江蘇省南通市海安高級中學2024-2025學年高一數學下學期3月線上考試試題含解析

PAGE24-江蘇省南通市海安高級中學2024-2025學年高一數學下學期3月線上考試試題（含解析）一、選擇題.（每小題4分，共52分，其中1-10為單選題，11-13為多選題）1.某地區(qū)對當地3000戶家庭的2024年所的年收入狀況調查統(tǒng)計，年收入的頻率分布直方圖如圖所示，數據（單位：千元）的分組依次為[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，則年收入不超過6萬的家庭大約為（）A.900戶 B.600戶 C.300戶 D.150戶【答案】A【解析】【分析】先計算年收入不超過6萬的家庭的頻率,再依據樣本估計總體的方法求解即可.【詳解】由頻率分布直方圖可得,年收入不超過6萬的家庭的頻率為（0.005+0.010）×20＝0.3.可得年收入不超過6萬的家庭大約為3000×0.3＝900戶.故選：A.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用,屬于基礎題.2.計算的結果為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先用誘導公式將化為，然后用余弦的差角公式逆用即可.【詳解】故選：B【點睛】本題考查誘導公式和和角的三角函數公式的應用，屬于基礎題.3.已知向量，滿意（x，1），（1，﹣2），若∥，則（）A.（4，﹣3） B.（0，﹣3） C.（，﹣3） D.（4，3）【答案】C【解析】【分析】依據（x，1），（1，﹣2），且∥，求得向量的坐標，再求的坐標.【詳解】因為（x，1），（1，﹣2），且∥，所以，所以，所以（，1），所以.故選：C【點睛】本題主要考查向量的坐標運算，還考查了運算求解的實力，屬于基礎題.4.已知某種商品的廣告費支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）之間有如下對應數據：x24568y3040506070依據上表可得回來方程，計算得，則當投入10萬元廣告費時，銷售額的預報值為A.75萬元 B.85萬元C.99萬元 D.105萬元【答案】B【解析】分析：依據表中數據求得樣本中心，代入回來方程后求得，然后再求當的函數值即可．詳解：由題意得，∴樣本中心為．∵回來直線過樣本中心，∴，解得，∴回來直線方程為．當時，，故當投入10萬元廣告費時，銷售額的預報值為85萬元．故選B．點睛：本題考查回來直線過樣本中心這一結論和平均數的計算，考查學生的運算實力，屬簡單題．5.已知函數f（x）＝3x+x，g（x）＝log3x+x，h（x）＝x3+x的零點分別為a，b，c，則a，b，c的大小依次為（）A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.c＞a＞b D.b＞a＞c【答案】B【解析】分析】分別求解三個函數的零點滿意的關系式,再數形結合利用函數圖像的交點比較大小即可.【詳解】f（x）＝3x+x＝0,則x＝﹣3x,g（x）＝log3x+x,則x＝﹣log3x,h（x）＝x3+x,則x＝﹣x3,∵函數f（x）,g（x）,h（x）的零點分別為a,b,c,作出函數y＝﹣3x,y＝﹣log3x,y＝﹣x3,y＝x的圖象如圖,由圖可知：b＞c＞a,故選：B.【點睛】本題主要考查了函數零點的運用以及數形結合求解函數值大小的問題,屬于中檔題.6.酒駕是嚴峻危害交通平安的違法行為．為了保障交通平安，依據國家有關規(guī)定：100mL血液中酒精含量低于20mg的駕駛員可以駕駛汽車，酒精含量達到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了肯定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．假如在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度削減，那么他至少經過幾個小時才能駕駛汽車？（）（參考數據：lg0.2≈﹣0.7，1g0.3≈﹣0.5，1g0.7≈﹣0.15，1g0.8≈﹣0.1）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】依據題意先探究出酒精含量的遞減規(guī)律，再依據能駕車的要求，列出模型求解.【詳解】因為1小時后血液中酒精含量為（1-30%）mg/mL,x小時后血液中酒精含量為（1-30%）xmg/mL的，由題意知100mL血液中酒精含量低于20mg的駕駛員可以駕駛汽車，所以，，兩邊取對數得，，，所以至少經過5個小時才能駕駛汽車.故選：C【點睛】本題主要考查了指數不等式與對數不等式的解法，還考查了轉化化歸的思想及運算求解的實力，屬于基礎題.7.已知ω＞0，0＜φ＜π，直線和是函數f（x）＝sin（ωx+φ）圖象的兩條相鄰的對稱軸，若將函數f（x）圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，則得到的圖象的函數解析式是（）A. B.C.y＝2cos2x D.【答案】A【解析】【分析】依據題意先求得的周期,再依據三角函數圖像變換的方法求解析式即可.【詳解】∵直線和是函數f（x）＝sin（ωx+φ）圖象的兩條相鄰的對稱軸,∴周期T＝2×（）＝2π,即,得ω＝1,則f（x）＝sin（x+φ）,由五點對應法得φ,得φ,即f（x）＝sin（x）,若將函數f（x）圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?得到y(tǒng)＝sin（2x）,然后縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得到y(tǒng)＝2sin（2x）,故選：A.【點睛】本題主要考查了依據函數性質求解參數以及三角函數變換方法等.屬于中檔題.8.已知中，角、、的對邊分別為、、，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用求得由正弦定理轉化為、的表達式，利用三角形內角和定理華為同一個角的三角函數，即可得到的取值范圍.詳解：由題，，可得由正弦定理可得，且則故選B.點睛：本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數恒等變形的應用，屬于基礎題．9.已知函數f（x）＝x2+bx，若f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等，則實數b的取值范圍是（）A[0，2] B.[﹣2，0]C.（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞） D.（﹣∞，0]∪[2，+∞）【答案】D【解析】【分析】先求得的最小值,再依據二次函數對稱軸與值域的關系列出不等式求解即可.【詳解】由于f（x）＝x2+bx,x∈R.則當x時,f（x）min,又函數y＝f（f（x））的最小值與函數y＝f（x）的最小值相等,則函數y必須要能夠取到最小值,即,得到b≤0或b≥2,所以b的取值范圍為{b|b≥2或b≤0}.故選：D.【點睛】本題主要考查了二次函數的性質運用,須要分析到對稱軸滿意的關系式,屬于?？碱}.10.給出下列命題：①棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形；②用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺；③半圓圍著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面叫做球面；④棱臺的側棱延長后交于一點，側面是等腰梯形．其中正確命題的序號是（）A.①②④ B.①②③ C.②③ D.③【答案】D【解析】【分析】依據常見幾何體的性質逐個判定即可.【詳解】對于①,棱柱的側棱都相等,側面都是平行四邊形,但不肯定是全等平行四邊形,所以①錯誤；對于②,用一個平行于底面的平面去截棱錐,棱錐底面與截面之間的部分是棱臺,所以②錯誤；對于③,半圓圍著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面叫做球面,③正確；對于④,棱臺的側棱延長后交于一點,但側面不肯定是等腰梯形,所以④錯誤.綜上知,正確的命題序號是③.故選：D.【點睛】本題主要考查了常見幾何體的性質判定,屬于基礎題.11.拋擲一枚骰子1次,記“向上的點數是4,5,6”為事務A,“向上的點數是1,2”為事務B,“向上的點數是1,2,3”為事務C,“向上的點數是1,2,3,4”為事務D,則下列關于事務A，B，C，D推斷正確的有（）A.A與B是互斥事務但不是對立事務B.A與C是互斥事務也是對立事務C.A與D是互斥事務D.C與D不是對立事務也不是互斥事務【答案】ABD【解析】【分析】依據互斥事務的定義以及對立事務的定義逐個判定即可.【詳解】拋擲一枚骰子1次,記“向上的點數是4,5,6”為事務A,“向上的點數是1,2”為事務B,“向上的點數是1,2,3”為事務C,“向上的點數是1,2,3,4”為事務D,在A中,A與B不能同時發(fā)生,但能同時不發(fā)生,是互斥事務但不是對立事務,故A正確；在B中,A與C是互斥事務也是對立事務,故B正確；在C中,A與D能同時發(fā)生,不是互斥事務,故C錯誤；在D中,C與D能同時發(fā)生,不是對立事務也不是互斥事務,故D正確.故選：ABD.【點睛】本題主要考查了互斥與對立事務的判定,屬于基礎題.12.下列說法中正確的有（）A.設正六棱錐的底面邊長為1，側棱長為，那么它的體積為B.用斜二測法作△ABC的水平放置直觀圖得到邊長為a的正三角形，則△ABC面積為C.三個平面可以將空間分成4，6，7或者8個部分D.已知四點不共面，則其中隨意三點不共線．【答案】ACD【解析】【分析】對A,依據題意求出底面積與高再求體積判定即可.對B,依據斜二測畫法前后面積的關系求解推斷即可.對C,分析這三個平面的位置關系再逐個探討即可.對D,利用反證法證明即可.【詳解】對于A,正六棱錐的底面邊長為1,則S底面積＝6?1×1×sin60°；又側棱長為,則棱錐的高h2,所以該棱錐的體積為VS底面積h2,A正確；對于B,水平放置直觀圖是邊長為a的正三角形,直觀圖的面積為S′a2×sin60°,則原△ABC的面積為S＝2S′＝2a2a2,所以B錯誤；對于C,若三個平面相互平行,則可將空間分為4部分；若三個平面有兩個平行,第三個平面與其它兩個平面相交,則可將空間分為6部分；若三個平面交于一線,則可將空間分為6部分；若三個平面兩兩相交且三條交線平行（聯(lián)想三棱柱三個側面的關系）,則可將空間分為7部分；若三個平面兩兩相交且三條交線交于一點（聯(lián)想墻角三個墻面的關系）,則可將空間分為8部分；所以三個平面可以將空間分成4,6,7或8部分,C正確；對于D,四點不共面,則其中隨意三點不共線,否則是四點共面,所以D正確；綜上知,正確的命題序號是ACD.故選：ACD.【點睛】本題主要考查了立體幾何中的基本性質與空間中線面的關系問題,屬于基礎題.13.下列函數對隨意的正數，，滿意的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據四個選項中的函數證明不等式成立或舉反例說明不成立(舉反例時中讓)．【詳解】A．，，A正確；B．，∴，B正確；C．時，，C錯；D．，∴，D正確．故選：ABD．【點睛】本題考查正弦函數、冪函數、指數函數、對數函數的性質，對于函數的性質，正確的需進行證明，錯誤的可舉一反例說明．二、填空題（每小題4分，共16分）14.連擲兩次骰子得到的點數分別為和，記向量與向量的夾角為，則為銳角的概率是__________．【答案】【解析】連擲兩次骰子分別得到點數m,n,所組成的向量(m,n)的個數共有36種由于向量(m,n)與向量(1,?1)的夾角θ為銳角,∴(m,n)?(1,?1)>0，即m>n，滿意題意的狀況如下：當m=2時，n=1；當m=3時，n=1，2；當m=4時，n=1，2，3；當m=5時，n=1，2，3，4；當m=6時，n=1，2，3，4，5；共有15種，故所求事務的概率為：.15.若等腰△ABC的周長為3，則△ABC的腰AB上的中線CD的長的最小值為_____【答案】【解析】【分析】畫圖利用三角形三邊的關系以及余弦定理分析求解即可.【詳解】如圖所示,設腰長AB＝2x,則BC＝3﹣4x＞0,解得0＜x；由中線長定理可得：2CD2+2x2＝（2x）2+（3﹣4x）2,化為：CD2＝9（x）2；∴x時,CD取得最小值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了利用三角形三邊之間的關系與余弦定理求解線段長度的最值問題等,須要建立關于所求線段的等式再依據函數的最值分析.屬于?？碱}.16.用一張長為12，寬為8的鐵皮圍成圓柱形的側面，則這個圓柱的體積為_____；半徑為R的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，那么這個圓錐筒的高是_____．【答案】(1).或(2).【解析】【分析】①依據底面周長等于鐵皮的邊長,進而求得底面半徑,再計算體積即可.②依據圓錐底面周長等于扇形弧長列式求解即可.【詳解】①若圓柱的底面周長為12,則底面半徑為r,高為h＝8,此時圓柱的體積為V＝π?r2?h；若圓柱的底面周長為8cm,則底面半徑為r′,h′＝12,此時圓柱的體積V＝π?r′2?h′；所以圓柱的體積為或；②半徑為R的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒,所以底面圓的半徑r滿意2πr＝πR,即2r＝R；所以該圓錐筒的軸截面是邊長為R的等邊三角形,則其高為hR.故答案為：(1)或;(2)R.【點睛】本題主要考查了圓柱與圓錐的體積與周長等的關系,屬于?？碱}.17.對于函數y＝f（x），若在其定義域內存在x0，使得x0f（x0）＝1成立，則稱函數f（x）具有性質M．（1）下列函數中具有性質M的有____①f（x）＝﹣x+2②f（x）＝sinx（x∈[0，2π]）③f（x）＝x，（x∈（0，+∞））④f（x）（2）若函數f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性質M，則實數a的取值范圍是____．【答案】(1).①②④(2).a或a＞0【解析】【分析】（1）①因為f（x）＝﹣x+2，若存在，則，解一元二次方程即可.②若存在，則，即，再利用零點存在定理推斷.③若存在，則，干脆解方程.④若存在，則，即，令，再利用零點存在定理推斷.（2）若函數f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性質M，則ax（|x﹣2|﹣1）=1，x∈[﹣1，+∞）有解，將問題轉化：當時，有解，當時，有解，分別用二次函數的性質求解.【詳解】（1）①因為f（x）＝﹣x+2，若存在，則，即，所以，存在.②因為f（x）＝sinx（x∈[0，2π]），若存在，則，即，令，因為，所以存在.③因為f（x）＝x，（x∈（0，+∞）），若存在，則，即，所以不存在.④因為f（x），（x∈（0，+∞）），若存在，則，即，令，因為，所以存在.（2）若函數f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性質M，則ax（|x﹣2|﹣1）=1，x∈[﹣1，+∞）有解，當時，有解，令，所以.當時，有解，令，所以.綜上：實數a的取值范圍是a或a＞0.故答案為：(1).①②④(2).a或a＞0【點睛】本題主要考查了函數的零點，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的實力，屬于中檔題.三、解答題.（共82分）18.某校有老師400人，對他們進行年齡狀況和學歷的調查，其結果如下：學歷35歲以下35-55歲55歲及以上本科6040碩士8040(1)若隨機抽取一人，年齡是35歲以下的概率為，求；(2)在35-55歲年齡段的老師中，按學歷狀況用分層抽樣的方法，抽取一個樣本容量為5的樣本，然后在這5名老師中任選2人，求兩人中至多有1人的學歷為本科的概率.【答案】（1）20；（2）【解析】分析：（1）(1)由由古典概型概率公式，解得,故；（2）由分層抽樣的規(guī)律可知，需學歷為探討生的2人，記為，學歷為本科的3人，記為的，列舉可得總的基本領件，找出符合題意得基本領件，由古典概型公式可得.詳解：(1)由已知可知，解得,故.(2)由分層抽樣的規(guī)則可知，樣本中學歷為碩士的人數為人，記為,學歷為本科的人數為人.記為,從中任選2人全部的基本領件為共10個，設“至多有1人的學歷為本科”為事務，則事務包含的基本領件為，共7個.所以.點睛：本題主要考查分層抽樣的應用以及古典概型概率公式的應用，屬于中檔題.總體中個體差異明顯，層次分明適合分層抽樣，其主要性質是，每個層次，抽取的比例相同.19.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．（1）求角A；（2）若△ABC外接圓的面積為4π，且△ABC的面積，求△ABC的周長．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】(1)依據正弦定理邊化角,再利用三角函數和差角公式化簡求解即可.(2)利用正弦定理可得,再結合面積公式與余弦定理求解即可.【詳解】解：（1）法一：已知,由正弦定理得2sinAcosB＝2sinC﹣sinB＝2sin（A+B）﹣sinB,可得：2cosAsinB﹣sinB＝0,可得：sinB（2cosA﹣1）＝0,∵sinB≠0,∴,∵A∈（0,π）,∴.法二：已知由余弦定理得,可得：a2＝b2+c2﹣bc又a2＝b2+c2﹣2bccosA,∴,∵A∈（0,π）,∴.（2）由△ABC外接圓面積為πR2＝4π,得到R＝2,由正弦定理知,∴.∵△ABC的面積,可得bc＝8.法一：由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc,即12＝（b+c）2﹣24從而b+c＝6,故△ABC的周長為.法二：由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc,即b2+c2＝20從而或,故△ABC的周長為.【點睛】本題主要考查了正余弦定理與面積公式等在解三角形中的運用,屬于中檔題.20.如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別在上，且.（1）求證：四點共面；（2）設與交于點，求證：三點共線.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）利用三角形的中位線平行于第三邊；平行線分線段成比例定理，得到EF、GH都平行于BD，利用平行線的傳遞性得到EF∥GH，據兩平行線確定以平面得證．

（2）利用分別在兩個平面內的點在兩個平面的交線上，得證．試題解析：證明：（1）因為分別為的中點，所以.在中，，所以，所以.所以四點共面.（2）因為，所以，又因為平面，所以平面，同理平面，所以為平面與平面的一個公共點.又平面平面.所以，所以三點共線.21.已知奇函數f（x），函數g（θ）＝cos2θ+2sinθ，θ∈[m，]．m，b∈R．（1）求b的值；（2）推斷函數f（x）在[0，1]上的單調性，并證明；（3）當x∈[0，1]時，函數g（θ）的最小值恰為f（x）的最大值，求m的取值范圍．【答案】（1）b＝0；（2）在[0，1]上的單調遞增，證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）依據函數f（x）為奇函數，令f（0）＝0求解.（2）函數f（x）在[0，1]上的單調遞增，再利用函數的單調性定義證明.（3）依據（2）知，函數f（x）在[0，1]上的單調遞增，得到．即g（θ）的最小值為，再令t＝sinθ，轉化為二次函數求解.【詳解】（1）因為函數f（x）為R上的奇函數，所以f（0）＝0，解得b＝0．（2）函數f（x）在[0，1]上的單調遞增．證明：設則：f（x2）﹣f（x1），因為，所以x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，所以，即f（x2）f（x1），所以函數f（x）在[0，1]上的單調遞增．（3）由（2）得：函數f（x）在[0，1]上的單調遞增，所以．所以g（θ）的最小值為．令t＝sinθ，所以y的最小值為，令解得所以，即，所以又因為θ∈[m，]．m，b∈R，所以．【點睛】本題主要考查了函數的基本性質，還考查了轉化化歸的思想及運算求解的實力，屬于難題.22.一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內壁和外壁都是半徑為1m的四分之一圓弧，分別與圓弧相切于兩點，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m.（1）若水平放置的木棒的兩個端點分別在外壁和上，且木棒與內壁圓弧相切于點設試用表示木棒的長度（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）如圖，設圓弧FG所在的圓的圓心為Q，過Q點作CD垂線，垂足為點T，且交MN或其延長線與于S，并連接PQ，再過N點作TQ的垂線，垂足為W．在中用NW和表示出NS，在中用PQ和表示出QS，然后分別看S在線段TG上和在線段GT的延長線上分別表示出TS=QT-QS，然后在中表示出MS，利用MN=NS+MS求得MN的表達式和的表達式．（2）設出，則可用t表示出，然后可得關于t的表達式，對函數進行求導，依據t的范圍推斷出導函數與0的大小，進而就可推斷出函數的單調性；然后依據t的范圍求得函數的最小值．試題解析：⑴如圖，設圓弧FG所在的圓的圓心為Q，過Q點作CD的垂線，垂足為點T，且交MN或其延長線于S，并連結PQ，再過點N作TQ的垂線，垂足為W，在中，因為NW=2，，所以，因為MN與圓弧FG切于點P，所以，在中，因為PQ=1，，所以，①若M在線段TD上，即S在線段TG上，則TS=QT-QS，在中，，因此．②若M在線段CT上，即若S在線段GT的延長線上，則TS=QS-QT，在中，，因此．．（2）設，則，因此．因為，又，所以恒成立