=時，（sinA+sinB+sinC）max=.注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調性等是解三角最值的常用手段。5．換元法的使用。例8求的值域。【解】設t=sinx+cosx=由于所以又由于t2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以由于t-1，所以，所以y-1.所以函數(shù)值域為例9已知a0=1,an=(n∈N+)，求證：an>.【證明】由題設an>0，令an=tanan,an∈，則an=由于，an∈，所以an=，所以an=又由于a0=tana1=1，所以a0=，所以·。又由于當0<x<時，tanx>x，所以注：換元法的關鍵是保持換元前后變量取值范圍的全都性。另外當x∈時，有tanx>x>sinx，這是個熟知的結論，臨時不證明，學完導數(shù)后，證明是很簡潔的。6．圖象變換：y=sinx(x∈R)與y=Asin(x+)(A,,>0).由y=sinx的圖象向左平移個單位，然后保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，然后再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，最終向左平移個單位，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象。例10例10已知f(x)=sin(x+)(>0,0≤≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點對稱，且在區(qū)間上是單調函數(shù)，求和的值?！窘狻坑蒮(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對任意x∈R成立。又0≤≤π，解得=，由于f(x)圖象關于對稱，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(k∈Z)，即=(2k+1)(k∈Z).又>0，取k=0時，此時f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數(shù)；取k=1時，=2，此時f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數(shù)；取k=2時，≥，此時f(x)=sin(x+)在[0，]上不是單調函數(shù)，綜上，=或2。7．三角公式的應用。例11已知sin(α-β)=，sin(α+β)=-，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值?！窘狻坑捎讦?β∈，所以cos(α-β)=-又由于α+β∈，所以cos(α+β)=所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.例12已知△ABC的三個內角A，B，C成等差數(shù)列，且，試求的值。【解】由于A=1200-C，所以cos=cos(600-C)，又由于=，所以=0。解得或。又>0，所以。例13求證：tan20+4cos70.【解】tan20+4cos70=+4sin20三、基礎訓練題1．已知銳角x的終邊上一點A的坐標為(2sin3,-2cos3)，則x的弧度數(shù)為___________。2．適合-2cscx的角的集合為___________。3．給出下列命題：（1）若αβ，則sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,則αβ；（3）若sinα>0，則α為第一或其次象限角；（4）若α為第一或其次象限角，則sinα>0.上述四個命題中，正確的命題有__________個。4．已知sinx+cosx=(x∈(0,π))，則cotx=___________。5．簡諧振動x1=Asin和x2=Bsin疊加后得到的合振動是x=___________。6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，則1，2，3，4分別是第________象限角。7．滿足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的銳角x共有________個。8．已知，則=___________。9．=___________。10．cot15cos25cot35cot85=___________。11．已知α,β∈(0,π),tan,sin(α+β)=，求cosβ的值。12．已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間上單調遞減，試求實數(shù)m的取值范圍。四、高考水平訓練題1．已知一扇形中心角是a,所在圓半徑為R，若其周長為定值c(c>0)，當扇形面積最大時，a=__________.2.函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx)的單調遞減區(qū)間是__________.3.函數(shù)的值域為__________.4.方程=0的實根個數(shù)為__________.5.若sina+cosa=tana,a，則__________a（填大小關系）.6.(1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________.7.若0<y≤x<且tanx=3tany，則x-y的最大值為__________.8.=__________.9.·cos·cos·cos·cos=__________.10.cos271+cos71cos49+cos249=__________.11.解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.12.求滿足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的全部銳角x.13.已知f(x)=(kA0,k∈Z,且A∈R)，（1）試求f(x)的最大值和最小值；（2）若A>0,k=-1，求f(x)的單調區(qū)間；（3）試求最小正整數(shù)k，使得當x在任意兩個整數(shù)（包括整數(shù)本身）間變化時，函數(shù)f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。五、聯(lián)賽一試水平訓練題（一）1．若x,y∈R，則z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范圍是____________.2．已知圓x2+y2=k2至少蓋住函數(shù)f(x)=的一個最大值點與一個最小值點，則實數(shù)k的取值范圍是____________.3．f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值為____________.4．方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）內有相異兩實根α，β，則α+β=____________.5．函數(shù)f(x)=|tanx|+|cotx|的單調遞增區(qū)間是____________.6．設sina>0>cosa,且sin>cos，則的取值范圍是____________.7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________個解.8．若x,y∈R,則M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值為____________.9．若0<<,m∈N+,比較大小：(2m+1)sinm(1-sin)__________1-sin2m10．cot70+4cos70=____________.11.在方程組中消去x,y，求出關于a,b,c的關系式。12．已知α，β，γ，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。13．關于x,y的方程組有唯一一組解，且sinα,sinβ,sinγ互不相等，求sinα+sinβ+sinγ的值。14．求滿足等式sinxy=sinx+siny的全部實數(shù)對（x,y）,x,y.聯(lián)賽一試水平訓練題（二）1．在平面直角坐標系中，函數(shù)f(x)=asinax+cosax(a>0)在一個最小正周期長的區(qū)間上的圖象與函數(shù)g(x)=的圖象所圍成的封閉圖形的面積是__________.2．若，則y=tan-tan+cos的最大值是__________.3．在△ABC中，記BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2-19c2=0，4．設f(x)=x2-πx,α=arcsin,β=arctan,γ=arccos,δ=arccot,將f(α),f(β),f(γ),f(δ)從小到大排列為__________.5．logsin1cos1=a,logsin1tan1=b,logcos1sin1=c,logcos1tan1=d。將a,b,c,d從小到大排列為__________.6．在銳角△ABC中，cosA=cosαsinβ,cosB=cosβsinγ,cosC=cosγsinα，則tanα·tanβ·tanγ=__________.7．已知矩形的兩邊長分別為tan和1+cos(0<<π)，且對任何x∈R,f(x)=sin·x2+·x+cos≥0，則此矩形面積的取值范圍是__________.8．在銳角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范圍是__________.9．已知當x∈[0,1]，不等式x2cos-x(1