浙教版八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷特訓(xùn)10坐標(biāo)系與特殊平行四邊形、情景探究壓軸題(原卷版+解析)

特訓(xùn)10坐標(biāo)系與特殊平行四邊形、情景探究壓軸題一、解答題1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得（點(diǎn)A與點(diǎn)C對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)D對應(yīng)）．(1)求直線的解析式；(2)點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作軸交直線于點(diǎn)F，作軸交直線于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)P為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，且以O(shè)，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．2．如圖，平面直角坐標(biāo)系中直線：分別與軸，軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，．(1)求直線的解析式；(2)若為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的結(jié)論下，將沿射線方向平移得，使落在直線上，若為直線上一點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．3．如圖，直角三角形在平面直角坐標(biāo)系中，直角邊在y軸上，的長分別是一元二次方程的兩個(gè)根，A，且，P為上一點(diǎn)，且．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求過點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式；(3)點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形，點(diǎn)，現(xiàn)將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，則的長為______(請直接寫出答案)；(2)如圖2，所在直線與、分別交于點(diǎn)、，且．求線段的長度．(3)如圖3，設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，，，在矩形旋轉(zhuǎn)過程中，的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），以O(shè)A為一邊在第一象限內(nèi)作矩形OABC，直線CD：交AB于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)D，．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)P為線段CE上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，交AB于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，連接FD，設(shè)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為m，△DFP的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．(3)在（2）的條件下，連接BP并延長與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作，與x軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在直線CD上是否存在一點(diǎn)R，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)Q，得，若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)，動點(diǎn)、都在線段上，且．以為邊在x軸下方作正方形，設(shè)，正方形的周長為．(1)求直線的函數(shù)關(guān)系式．(2)當(dāng)點(diǎn)在正方形的邊上時(shí)，直接寫出的值．(3)求與之間的函數(shù)關(guān)系式．(4)當(dāng)正方形只有一個(gè)頂點(diǎn)在外部時(shí)，直接寫出的取值范圍．7．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點(diǎn)O，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在的延長線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)D落在線段上時(shí)，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別交軸，軸于點(diǎn)，A，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且，作直線．(1)求直線的解析式；(2)點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長為d，求d與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，在直線的右側(cè)以線段為斜邊作等腰直角，連接，以線段為直角邊作等腰直角三角形，且，且點(diǎn)在直線的右側(cè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．（用含有的代數(shù)式表示）(4)在（2）、（3）的條件下，若，則______．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為的正方形的邊落在軸的正半軸上，邊落在軸的正半軸上，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長度的速度沿著射線的方向運(yùn)動，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為點(diǎn)．運(yùn)動時(shí)間為秒，連接，，，．(1)如圖，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．(2)如圖，當(dāng)時(shí)，求證：．(3)如圖，過點(diǎn)作，且，連接，為的中點(diǎn)．連接，則當(dāng)____時(shí)，有最小值，的最小值為_____．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P和點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，則稱點(diǎn)是點(diǎn)P關(guān)于y軸，直線l的“二次對稱點(diǎn)”．(1)已知點(diǎn)，直線l是經(jīng)過且平行于x軸的一條直線，則點(diǎn)A的“二次對稱點(diǎn)”的坐標(biāo)為__________；(2)如圖1，正方形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)K是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)K且垂直于x軸，若正方形ABCD上存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)是點(diǎn)M關(guān)于y軸，直線l的“二次對稱點(diǎn)”，且點(diǎn)在射線OE上，則點(diǎn)K的橫坐標(biāo)x的取值范圍是________________；(3)如圖2，是x軸上的動點(diǎn)，線段RS經(jīng)過點(diǎn)T，且點(diǎn)R、點(diǎn)S的坐標(biāo)分別是，，直線l經(jīng)過且與x軸正半軸夾角為60°，在點(diǎn)T的運(yùn)動過程中，若線段RS上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)是點(diǎn)N關(guān)于y軸，直線l的“二次對稱點(diǎn)”，且點(diǎn)在y軸上，則點(diǎn)縱坐標(biāo)y的取值范圍是______________．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)（0，），直線DE為AB的中垂線，垂足為點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)C．(1)如圖1，點(diǎn)E的坐標(biāo)為______，直線DC的表達(dá)式為______；(2)如圖1，若點(diǎn)M為直線CD上一個(gè)動點(diǎn)，且點(diǎn)M在第一象限，過點(diǎn)M作軸，交直線AB于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形AMND為菱形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連接PA，PD，將△ADP沿DP翻折得到，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知△，點(diǎn)在y軸的正半軸上，點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在x軸上．(1)如圖1，已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，，若是的中點(diǎn)，連接，求證：△是等邊三角形(2)如圖2，已知，△是一個(gè)軸對稱圖形，，分別是邊，上一點(diǎn)，滿足，連接，，，若點(diǎn)的坐標(biāo)為（，1）．①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②求三角形的面積；(3)如圖3，已知與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，，點(diǎn)是y軸的負(fù)半軸上一動點(diǎn)，連接，過作于，交線段于，連接．①若線段，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②問點(diǎn)在運(yùn)動的過程中，的大小是否發(fā)生改變？若不變，求出其值；若改變，請說明理由．13．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為正方形．(1)若正方形OABC邊長為12，①如圖1，E、F分別在邊OA、OC上，CE⊥BF于H，且OE＝9，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（______，_______）．②如圖2，若D為x軸上一點(diǎn)，且OD＝8，Q為y軸正半軸上一點(diǎn)，且∠DBQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．(2)若正方形OABC邊長為4，如圖3，E、F分別在邊OA、OC上，當(dāng)F為OC的中點(diǎn)，CE⊥BF于H，在直線CE上E點(diǎn)的兩側(cè)有點(diǎn)D、G，能使線段AD＝OG，AD//OG，且CH＝DH，求BG．14．問題情境：如圖1，已知正方形ABCD與正方形CEFG，B、C、G在一條直線上，M是AF的中點(diǎn)，連接DM，EM．探究DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系．小明的思路是：小明發(fā)現(xiàn)AD//EF，所以通過延長ME交AD于點(diǎn)H，構(gòu)造△EFM和△HAM全等，進(jìn)而可得△DEH是等腰直角三角形，從而使問題得到解決，請你參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）猜想圖1中DM、EM的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系．（2）如圖2，把圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)E在線段DC的延長線上，點(diǎn)G落在線段BC上，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由；（3）我們可以猜想，把圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3，（1）中的結(jié)論（“成立”或“不成立”）拓展應(yīng)用：將圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使D，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，若AB＝13，CE＝5，請畫出圖形，并直接寫出MF的長．15．操作與證明：如圖1，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD、MN．（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請判斷線段MD與MN的關(guān)系，得出結(jié)論；結(jié)論：DM、MN的關(guān)系是：；拓展與探究：（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．16．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①BC與CF的位置關(guān)系為：．②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：；（將結(jié)論直接寫在橫線上）（2）數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，延長BA交CF于點(diǎn)G，連接GE，若已知AB=2，CD=BC，請求出GE的長．17．【方法回顧】（1）如圖1，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作一條直線l交邊BC于點(diǎn)P，BE⊥AP于點(diǎn)E，DF⊥AP于點(diǎn)F，若DF＝2.5，BE＝1，則EF＝．【問題解決】（2）如圖2，菱形ABCD的邊長為1.5，過點(diǎn)A作一條直線l交邊BC于點(diǎn)P，且∠DAP＝90°，點(diǎn)F是AP上一點(diǎn)，且∠BAD+∠AFD＝180°，過點(diǎn)B作BE⊥AB，與直線l交于點(diǎn)E，若EF＝1，求BE的長．【思維拓展】（3）如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD所在直線上的上方，AP＝2，連接PB，PD，若△PAD的面積與△PAB的面積之差為m（m＞0），則PB2﹣PD2的值為．（用含m的式子表示）18．已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是正方形ABCD所在平面內(nèi)一動點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），AB＝AE，過點(diǎn)B作DE的垂線交DE所在直線于F，連接CF．提出問題：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動時(shí)，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？探究問題：（1）首先考察點(diǎn)E的一個(gè)特殊位置：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（如圖①）時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)B也重合．用等式表示線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）然后考察點(diǎn)E的一般位置，分兩種情況：情況1：當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（如圖②）時(shí)；情況2：當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD外部一點(diǎn)（如圖③）時(shí)．在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中的結(jié)論是否相同？如果都相同，請選擇一種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請說明理由；拓展問題：（3）連接AF，用等式表示線段AF、CF、DF三者之間的數(shù)量關(guān)系：．19．如圖1，，、、為鉛直方向的邊，、、為水平方向的邊，點(diǎn)在、之間，且在、之間，我們稱這樣的圖形為“圖形”，若一條直線將該圖形的面積分為面積相等的兩部分，則稱此直線為該“圖形”的等積線．(1)下列四副圖中，直線是該“圖形”等積線的是_________(填寫序號)(2)如圖2，直線是該“圖形”的等積線，與邊、分別交于點(diǎn)、，過中點(diǎn)的直線分別交邊、于點(diǎn)、，則直線(填“是”或“不是”)該圖形的等積線．(3)在圖3所示的“圖形”中，，，．①若，在下圖中畫出與平行的等積線l(在圖中標(biāo)明數(shù)據(jù))②在①的條件下，該圖形的等積線與水平的兩條邊、分別交于、，求的最大值；③如果存在與水平方向的兩條邊、相交的等積線，則的取值范圍為．20．【定義】只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑．如圖1，，四邊形ABCD是損矩形，則該損矩形的直徑是線段AC．同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)：在公共邊同側(cè)的兩個(gè)角是相等的．如圖1中：△ABC和△ABD有公共邊AB，在AB同側(cè)有ADB和ACB，此時(shí)；再比如△ABC和△BCD有公共邊BC，在BC同側(cè)有BAC和BDC，此時(shí)．(1)【理解】如圖1，______；(2)下列圖形中一定是損矩形的是______（填序號）；(3)【應(yīng)用】如圖2，四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，以AC為一邊向外作菱形ACEF，點(diǎn)D為菱形ACEF對角線的交點(diǎn)，連接BD，當(dāng)BD平分ABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？并說明理由；(4)如圖3，四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，OG⊥BD于點(diǎn)G，若，則等于多少？21．問題初探（1）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，試判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系．聰明的小明是這樣做的：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使得與重合，由，得，即點(diǎn)、、共線，易證≌______故EF、、之間的數(shù)量關(guān)系為______．類比探究（2）如圖，點(diǎn)、分別在正方形的邊、的延長線上，，連接，請根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)給你的啟示寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．聯(lián)想拓展（3）如圖，在中，，點(diǎn)、均在邊上，且，若，求的長．22．【概念理解】若一條直線把一個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形，則稱這樣的直線叫做這個(gè)圖形的等積直線．如圖1，直線經(jīng)過三角形的頂點(diǎn)和邊的中點(diǎn)，易知直線將分成兩個(gè)面積相等的圖形，則稱直線為的等積直線．(1)如圖2，矩形對角線，相交于點(diǎn)，直線過點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．①求證：．②請你判斷直線是否為該矩形的等積直線．______．（填“是”或“不是”）(2)【問題探究】如圖3是一個(gè)缺角矩形，其中，小華同學(xué)給出了該圖形等積直線的一個(gè)作圖方案：將這個(gè)圖形分成矩形、矩形，這兩個(gè)矩形的對稱中心，所在直線是該缺角矩形的等積直線．如圖4，直線是該圖形的一條等積直線，它與邊，分別交于點(diǎn)，，過的中點(diǎn)的直線分別交邊，于點(diǎn)，，直線______（填“是”或“不是”）缺角矩形的等積直線．(3)【實(shí)際應(yīng)用】若缺角矩形是老張家的一塊田地如圖5．為水井，現(xiàn)要把這塊田地平均分給兩個(gè)兒子，為了灌溉方便，便想使每個(gè)兒子分得的土地都有一邊和水井相鄰，試問該如何分割這塊土地？畫出圖形，并說明理由．23．小波在復(fù)習(xí)時(shí)，遇到一個(gè)課本上的問題，溫故后進(jìn)行了操作、推理與拓展．(1)溫故：如圖1，在中，于點(diǎn)D，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點(diǎn)P，N分別在AB，AC上，且．若，，則正方形PQMN的邊長等于______．(2)操作：能畫出這類正方形嗎？小波按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進(jìn)行操作：如圖2，任意畫，在AB上任取一點(diǎn)，畫正方形，使，在BC邊上，在內(nèi)，連結(jié)并延長交AC于點(diǎn)N，畫于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q，得到四邊形PQMN．(3)推理：如圖3，若點(diǎn)E是BN的中點(diǎn)，求證：．(4)拓展：在（2）的條件下，射線BN上截取，連結(jié)EQ，EM（如圖4）．當(dāng)時(shí)，猜想的度數(shù)，并嘗試證明．請幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問題．24．問題探究將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換．旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種基本模型．經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)清晰顯現(xiàn)．題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧?，相互之間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問題靈活轉(zhuǎn)化．【問題提出】如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=5，PB=12，PC=13．你能求出∠APB的度數(shù)嗎？【問題解決】如圖2，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP′A，連接PP′，可得△BPP′是等邊三角形，根據(jù)勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，從而使問題得到解決．(1)結(jié)合上述思路完成填空：PP′=________，∠APP′=________，∠APB=________；(2)【類比探究】如圖3，若點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PC=1，PB=2，PA=3，則∠CPB=________；(3)如圖4，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA=13，，PC=3，則∠CPB=_____；(4)【深入探究】如圖5，若在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=5，，PC=3，則∠CPB=________；(5)如圖6，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=12，AC=5，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，則PA+PB+PC的最小值是_______．25．【探究與應(yīng)用】我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發(fā)現(xiàn)有很多結(jié)論．例如：在平行四邊形中，，將沿直線翻折至，連接，則．(1)如圖1，若與相交于點(diǎn)O，證明以上這個(gè)結(jié)論；小明同學(xué)提出如下解題思路，請補(bǔ)全：【思路分析】由折疊的性質(zhì)得，；由平行四邊形的性質(zhì)得______，．由上面的分析可證得，______，這樣就可以得到，則______，再由等腰三角形的性質(zhì)得，證出，即可得出結(jié)論；(2)如圖2，與相交于點(diǎn)O，若，，，則的面積為______；(3)如果，，①當(dāng)是直角三角形時(shí)，請畫圖并直接寫出的長．②設(shè)的長度為x，當(dāng)時(shí)，直接寫出x的取值范圍．26．實(shí)踐操作：在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，現(xiàn)將紙片折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)P，折痕為EF（點(diǎn)E、F是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)），再將紙片還原．(1)初步思考：若點(diǎn)P落在矩形ABCD的邊AB上（如圖①）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，∠DEF＝____°；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，∠DEF＝____°；②當(dāng)點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在DC上時(shí)（如圖②），求證：四邊形DEPF為菱形，并直接寫出當(dāng)AP＝7時(shí)的菱形EPFD的邊長．(2)深入探究：若點(diǎn)P落在矩形ABCD的內(nèi)部（如圖③），且點(diǎn)E、F分別在AD、DC邊上，請直接寫出AP的最小值____．(3)拓展延伸：如圖④，若點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在AD上，線段BA與線段FP交于點(diǎn)M，AM=DE，則線段AE的長度為_________．特訓(xùn)10坐標(biāo)系與特殊平行四邊形、情景探究壓軸題一、解答題1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得（點(diǎn)A與點(diǎn)C對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)D對應(yīng)）．(1)求直線的解析式；(2)點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作軸交直線于點(diǎn)F，作軸交直線于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)P為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，且以O(shè)，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或【分析】（1）先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，得出和的長度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；（2）設(shè)，則可將點(diǎn)F和點(diǎn)G的坐標(biāo)表示出來，進(jìn)而得出的表達(dá)式，最后根據(jù)列出方程求出a的值，即可進(jìn)行解答；（3）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①為矩形的邊時(shí)；②為矩形的對角線時(shí)．【解析】（1）解：把代入得：，把代入得：，解得：，∴，∴，∵繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，∴，∴，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，把代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為．（2）∵，∴，∵點(diǎn)E在線段上，∴設(shè)，∵軸，軸，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為，把代入得：；把代入得：，解得：，∴，，∴，，∵，∴，解得：．∴．（3）①當(dāng)為矩形的邊時(shí)，過點(diǎn)M作，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)O作，交直線于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作交于點(diǎn)P，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)作圖可得：四邊形和四邊形都是矩形，∵，∴，∵，∴，∵繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，∴，在和中，，∴，∴，∵點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，，∴，，即點(diǎn)N為中點(diǎn)，∵，∴，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)代入得：，∴直線的解析式為，∵，∴設(shè)直線的解析式為，把代入得：，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立直線和直線的解析式為：，解得：，∴，②當(dāng)為矩形的對角線時(shí)，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，∵，，∴軸，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，∴點(diǎn)C和點(diǎn)N重合，∴，綜上：點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)．2．如圖，平面直角坐標(biāo)系中直線：分別與軸，軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，．(1)求直線的解析式；(2)若為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的結(jié)論下，將沿射線方向平移得，使落在直線上，若為直線上一點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，(3)，，，【分析】（1）根據(jù)直線的解析式可以求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可以求出直線的解析式；（2）根據(jù)可以求出的面積，設(shè)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)作直線的平行線，與直線的交點(diǎn)就是點(diǎn)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求的最小值，關(guān)鍵是對進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用垂線段最短可求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）先根據(jù)題意，找到點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）解：在中，令，得，，令，得，，，，設(shè)直線的解析式為，將，代入得，，解得，直線的解析式為；（2）解：由可得，，，設(shè)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且滿足，，，過點(diǎn)作直線的平行線，與直線的交點(diǎn)就是點(diǎn)，記直線的解析式為，將代入可得，直線的解析式為，聯(lián)立，解得，則，顯然點(diǎn)為的中點(diǎn)，如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則，作直線，則直線的解析式為：，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求，易得直線的解析式為：，則；（3）Ⅰ.如圖，當(dāng)為菱形的一條邊時(shí)，時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)題意可得，，則，則，易得，則，由，可得，在Rt中，，，，，同理可得，；時(shí)，如圖所示，根據(jù)題意可得，，軸，；Ⅱ.如圖，當(dāng)為菱形的一條對角線時(shí)，根據(jù)題意可得，，軸，又，可得；綜上，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，的坐標(biāo)分別為：，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查平移變換，菱形的判定和性質(zhì)，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)解決直線的交點(diǎn)問題．3．如圖，直角三角形在平面直角坐標(biāo)系中，直角邊在y軸上，的長分別是一元二次方程的兩個(gè)根，A，且，P為上一點(diǎn)，且．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求過點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式；(3)點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在．，，【分析】（1）用因式分解法求出方程的兩個(gè)根即可求解；（2）根據(jù)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求解即可；（3）分3種情況，畫出圖形，結(jié)合圖形特點(diǎn)求解即可．【解析】（1），，，．∵，∴．∴．（2）∵，∴．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．設(shè)過點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式為．將點(diǎn)代入，得．∴過點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式為．（3）存在．如圖1，當(dāng)為正方形的對角線時(shí)，過點(diǎn)M作交的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作交直線于點(diǎn)F．∵四邊形是正方形，∴．∵，∴．∵，∴，∴．，∴．設(shè)，則，∴．∵，∴，∴，∴，（舍去），∴，∴．∵把先向右平移7個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得，∴把先向右平移7個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得；如圖2，當(dāng)為正方形的邊時(shí)，過點(diǎn)N作于點(diǎn)H，∵四邊形是正方形，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴；如圖3，當(dāng)為正方形的邊時(shí)，由圖2可知，，∵把先向右平移6個(gè)單位，再向上平移8個(gè)單位得，∴把先向右平移6個(gè)單位，再向上平移8個(gè)單位得；綜上可知，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解一元二次方程，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解（3）的關(guān)鍵．4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形，點(diǎn)，現(xiàn)將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，則的長為______(請直接寫出答案)；(2)如圖2，所在直線與、分別交于點(diǎn)、，且．求線段的長度．(3)如圖3，設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，，，在矩形旋轉(zhuǎn)過程中，的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，的面積的最大值為【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解決問題；（2）由可證()可得，由可證，可得，，可得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，在中，勾股定理，可求的長，由三角形中位線定理可求解；（3）根據(jù)三角形的底邊的長度固定，當(dāng)邊上的高最大時(shí)即可求解，連接，當(dāng)軸于點(diǎn)時(shí)，則，此時(shí)面積最大，利用，求得，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．【解析】（1）解：∵四邊形．點(diǎn)，)，，，，矩形是由矩形旋轉(zhuǎn)得到，，在中，，;故答案為：．（2）如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，連接，，，四邊形是矩形，，，，，()，，又，()，，，又，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，

，，，設(shè)在中，，，，，，，，；（3）解：依題意，，，，，當(dāng)邊上的高最大時(shí)，面積最大，如圖，當(dāng)軸于點(diǎn)時(shí)，則，此時(shí)面積最大，連接，，的面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），以O(shè)A為一邊在第一象限內(nèi)作矩形OABC，直線CD：交AB于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)D，．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)P為線段CE上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，交AB于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，連接FD，設(shè)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為m，△DFP的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．(3)在（2）的條件下，連接BP并延長與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作，與x軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在直線CD上是否存在一點(diǎn)R，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)Q，得，若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；或【分析】（1）先求出直線CD的解析式即可解決問題；（2）用M表示PF的長，利用三角形的面積公式計(jì)算即可；（3）由題意可知：，整理得：，解得或（舍去），則，根據(jù)，，，可證，則，，則，根據(jù)直線解析式為：，結(jié)合，可知直線的解析式為：，則，當(dāng)點(diǎn)再點(diǎn)上方時(shí)，設(shè)，則，根據(jù)，則，進(jìn)而可知，故，根據(jù)對稱性可知，也滿足條件，由此可得到結(jié)果．【解析】（1）解：由題意知，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴直線，當(dāng)時(shí)，，∴，∴．（2）解：如圖所示，∵，F(xiàn)（m，4），∴，∴；（3）解：如圖2所示：由題意可知：，整理得：，解得或（舍去），∴，∵，，，∴，∴，，∴，∵直線解析式為：，∵，∴直線的解析式為：，∴，當(dāng)點(diǎn)再點(diǎn)上方時(shí)，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，根據(jù)對稱性可知，也滿足條件，∴或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，平行線分段成比例定理，一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解決本題的關(guān)鍵．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)，動點(diǎn)、都在線段上，且．以為邊在x軸下方作正方形，設(shè)，正方形的周長為．(1)求直線的函數(shù)關(guān)系式．(2)當(dāng)點(diǎn)在正方形的邊上時(shí)，直接寫出的值．(3)求與之間的函數(shù)關(guān)系式．(4)當(dāng)正方形只有一個(gè)頂點(diǎn)在外部時(shí)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)；(2)或3；(3)；(4)或．【分析】（1）由可知點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為，將點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解即可；（2）分三種情況：當(dāng)點(diǎn)在、、的邊上分別討論求解即可；（3）分點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，表示出的長度，然后求解即可；（4）分點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，并考慮點(diǎn)、點(diǎn)在兩條直線上是的值，即可求得的取值范圍．【解析】（1）解：∵，∴，設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為，將，代入中，得：，解得：∴直線的函數(shù)關(guān)系式為；（2）①當(dāng)點(diǎn)在正方形的邊上時(shí)，則，∴∴，即：此時(shí)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為與點(diǎn)重合，②當(dāng)點(diǎn)在正方形的邊上時(shí)，∵點(diǎn)為，∴∴，即，③當(dāng)點(diǎn)在正方形的邊上時(shí)，則，（此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）亦即∴∴，此時(shí)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為與點(diǎn)重合，綜上，當(dāng)點(diǎn)在正方形的邊上時(shí)，或3；（3）∵，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則，綜上，與之間的函數(shù)關(guān)系式為：（4）①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，，則，，，若點(diǎn)在直線上，即：，得：若點(diǎn)在直線上，即：，得：，易知當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，正方形的另外個(gè)頂點(diǎn)均在的內(nèi)部，點(diǎn)在直線上時(shí)，點(diǎn)在的外部，∴當(dāng)時(shí)，正方形只有一個(gè)頂點(diǎn)在外部；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，則，，，若點(diǎn)在直線上，即：，得：若點(diǎn)在直線上，即：，得：，易知當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，正方形的另外個(gè)頂點(diǎn)均在的內(nèi)部，點(diǎn)在直線上時(shí)，點(diǎn)在的外部，∴當(dāng)時(shí)，正方形只有一個(gè)頂點(diǎn)在外部；綜上，當(dāng)正方形只有一個(gè)頂點(diǎn)在外部時(shí)，或【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合及正方形的性質(zhì)，熟練的求解函數(shù)解析式，利用正方形的性質(zhì)表示線段的長度是解決問題的關(guān)鍵．7．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點(diǎn)O，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在的延長線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)D落在線段上時(shí)，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）過點(diǎn)作軸于，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，，由直角三角形的性質(zhì)得出，，得出，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）過點(diǎn)作軸于，，于，則則，，由勾股定理得出AE=10，由面積法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）連接，作軸于，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，由等腰三角形的性質(zhì)得出，得出，證出，由平行線的性質(zhì)的，證出，證明，得出，，得出，即可得出答案．【解析】（1）解：過點(diǎn)作軸于，如圖所示：∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，，∵以點(diǎn)為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，∴，，，在Rt中，，，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）過點(diǎn)作軸于，，于，如圖所示：則，，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）連接，作軸于，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出輔助線，屬于中考壓軸題．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別交軸，軸于點(diǎn)，A，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且，作直線．(1)求直線的解析式；(2)點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長為d，求d與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，在直線的右側(cè)以線段為斜邊作等腰直角，連接，以線段為直角邊作等腰直角三角形，且，且點(diǎn)在直線的右側(cè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．（用含有的代數(shù)式表示）(4)在（2）、（3）的條件下，若，則______．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先由直線的解析式求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式；（2）過點(diǎn)P作軸于M，過點(diǎn)Q作軸于N，令與y軸的交點(diǎn)為R，由點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，得出．根據(jù)軸，Q在直線上，得到，進(jìn)而得出線段的長d與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）連接交y軸于N點(diǎn)，令交y軸于F點(diǎn)，證明可得，，根據(jù)（2）即可得到解答；（4）由（2）得，，進(jìn)而計(jì)算即可得到解答．【解析】（1）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，解得，∴，∴，∴．設(shè)直線的解析式為，則，解得．∴直線的解析式為．（2）解：過點(diǎn)P作軸于M，過點(diǎn)Q作軸于N，令PQ與y軸的交點(diǎn)為R，．∵點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∴．∵軸，∴，∴軸，∴，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為．∵直線的解析式為，∴當(dāng)時(shí)，，解得，∴．∵，∴四邊形是矩形，∴，即d與t之間的函數(shù)關(guān)系式為．（3）如圖2，連接交y軸于N點(diǎn)，令交y軸于F點(diǎn)，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴軸，由（2）得，∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，∴；（4）如下圖，由（2）得，，∴，∵，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題是綜合題，其中涉及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，全等三角形、矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造三角形全等，利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為的正方形的邊落在軸的正半軸上，邊落在軸的正半軸上，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長度的速度沿著射線的方向運(yùn)動，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為點(diǎn)．運(yùn)動時(shí)間為秒，連接，，，．(1)如圖，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．(2)如圖，當(dāng)時(shí)，求證：．(3)如圖，過點(diǎn)作，且，連接，為的中點(diǎn)．連接，則當(dāng)____時(shí)，有最小值，的最小值為_____．【答案】(1)；(2)見解析；(3)；；【分析】（1）連接，證明是等邊三角形，推出，求出即可解決問題；（2）如圖，作于，交于，設(shè)，，在和中，利用勾股定理構(gòu)建方程，求出x，y的值，再利用勾股定理的逆定理得出結(jié)論；（3）如圖3，在的延長線上截取，連接，，，，通過證明求解的長，進(jìn)而可得的長，當(dāng)點(diǎn)M落在線段上時(shí)，最小，最小值為（如圖4中，連接），證明，可得，求出，可得，進(jìn)而可得答案．【解析】（1）解：如圖，連接，由翻折的性質(zhì)可知：，，，是等邊三角形，，，四邊形是正方形，，，，，，，∴；（2）證明：如圖，作于，交于，由翻折的性質(zhì)可知：，，設(shè)，．，四邊形是矩形，，，，在中，由勾股定理得，即，在中，由勾股定理得，即，解得，，，，，，即；（3）解：如圖3，在的延長線上截取，連接，，，，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴當(dāng)點(diǎn)M落在線段上時(shí)，最小，最小值為（如圖4中，連接），此時(shí)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P和點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，則稱點(diǎn)是點(diǎn)P關(guān)于y軸，直線l的“二次對稱點(diǎn)”．(1)已知點(diǎn)，直線l是經(jīng)過且平行于x軸的一條直線，則點(diǎn)A的“二次對稱點(diǎn)”的坐標(biāo)為__________；(2)如圖1，正方形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)K是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)K且垂直于x軸，若正方形ABCD上存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)是點(diǎn)M關(guān)于y軸，直線l的“二次對稱點(diǎn)”，且點(diǎn)在射線OE上，則點(diǎn)K的橫坐標(biāo)x的取值范圍是________________；(3)如圖2，是x軸上的動點(diǎn)，線段RS經(jīng)過點(diǎn)T，且點(diǎn)R、點(diǎn)S的坐標(biāo)分別是，，直線l經(jīng)過且與x軸正半軸夾角為60°，在點(diǎn)T的運(yùn)動過程中，若線段RS上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)是點(diǎn)N關(guān)于y軸，直線l的“二次對稱點(diǎn)”，且點(diǎn)在y軸上，則點(diǎn)縱坐標(biāo)y的取值范圍是______________．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)“二次對稱點(diǎn)”的定義求解即可；（2）由題意，直線的解析式為，當(dāng)點(diǎn)K關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)在x軸的正半軸上時(shí)，關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)落在y軸上，觀察圖象可知，當(dāng)K點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，正好落在線段上，由此可得結(jié)論；（3）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)N與S重合，且在y軸上時(shí)，連接交直線于點(diǎn)K，交y軸于點(diǎn)J，連接，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)C，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)T與原點(diǎn)重合，N與重合時(shí)，和都與重合，此時(shí)．求出這兩種特殊位置的坐標(biāo)，可得結(jié)論．【解析】（1）解∶點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為，∵直線l是經(jīng)過且平行于x軸的一條直線，∴點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為；故答案為：（2）解∶如圖，設(shè)直線的解析式為，∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴，∴直線的解析式為，當(dāng)點(diǎn)K關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)在x軸的正半軸上時(shí)，關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)落在y軸上，觀察圖象可知，當(dāng)K點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，正好落在線段上，觀察圖象可知當(dāng)時(shí)，在正方形內(nèi)部，故答案為：；（3）解∶如圖2，當(dāng)點(diǎn)N與S重合，且在y軸上時(shí)，連接交直線于點(diǎn)K，交y軸于點(diǎn)J，連接，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)C，∵，∴，∵和關(guān)于直線l對稱，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴此時(shí)點(diǎn)，如圖3，當(dāng)點(diǎn)T與原點(diǎn)重合，N與重合時(shí)，和都與重合，此時(shí)．根據(jù)題意得：，觀察圖象得：滿足條件的的縱坐標(biāo)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱變換，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會尋找特殊位置，解決問題，屬于中考壓軸題．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)（0，），直線DE為AB的中垂線，垂足為點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)C．(1)如圖1，點(diǎn)E的坐標(biāo)為______，直線DC的表達(dá)式為______；(2)如圖1，若點(diǎn)M為直線CD上一個(gè)動點(diǎn)，且點(diǎn)M在第一象限，過點(diǎn)M作軸，交直線AB于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形AMND為菱形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連接PA，PD，將△ADP沿DP翻折得到，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．【答案】(1)，(2)（，6）(3)（，0）或（，0）【分析】（1）求出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式，把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入，可得出結(jié)論．（2）判斷出點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得出結(jié)論．（3）分兩種情形：平分，平分的鄰補(bǔ)角，分別求解即可．【解析】（1）∵直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，∴，，∵垂直平分線段，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，把，代入得到

，∴，∴直線的解析式為，

故答案為：，．（2）∵四邊形是菱形，∴，∴點(diǎn)與重合，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為∵M(jìn)在直線DC上∴；（3）如圖（3）中，∵當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在直線上，此時(shí)平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，設(shè)，則，由（1）可知，，∴，，∴，∴，∴，∴，當(dāng)平分的鄰補(bǔ)角時(shí)，也滿足條件，同理可得，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形的面積，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握這些性質(zhì)和學(xué)會分類討論的思想思考問題是解決本題的關(guān)鍵．12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知△，點(diǎn)在y軸的正半軸上，點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在x軸上．(1)如圖1，已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，，若是的中點(diǎn)，連接，求證：△是等邊三角形(2)如圖2，已知，△是一個(gè)軸對稱圖形，，分別是邊，上一點(diǎn)，滿足，連接，，，若點(diǎn)的坐標(biāo)為（，1）．①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②求三角形的面積；(3)如圖3，已知與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，，點(diǎn)是y軸的負(fù)半軸上一動點(diǎn)，連接，過作于，交線段于，連接．①若線段，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②問點(diǎn)在運(yùn)動的過程中，的大小是否發(fā)生改變？若不變，求出其值；若改變，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)①（1，3）；②5；(3)①點(diǎn)（，0）；②不變；【分析】（1）由軸對稱性質(zhì)得AB=AC，OB=OC=BC，再由∠B=∠BAC，根據(jù)等腰三角形的判定得出BC=AC，從而得AB=BC=AC，即可證得△ABC為等邊三角形，再由等邊三角形的性質(zhì)得出∠B=60°，然后根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得BD=OB，即可由等邊三角形的判定寒來暑往是出結(jié)論；（2）①過點(diǎn)E作EG⊥x軸于G，過點(diǎn)F作FH⊥y軸于H，先證△OBE△OAF(ASA)，得OE=OF，再證△OGE△OHF(AAS)，得OG=OH，EG=FH，由E(-3，1)，即可得OH=OG=3，F(xiàn)H=EG=1，即可得出點(diǎn)F坐標(biāo)；②在Rt△OGE中，由勾股定理，得OE=，從而得OF=OE=，然后由即可求解；（3）①證明△AOM△BOD（AAS），得OM=OD=2022，再根據(jù)點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸上，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)；②過點(diǎn)O作OP⊥BD于P，OQ⊥AH于Q，則四邊形OQHP為矩形，再證明△AOM△BOD(SAS)，得∠AMO=∠BDO，然后證△OQM△OPD(AAS)，得OP=OQ，從而證得矩形OQHP為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)好戲可得出結(jié)果．【解析】（1）解：∵B、C關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)A在y軸上∴AB=AC，OB=OC=BC，又∵∠B=∠BAC，∴BC=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠B=60°，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴BD=AB，∴BD=OB，∴△是等邊三角形；（2）解：①過點(diǎn)E作EG⊥x軸于G，過點(diǎn)F作FH⊥y軸于H，如圖，∵△是一個(gè)軸對稱圖形，∴OB=OC，∠B=∠C，∠BAO=∠CAO，∵，∴OA=OB，∠BAO=∠CAO=45°，∠B=∠C=45°，∴∠B=∠OAF，∵OE⊥OF，∴∠AOF+∠AOE=90°，∵∠BOE+∠AOE=∠AOB=90°，∴∠AOF=∠BOE，在△OBE和△OAF中，，∴△OBE△OAF(ASA)，∴OE=OF，∵EG⊥x軸于G，F(xiàn)H⊥y軸于H，∴∠OGE=∠OHF=90°，在△OGE和△OHF中，，∴△OGE△OHF(AAS)，∴OG=OH，EG=FH，∵E(-3，1)，∴OG=3，EG=1，∴OH=3，F(xiàn)H=1，∴F(1，3)；②在Rt△OGE中，由勾股定理，得OE=，∴OF=OE=，∴；（3）解：①∵∠AOM=90°，∴∠OAM+∠AMO=90°，同理：∠OAM+∠ADH=90°，∴∠ADH=∠AMO，∴∠AOB=90°，∠OBA=45°，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴OA=OB，在△AOM和△BOD中，，∴△AOM△BOD（AAS），∴OM=OD=2022，∵點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2022，0)；②的大小不會發(fā)生改變，如圖3，過點(diǎn)O作OP⊥BD于P，OQ⊥AH于Q，則四邊形OQHP為矩形，在△OQM和△OPD中，，∴△OQM△OPD(AAS)，∴OP=OQ，∴矩形OQHP為正方形，∴∠AHO=45°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、圖形與坐標(biāo)，矩形的判定，正方形的判定與性質(zhì)，本題綜合性質(zhì)較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為正方形．(1)若正方形OABC邊長為12，①如圖1，E、F分別在邊OA、OC上，CE⊥BF于H，且OE＝9，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（______，_______）．②如圖2，若D為x軸上一點(diǎn)，且OD＝8，Q為y軸正半軸上一點(diǎn)，且∠DBQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．(2)若正方形OABC邊長為4，如圖3，E、F分別在邊OA、OC上，當(dāng)F為OC的中點(diǎn)，CE⊥BF于H，在直線CE上E點(diǎn)的兩側(cè)有點(diǎn)D、G，能使線段AD＝OG，AD//OG，且CH＝DH，求BG．【答案】(1)①3，0；②Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，15）或（0，6）(2)BG＝【分析】（1）①通過證明△OEC≌△CFB（AAS），求出OF，即可求點(diǎn)的坐標(biāo)；②分兩種情況討論：當(dāng)D（8，0）時(shí)，過B點(diǎn)作BM⊥BD交y軸于點(diǎn)M，可證明△ABM≌△CBD（AAS），連接BQ，可證明△MBQ≌△DBQ（SAS），設(shè)AQ＝x，則OQ＝12﹣x，DQ＝4+x，在Rt△ODQ中由勾股定理求出x＝6，即可求Q（0，6）；當(dāng)D（﹣8，0）時(shí)，過BN⊥BQ交x軸于點(diǎn)N，同理可得△ABQ≌△CBN（AAS），連接DQ，可得△QBD≌△NBD（SAS），設(shè)AQ＝CN＝y(tǒng)，則DN＝20﹣y，QO＝12+y，在Rt△DOQ中，由勾股定理求出y＝3，即可求Q（0，15）；（2）在Rt△BCF中，求出BF＝2，CH＝，再由CH＝DH，可得DC＝，連接OD，OH，證明△OCD≌△CBH（ASA），分別得到CD＝BH＝，OD＝CH＝，則OH＝，再證明△AOD≌△OCH（SAS），可求OH＝AD＝OG＝，∠OAD＝∠HOC，推導(dǎo)出∠GOH＝90°，在Rt△GHO中，由勾股定理求出GH＝，在Rt△BHG中，由勾股定理求出BG＝．（1）①∵CE⊥BF，∴∠BHC＝90°，∴∠ECO+∠HFC＝90°，∵∠OEC+∠OCE＝90°，∴∠HFC＝∠OEC，∵BC＝OC，∴△OEC≌△CFB（AAS），∴OE＝CF＝9，∴OF＝3，∴F（3，0），故答案為：3，0；②∵D為x軸上一點(diǎn)，且OD＝8，∴D（8，0）或（﹣8，0），當(dāng)D（8，0）時(shí)，如圖2，過B點(diǎn)作BM⊥BD交y軸于點(diǎn)M，∴∠DBM＝90°，∴∠MBA+∠ABD＝90°，∵∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠MBA＝∠CBD，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CBD（AAS），∴BM＝BD，CD＝AM，連接BQ，∵∠DBQ＝45°，∴∠MBQ＝45°，又∵BM＝BD，∴△MBQ≌△DBQ（SAS），∴DQ＝MA，∵OD＝8，OC＝12，∴CD＝MA＝4，設(shè)AQ＝x，則OQ＝12﹣x，DQ＝4+x，在Rt△ODQ中，（4+x）2＝64+（12﹣x）2，解得x＝6，∴Q（0，6）；如圖3，當(dāng)D（﹣8，0）時(shí)，過BN⊥BQ交x軸于點(diǎn)N，同理可得△ABQ≌△CBN（AAS），∴AQ＝CN，BQ＝BN，連接DQ，同理可得△QBD≌△NBD（SAS），∴DN＝DQ，設(shè)AQ＝CN＝y(tǒng)，則DN＝20﹣y，QO＝12+y，在Rt△DOQ中，（20﹣y）2＝（12+y）2+64，解得y＝3，∴Q（0，15）；綜上所述：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，15）或（0，6）；（2）∵F為OC的中點(diǎn)，CO＝4，∴CF＝OF＝2，在Rt△BCF中，BC＝4，CF＝2，∴BF＝2，∵BF⊥CH，∴CH＝＝，∵CH＝DH，∴DC＝，如圖4，連接OD，OH，∵H是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，∴FH∥OD，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝∠GHC＝90°，∵BC＝CO，∠FBC＝∠DCO，∴△OCD≌△CBH（ASA），∴CD＝BH＝，OD＝CH＝，∴OH＝，∵∠AOD+∠DOC＝∠DOC+∠DCO＝90°，∴∠AOD＝∠DCO，∵AO＝CO，OH＝OD，∴△AOD≌△OCH（SAS），∴OH＝AD＝OG＝，∠OAD＝∠HOC，∵AD∥GO，∴∠OAD＝∠GOA，∴∠GOH＝90°，在Rt△GHO中，GH＝＝，在Rt△BHG中，BG＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．14．問題情境：如圖1，已知正方形ABCD與正方形CEFG，B、C、G在一條直線上，M是AF的中點(diǎn)，連接DM，EM．探究DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系．小明的思路是：小明發(fā)現(xiàn)AD//EF，所以通過延長ME交AD于點(diǎn)H，構(gòu)造△EFM和△HAM全等，進(jìn)而可得△DEH是等腰直角三角形，從而使問題得到解決，請你參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）猜想圖1中DM、EM的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系．（2）如圖2，把圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)E在線段DC的延長線上，點(diǎn)G落在線段BC上，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由；（3）我們可以猜想，把圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3，（1）中的結(jié)論（“成立”或“不成立”）拓展應(yīng)用：將圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使D，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，若AB＝13，CE＝5，請畫出圖形，并直接寫出MF的長．【答案】（1）DM⊥EM，DM＝ME，理由見詳解；（2）結(jié)論成立，理由見詳解；（3）成立；拓展應(yīng)用：MF=或【分析】（1）結(jié)論：DM⊥EM，DM＝EM．只要證明△AMH≌△FME，推出MH＝ME，AH＝EF＝EC，推出DH＝DE，因?yàn)椤螮DH＝90°，可得DM⊥EM，DM＝ME；（2）延長EM交DA的延長線于H，證法同第（1）小題；（3）如圖3中，延長EM到點(diǎn)H，使EM=HM，連接AH，DE，DH，先證明△AMH≌△FME，延長AH交CE于點(diǎn)K，交CD于點(diǎn)O，再證明?DCE??DAH，可得?HDE是等腰直角三角形，M是HE的中點(diǎn)，即可得到結(jié)論；拓展應(yīng)用：分兩種情形畫出圖形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可．【解析】解：（1）結(jié)論：DM⊥EM，DM＝EM．理由：如圖1中，延長EM交AD于H．∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，∴AM＝MF，又∵∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴AD-AH=CD-CE，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME．故答案是：DM⊥EM，DM＝ME；（2）如圖2中，結(jié)論不變．DM⊥EM，DM＝EM．理由：如圖2中，延長EM交DA的延長線于H．∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴AD+AH=CD+CE，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME；（3）如圖3中，延長EM到點(diǎn)H，使EM=HM，連接AH，DE，DH，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，∴AH＝EF＝EC，∠MAH=∠MFE，∴AH∥EF，延長AH交CE于點(diǎn)K，交CD于點(diǎn)O，∴∠AKE=∠CEF=90°，∴∠DCE+∠COK=∠DAH+∠AOD，∵∠COK=∠AOD，∴∠DCE=∠DAH，在?DCE和?DAH中，∵，∴?DCE??DAH，∴DH=DE，∠CDE=∠ADH，∴∠ADH+∠CDH=∠CDE+∠CDH=90°，即：∠HDE=∠ADC=90°，∴?HDE是等腰直角三角形，M是HE的中點(diǎn)，∴DM⊥EM，DM＝ME，故答案是：成立；拓展應(yīng)用：如圖4中，連接DE．延長EM到H，使得MH＝ME，連接AH，延長FE交AD的延長線于K．作MR⊥DE于R．易證△AMH≌△FME（SAS），∴AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE，∴AH∥DF，∴∠DAH＋∠ADE＝180°，∴∠DAH＋∠CDE＝90°，∵∠DCE＋∠EDC＝90°∴∠DAH＝∠DCE，∵DA＝DC，∴△DAH≌△DCE（SAS），∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，∴∠HDE＝∠ADC＝90°，∵M(jìn)E＝MH，∴DM⊥EH，DM＝MH＝EM，在Rt△CDE中，DE＝，∵DM＝ME，DM⊥ME，MR⊥DE，∴MR＝DE＝6，DR＝RE＝6，在Rt△FMR中，F(xiàn)M＝，如圖5中，作MR⊥DE于R．同法可得DE＝12，MR＝6，可得FR＝6?5＝1，在Rt△MRF中，F(xiàn)M＝綜上所述：MF=或．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)的定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．操作與證明：如圖1，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD、MN．（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請判斷線段MD與MN的關(guān)系，得出結(jié)論；結(jié)論：DM、MN的關(guān)系是：；拓展與探究：（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）DM＝MN，DM⊥MN；（3）成立，理由見解析.【分析】（1）先證明△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性質(zhì)即可證明△AEF是等腰三角形；（2）利用三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線定理可證明DM=MN，再證明∠DMN=∠DAB=90°，即可解決問題；（3）連接AE，交DM于O，交CD于G，同（2）證明方法類似，可證明DM=MN，再證明∠DOG＝∠ECG＝90°，即可得出結(jié)論.【解析】（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，∵△EFC是等腰直角三角形，∴CE＝CF，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）解：結(jié)論：DM＝MN，DM⊥MN，證明：∵在Rt△ADF中，M是AF的中點(diǎn)，∴DM=AF，∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，N是EF的中點(diǎn)，∴MN=AE，MN∥AE，∵AE＝AF，∴MN＝DM，∵∠ADF＝90°，AM＝MF，∴MD＝MA＝MF，∴∠MAD＝∠ADM，∴∠DMF＝∠MAD+∠ADM＝2∠DAM，∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF，∴∠DAB=∠EAF+2∠DAM＝90°，∵M(jìn)N∥AE，∴∠NMF＝∠EAF，∴∠DMN=∠NMF+∠DMF＝∠EAF+2∠DAM＝∠DAB=90°，∴DM⊥MN，∴MN＝DM，MN⊥DM，故答案為MN＝DM，MN⊥DM；（3）解：結(jié)論仍然成立．理由：如圖，連接AE，設(shè)AE交DM于O，交CD于G，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，又∵BC+CE=CD+CF,即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB，∵在Rt△ADF中，M是AF的中點(diǎn)，∴DM=AF，∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，N是EF的中點(diǎn)，∴MN=AE，MN∥AE，∴MN＝DM，∵∠ADF＝90°，AM＝MF，∴MD＝MA＝MF，∴∠MDF＝∠MFD＝∠AEB，∵∠DGO＝∠CGE，∠ODG＝∠CEG，∴∠DOG＝∠ECG＝90°，∵NM∥AE，∴∠DOG＝∠DMN＝90°，∴MN⊥DM，MN＝DM．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握各性質(zhì)定理，找準(zhǔn)角與角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.16．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①BC與CF的位置關(guān)系為：．②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：；（將結(jié)論直接寫在橫線上）（2）數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，延長BA交CF于點(diǎn)G，連接GE，若已知AB=2，CD=BC，請求出GE的長．【答案】（1）CF⊥BD，BC=CF+CD；（2）成立，證明詳見解析；（3）.【解析】試題分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=DE，∠ADE=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NE=CM，EM=CN，由角的性質(zhì)得到∠ADH=∠DEM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代換得到CN=EM=3，EN=CM=3，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CG=BC=4，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．試題解析：解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；（2）成立，∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，CF=BD∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；（3）解：過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=AB=4，AH=BC=2，∴CD=BC=1，CH=BC=2，∴DH=3，由（2）證得BC⊥CF，CF=BD=5，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=DE，∠ADE=90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四邊形CMEN是矩形，∴NE=CM，EM=CN，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM，在△ADH與△DEM中，，∴△ADH≌△DEM，∴EM=DH=3，DM=AH=2，∴CN=EM=3，EN=CM=3，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG=BC=4，∴GN=1，∴EG==．考點(diǎn)：四邊形綜合題.17．【方法回顧】（1）如圖1，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作一條直線l交邊BC于點(diǎn)P，BE⊥AP于點(diǎn)E，DF⊥AP于點(diǎn)F，若DF＝2.5，BE＝1，則EF＝．【問題解決】（2）如圖2，菱形ABCD的邊長為1.5，過點(diǎn)A作一條直線l交邊BC于點(diǎn)P，且∠DAP＝90°，點(diǎn)F是AP上一點(diǎn)，且∠BAD+∠AFD＝180°，過點(diǎn)B作BE⊥AB，與直線l交于點(diǎn)E，若EF＝1，求BE的長．【思維拓展】（3）如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD所在直線上的上方，AP＝2，連接PB，PD，若△PAD的面積與△PAB的面積之差為m（m＞0），則PB2﹣PD2的值為．（用含m的式子表示）【答案】（1）1.5；（2）；（3）．【分析】（1）【方法回顧】如圖1，利用“”證明，則，，然后利用得到．（2）【問題解決】證明，推出，，再利用勾股定理構(gòu)建方程解決問題即可．（3）【思維拓展】如圖3中，過點(diǎn)作交的延長線于，交的延長線于，設(shè)，．設(shè)，由，推出，可得，利用勾股定理即可解決問題．【解析】解：（1）【方法回顧】如圖1中，四邊形為正方形，，，，，，又∵，，，，，，．故答案為1.5．（2）【問題解決】如圖2中，四邊形是菱形，，，，，即，，，，，，，，．，．（3）【思維拓展】如圖3中，過點(diǎn)作交的延長線于，交的延長線于，設(shè)，．，四邊形是矩形，，，四邊形是正方形，，設(shè)，，，，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題．18．已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是正方形ABCD所在平面內(nèi)一動點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），AB＝AE，過點(diǎn)B作DE的垂線交DE所在直線于F，連接CF．提出問題：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動時(shí)，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？探究問題：（1）首先考察點(diǎn)E的一個(gè)特殊位置：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（如圖①）時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)B也重合．用等式表示線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）然后考察點(diǎn)E的一般位置，分兩種情況：情況1：當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（如圖②）時(shí)；情況2：當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD外部一點(diǎn)（如圖③）時(shí)．在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中的結(jié)論是否相同？如果都相同，請選擇一種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請說明理由；拓展問題：（3）連接AF，用等式表示線段AF、CF、DF三者之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）DE＝CF；（2）在情況1與情況2下都相同，詳見解析；（3）AF＋CF＝DF或|AF－CF|＝DF【分析】（1）易證△BCD是等腰直角三角形，得出DB=CB，即可得出結(jié)果；（2）情況1：過點(diǎn)C作CG⊥CF，交DF于G，設(shè)BC交DF于P，由ASA證得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，則△GCF是等腰直角三角形，F(xiàn)G=CF，連接BE，設(shè)∠CDG=α，則∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，則∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=（180°-∠EAB）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF是等腰直角三角形，則EF=BF，推出EF=DG，DE=FG，得出DE=CF；情況2：過點(diǎn)C作CG⊥CF交DF延長線于G，連接BE，設(shè)CD交BF于P，由ASA證得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，則△GCF是等腰直角三角形，得FG=CF，設(shè)∠CDG=α，則∠CBF=α，證明△BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF，推出DE=FG，得出DE=CF；（3）①當(dāng)F在BC的右側(cè)時(shí)，作HD⊥DF交FA延長線于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS證得△ABF≌△AEF，得出∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，則△HDF是等腰直角三角形，得HF=DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS證得△HDA≌△FDC，得CF=HA，即可得出AF+CF=DF；②當(dāng)F在AB的下方時(shí)，作DH⊥DE，交FC延長線于H，在DF上取點(diǎn)N，使CN=CD，連接BN，證明△BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS證得△CNF≌△CBF，得∠NFC=∠BFC=∠BFD=45°，則△DFH是等腰直角三角形，得FH=DF，DF=DH，由SAS證得△ADF≌△CDH，得出CH=AF，即可得出AF+CF=DF；③當(dāng)F在DC的上方時(shí)，連接BE，作HD⊥DF，交AF于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS證得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，則△HDF是等腰直角三角形，得出HF=DF，DH=DF，由SAS證得△ADC≌△HDF，得出AH=CF，即可得出AF-CF=DF；④當(dāng)F在AD左側(cè)時(shí)，作HD⊥DF交AF的延長線于H，連接BE，設(shè)AD交BF于P，證明△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS證得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，則∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，HF=DF，由SAS證得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=DF．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴DB=CB，當(dāng)點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合時(shí)，則DE=CF，故答案為：DE=CF；（2）在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中結(jié)論相同；理由如下：情況1：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，過點(diǎn)C作CG⊥CF，交DF于G，如圖②所示：則∠BCD=∠GCF=90°，∴∠DCG=∠BCF，設(shè)BC交DF于P，∵BF⊥DE，∴∠BFD=∠BCD=90°，∵∠DPC=∠FPB，∴∠CDP=∠FBP，在△CDG和△CBF中，，∴△CDG≌△CBF（ASA），∴DG=FB，CG=CF，∴△GCF是等腰直角三角形，∴FG=CF，連接BE，設(shè)∠CDG=α，則∠CBF=α，∠ADE=90°-α，∵AD=AE，∴∠DEA=∠ADE=90°-α，∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，∴∠EAB=90°-2α，∵AB=AE，∴∠BEA=∠ABE=（180°-∠EAB）=（180°-90°+2α）=45°+α，∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，∵BF⊥DE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，∴EF=DG，∴EF+EG=DG+EG，即DE=FG，∴DE=CF；情況2：過點(diǎn)C作CG⊥CF交DF延長線于G，連接BE，設(shè)CD交BF于P，如圖③所示：∵∠GCF=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCF，∵∠FPD=∠BPC，∴∠FDP=∠PBC，在△CDG和△CBF中，，∴△CDG≌△CBF（ASA），∴DG=FB，CG=CF，∴△GCF是等腰直角三角形，∴FG=CF，設(shè)∠CDG=α，則∠CBF=α，同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，∴∠EAB=90°+2α，∵AB=AE，∴∠BEA=∠ABE=45°-α，∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，∵BF⊥DE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，∴EF=DG，∴DE=FG，∴DE=CF；（3）①當(dāng)F在BC的右側(cè)時(shí)，作HD⊥DF交FA延長線于H，如圖④所示：由（2）得：△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，在△ABF和△AEF中，，∴△ABF≌△AEF（SSS），∴∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，∴△HDF是等腰直角三角形，∴HF=DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，∴∠HDA=∠FDC，在△HDA和△FDC中，，∴△HDA≌△FDC（SAS），∴CF=HA，∴DF=HF=HA+AF=CF+AF，即AF+CF=DF；②當(dāng)F在AB的下方時(shí)，作DH⊥DE，交FC延長線于H，在DF上取點(diǎn)N，使CN=CD，連接BN，如圖⑤所示：設(shè)∠DAE=α，則∠CDN=∠CND=90°-α，∴∠DCN=2α，∴∠NCB=90°-2α，∵CN=CD=CB，∴∠CNB=∠CBN=（180°-∠NCB）=（180°-90°+2α）=45°+α，∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α，∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°，∴△BFN是等腰直角三角形，∴BF=NF，在△CNF和△CBF中，，∴△CNF≌△CBF（SSS），∴∠NFC=∠BFC=∠BFD=45°，∴△DFH是等腰直角三角形，∴FH=DF，DF=DH，∵∠ADC=∠HDE=90°，∴∠ADF=∠CDH，在△ADF和△CDH中，，∴△ADF≌△CDH（SAS），∴CH=AF，∴FH=CH+CF=AF+CF，∴AF+CF=DF；③當(dāng)F在DC的上方時(shí)，連接BE，作HD⊥DF，交AF于H，如圖⑥所示：由（2）得：△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，在△ABF和△AEF中，，∴△ABF≌△AEF（SSS），∴∠EFA=∠BFA=∠BFE=