2024新高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題七解析幾何7.1直線圓圓錐曲線小題專項(xiàng)練學(xué)案含解析

專題七解析幾何考情分析2024年的山東新高考數(shù)學(xué)卷對(duì)解析幾何這一部分共命制了3道題:多選題9,利用對(duì)參數(shù)的探討來確定圓錐曲線及圓錐曲線的方程;填空題13,已知直線過拋物線的焦點(diǎn),求弦長(zhǎng).此題重點(diǎn)考察了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,所以可以先求出直線方程,再與拋物線方程聯(lián)立干脆求解.另外,此題還可以利用二級(jí)結(jié)論干脆求解傾斜角為θ的直線過拋物線y2=2px的焦點(diǎn),則弦長(zhǎng)l=2psin2θ.解答題22,考查橢圓的方程,以及直線與橢圓的位置關(guān)系、直線過定點(diǎn)等問題.從試卷的出題數(shù)量和分值占比上來說,圓錐曲線仍舊是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn),是高考中每年必考的內(nèi)容.主要考查圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容.對(duì)圓錐曲線方程與性質(zhì)的考查,以選擇題、填空題為主,對(duì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查,常與其他學(xué)問交匯命題,多以解答題的形式出現(xiàn).在核心素養(yǎng)方面主要考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算7.1直線、圓、圓錐曲線小題專項(xiàng)練必備學(xué)問精要梳理1.若兩條不重合的直線l1,l2的斜率k1,k2存在,則l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1.2.兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)之間的距離|AB|=(x3.點(diǎn)(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離d=|Ax0+By0+4.圓的方程:(1)標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心為(a,b),半徑為r.(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).(3)以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑的圓的方程是(x-x1)·(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.5.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)橢圓:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(焦點(diǎn)在x軸上)或y(2)雙曲線:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)(焦點(diǎn)在x軸上)或y2a(3)拋物線:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).6.熟記重要結(jié)論(1)焦點(diǎn)三角形:橢圓上的點(diǎn)P(x0,y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面積為S,則在橢圓x2a2+y①當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí),θ最大.②S=12|PF1||PF2|·sinθ=b2tanθ2=c|y0|,當(dāng)|y0|=b時(shí),即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí),S取最大值,最大值為③焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a+c).(2)若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的隨意一點(diǎn),F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),則S△PF1F2=b2tan(3)設(shè)AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則①x1x2=p24,y1y2=-p②弦長(zhǎng)|AB|=x1+x2+p=2psin2α(③1|④以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.考向訓(xùn)練限時(shí)通關(guān)考向一直線、圓1.(2024天津,12)已知直線x-3y+8=0和圓x2+y2=r2(r>0)相交于A,B兩點(diǎn).若|AB|=6,則r的值為.

2.(2024全國(guó)Ⅱ,理5)若過點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為()A.55 B.255 C.33.(2024全國(guó)Ⅲ,文8)點(diǎn)(0,-1)到直線y=k(x+1)距離的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.24.(2024全國(guó)Ⅰ,文6)已知圓x2+y2-6x=0,過點(diǎn)(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.45.圓x2+y2+2x-6y+1=0關(guān)于直線ax-by+3=0(a>0,b>0)對(duì)稱,則1a+3bA.23 B.203 C.4 D.6.(多選)設(shè)圓x2+y2-2x-2y-2=0的圓心為C,直線l過(0,3),且與圓C交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=23,則直線l的方程為()A.3x+4y-12=0 B.3x+4y+12=0C.x=0 D.4x+3y+9=0考向二圓錐曲線方程、性質(zhì)類型一橢圓7.(2024全國(guó)Ⅰ,理10)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為()A.x22+y2=1 B.xC.x24+y23=8.(2024石家莊一模,5)如圖,已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O,F(-5,0)為C的左焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),滿意|OP|=|OF|且|PF|=6,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x236+y216=C.x249+y224=9.(2024安徽蚌埠模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F2,離心率為33,過F2的直線l交C于A,B兩點(diǎn),若△AF1B的周長(zhǎng)為4A.x23+y22=1 BC.x212+y28=10.(2024北京豐臺(tái)一模,15)已知雙曲線M:x2-y23=1的漸近線是邊長(zhǎng)為1的菱形OABC的邊OA,OC所在直線.若橢圓N:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過A,C兩點(diǎn),且點(diǎn)類型二雙曲線11.(多選)(2024山東濰坊一模,9)已知雙曲線x24-y22=sin2θ(θ≠kπ,k∈Z),則不因θ變更A.焦距 B.離心率C.頂點(diǎn)坐標(biāo) D.漸近線方程12.(2024天津,7)設(shè)雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0,b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行,另一條漸近線與lA.x24-y24=1 B.xC.x24-y2=1 D.x2-y213.(2024全國(guó)Ⅰ,理11)已知雙曲線C:x23-y2=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為C的右焦點(diǎn),過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N.若△OMN為直角三角形,則|MN|=(A.32 B.3 C.23 D.14.(2024山東淄博一模,15)如圖,A1,A2分別是雙曲線C:x2-y2a=1(a>0)的左、右頂點(diǎn),以實(shí)軸為直徑的半圓交其中一條漸近線于點(diǎn)M,直線MA2交另一條漸近線于點(diǎn)N,若MA1∥NO,則a=,若F2為雙曲線右焦點(diǎn),則△MF類型三拋物線15.(2024全國(guó)Ⅲ,文7)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)交于D,E兩點(diǎn),若OD⊥OE,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.14,0 B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)16.(2024全國(guó)Ⅱ,文9)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓x23p+y2p=1A.2 B.3 C.4 D.817.(2024安徽安慶二模,10)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K,過點(diǎn)K作圓x-p22+y2=p24的切線,切點(diǎn)分別為A,B.若|AB|=3,A.1 B.3 C.2 D.318.(多選)(2024山東淄博一模,9)已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M到其準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離分別為3和22,則p的值可以是()A.2 B.6 C.4 D.819.(2024全國(guó)Ⅲ,理16)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若∠AMB=90°,則k=.

20.(2024北京石景山一模,14)已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=.

專題七解析幾何7.1直線、圓、圓錐曲線小題專項(xiàng)練考向訓(xùn)練·限時(shí)通關(guān)1.5解析如圖.∵|AB|=6,∴|AD|=3.圓x2+y2=r2的圓心為(0,0).圓心到直線的距離CD=|8|1+3=4,∴AC=5,即2.B解析由題意可知,圓心在第一象限.設(shè)圓心為(a,a)(a>0),則(2-a)2+(1-a)2=a2,解得a=1或a=5.當(dāng)a=1時(shí),圓心為(1,1),此時(shí)圓心到直線2x-y-3=0的距離為d1=|當(dāng)a=5時(shí),圓心為(5,5),此時(shí)圓心到直線2x-y-3=0的距離為d2=|2×5-5-3|5=2553.B解析直線y=k(x+1)過定點(diǎn)(-1,0),當(dāng)過點(diǎn)(0,-1)與點(diǎn)(-1,0)的直線與直線y=k(x+1)垂直時(shí),點(diǎn)(-1,0)到直線y=k(x+1)的距離最大,故最大距離等于(0,-1)和(-1,0)兩點(diǎn)之間的距離,為2.故選B4.B解析圓的方程可化為(x-3)2+y2=9.因?yàn)?1-3)2+(2-如圖所示,設(shè)圓心O1(3,0),A(1,2),當(dāng)弦BC與O1A垂直時(shí)弦最短,因?yàn)閨O1A|=(3-1)|O1B|=3,所以|AB|=|O1所以|BC|=2|AB|=2.5.D解析由圓x2+y2+2x-6y+1=0知其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-3)2=9,由題意知直線ax-by+3=0經(jīng)過圓心(-1,3),即-a-3b+3=0,∴a+3b=3(a>0,b>0).∴1a+3b=13(a+3b)1a+3b=131+3ab+3ba+9≥1310+26.AC解析當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=0,聯(lián)立得方程組x解得x∴|AB|=23,符合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+3,∵圓x2+y2-2x-2y-2=0即(x-1)2+(y-1)2=4,∴圓心為C(1,1),圓的半徑r=2,易知圓心C(1,1)到直線y=kx+3的距離d=|k∵d2+|AB|22=r2,∴(+2)2k2+1+3=4,解得k=-34,∴直線l的方程為y=-綜上,直線l的方程為3x+4y-12=0或x=0.故選AC.7.B解析如圖,由已知可設(shè)|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,則|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由橢圓的定義及|AF2|=2|F2B|,得m-n∴|AF1|=a,|AF2|=a.∴點(diǎn)A為(0,-b).∴kAF2=b1=b.過點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)P.由題意可知△OAF2∽△PBF2.又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.∴|F2P|=12.又kAF2=|BP||F2P|=|BP|12=b,∴|BP|=12b.∴點(diǎn)B所以橢圓方程為x23+8.C解析依據(jù)題意,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為M,連接PM,則|FM|=2|OF|=10,因?yàn)閨OP|=|OF|=|OM|,所以∠PFM=∠FPO,∠OMP=∠OPM,又由∠PFM+∠OMP+∠FPO+∠OPM=180°,∠FPO+∠OPM=90°,即PF⊥PM.又由|FM|=10,|PF|=6,則|PM|=100-36則2a=|PF|+|PM|=14,則a=7,又由c=5,則b2=a2-c2=49-25=24,則橢圓的方程為x249+y2249.A解析∵△AF1B的周長(zhǎng)為43,且△AF1B的周長(zhǎng)為|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,∴4a=43,∴a=3.∵離心率為3∴ca=∴b2=a2-c2=3-1=2,∴橢圓C的方程為x23+y2210.3+12解析依據(jù)題意,可作出如圖所示的圖形,設(shè)點(diǎn)D為橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn),連接AD,雙曲線M:x2-y23=1的漸近線方程為y=∴∠AOB=60°,∵菱形OABC的邊長(zhǎng)為1,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為12,32,B(1,0),D(-1,0),∴|AD|=12+12+322=311.BD解析雙曲線x24-y22=sin2θ(θ≠kπ,k∈Z),可化為x24sin2θ-y22sin2θ=1.∴a2=4sin2θ,b2=2sin2θ.c2=6sin2θ,e12.D解析∵雙曲線x2a2-y2b2=1的漸近線方程為y=±bax,y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為∴-b=-ba且-b·b∴a=1,b=1.故選D.13.B解析由條件知F(2,0),漸近線方程為y=±33x,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.不妨設(shè)∠OMN=90°,則|MN|=3|OM|又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos30°=3,所以|MN|=3.14.33+7解析∵M(jìn)A1∥NO,∴MA1∥NO,∴∠NOA2=∠MA1O,又∠NOA2=∠MOA1,∴∠MOA1=又OA1=OM,∴∠MA1O=∠OMA1,∴△MA1O是等邊三角形,∴a=3,則M-12,32.則△MF2O的周長(zhǎng)為:1+215.B解析∵拋物線C關(guān)于x軸對(duì)稱,直線x=2垂直于x軸,又OD⊥OE,∴△ODE是等腰直角三角形.不妨設(shè)點(diǎn)D在第一象限,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2),將其代入y2=2px,得p=1,所以拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為12,0.16.D解析∵y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為p2,0,橢圓x23p+y2p=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3p-p,0),∴317.C解析如圖,連接FA,因?yàn)镕就是圓x-p22+y2=p24的圓心,所以FA⊥KA,且|FA|=又|KF|=p,所以∠AKF=30°,那么∠AKB=60°,所以△AKB是等邊三角形,所以|AB|=|AK|=32p.又|AB|=3,所以p=2.故選C18.AC解析設(shè)P點(diǎn)(x0,y0),由P在拋物線上,所以y02=2px0,由拋物線的方程可得準(zhǔn)線的方程為x=-p2,由題意可得x0+p2=3,|y0|=2px0=22,解得:19.2