人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修二重難點(diǎn)2 數(shù)列的求和方法（精練）（解析版）

資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】重難點(diǎn)2數(shù)列的求和方法（精練）一．單選題（每道題目只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，8題共40分）1．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列的通項(xiàng)公式（），則的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，則，故選：C2．（2023春·廣東珠?！じ叨？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（

）A．1010 B．1011 C．2021 D．2022【答案】D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，所以，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得：，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，.故選：D3．（2023春·廣東惠州·高二?？计谥校┮阎?xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，若，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，故選：C4．（2022春·廣東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）等差數(shù)列中，，設(shè)，則數(shù)列的前61項(xiàng)和為（

）A． B．7 C． D．8【答案】C【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列滿(mǎn)足，所以，所以，所以，令數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以．故選：C．5．（2023·廣東珠?！じ叨y(tǒng)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則（

）A．10100 B．-10100 C．5052 D．-5052【答案】D【解析】∵∴∴.故選：D.6．（2023秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，n的最大值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列所以因?yàn)槭且?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以由得：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以n的最大值是.故選：B.7．（2023·廣東廣州）已知函數(shù)，則（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，記，則，所以，故.故選C.8（2023·四川遂寧·?？寄M預(yù)測(cè)）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則稱(chēng)數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”．已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，即，當(dāng)時(shí)，，又，則滿(mǎn)足，故對(duì)任意的，，則，，易知是遞增數(shù)列，所以，數(shù)列的最小值是，由題意，整理可得，解得．故選：B．多選題（每道題目至少有兩個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）9．（2023秋·山東威海）若數(shù)列滿(mǎn)足（為正整數(shù)），為數(shù)列的前項(xiàng)和則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】，故A正確；由知，，兩式相減得，故，故當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，故，故，故，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故，故D正確.故選：ABD.10．（2023秋·廣東）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，滿(mǎn)足下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)的和【答案】BC【解析】由題意數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足，則，則，故數(shù)列不是等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；由得，，否則與矛盾，則，則數(shù)列是等比數(shù)列，B正確；由B分析知數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，則，所以，C正確；數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，D錯(cuò)誤.故選：BC11．（2023春·廣東惠州·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．B．?dāng)?shù)列是公比為8的等比數(shù)列C．若，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為4040D．若，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為【答案】CD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，，得，解得，所以，，對(duì)于A，，，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以?shù)列的前2020項(xiàng)和為，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椋詳?shù)列的前2020項(xiàng)和為，所以D正確，故選：CD12.（2023春·江西九江·高二統(tǒng)考期末）提丟斯-波得定則是關(guān)于太陽(yáng)系中行星軌道的一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何學(xué)規(guī)則，它是在1766年由德國(guó)的一位中學(xué)老師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來(lái)被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)波得歸納成一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)表示，即數(shù)列：，表示的是太陽(yáng)系第顆行星與太陽(yáng)的平均距離（以天文單位為單位）.現(xiàn)將數(shù)列的各項(xiàng)乘以10后再減4，得到數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列從第3項(xiàng)起，每項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為B．?dāng)?shù)列的第20項(xiàng)為C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為157.3D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和【答案】CD【解析】數(shù)列各項(xiàng)乘以10后再減4得到數(shù)列，故該數(shù)列從第2項(xiàng)起構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，所以，故A錯(cuò)誤；從而，所以，故B錯(cuò)誤；數(shù)列的前10項(xiàng)和為，C正確；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，又當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足上式，所以，故D正確.故選：CD.填空題（每題5分，4題共20分）13．（2023秋·四川內(nèi)江）已知，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因此，所以的取值范圍為故答案為?4．（2023春·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）數(shù)列中，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和.【答案】【解析】,可得，當(dāng),為奇數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí)故答案為:.15．（2023秋·河北）將數(shù)據(jù)，，，…排成如圖的三角形數(shù)陣，（第一行一個(gè)，第二行兩個(gè)，?，最下面一行有個(gè)，）則數(shù)陣中所有數(shù)據(jù)的和為.

【答案】【解析】由題意，設(shè)數(shù)陣中所有數(shù)據(jù)的和為，則①，②，由①-②得：，所以.故答案為：16．（2024·陜西寶雞）已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿(mǎn)足，令，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和=.【答案】【解析】由題意，遞增數(shù)列滿(mǎn)足，可得是方程的兩根，且，解得，設(shè)數(shù)列的公差為，可得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得，又，所以.故答案為：解答題（17題10分，18-22題每題12分，6題共70分）17．（2023春·廣東廣州·高二執(zhí)信中學(xué)?？计谀┮阎炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，滿(mǎn)足是與的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2)【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，所以，解得，所以，由題意知：，因?yàn)椋?，解得，所以；?）由（1）得，.18．（2023秋·廣東揭陽(yáng)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，.兩式相減，得，即，當(dāng)時(shí)，有，解得.所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，所以.則，所以，由，則，所以，故.19．（2023·廣東東莞·東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，若數(shù)列滿(mǎn)足，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）∵，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，整理得，

∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴（舍）或，

∴是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則；（2）由（1）知，，

∴，∵，∴，即．20．（2022秋·天津?yàn)I海新）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，令，設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；，(2)【解析】（1）解：由題意，∵，∴，又由，∴，數(shù)列為等差數(shù)列，，.∴，∴，.（2）解：由（1）知，所以有，所以存在，使不等式成立，即存在，使不等式成立，即存在，使不等式成立，∴.∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；所以有，.∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.21．（2023秋·廣東）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【解析】（1）由已知，∴時(shí)，，兩式相減，得，即，從而，又當(dāng)時(shí)，，∴又，∴，從而．故總有，．又∵，∴，從而．即是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列．∴，∴，（2）由（1）知．∴．設(shè)，設(shè)前項(xiàng)和為，則①，②①－②有，故，從而.22．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且數(shù)列是公比為