黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE16-黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）第Ⅰ卷選擇題部分一、選擇題（每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，每小題5分，共60分.）1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意先求出集合N，然后依據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解：，又，所以.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的運(yùn)算，指數(shù)不等式求解，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析得到，再比較b,c的大小關(guān)系得解.【詳解】由題得.,所以.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)函數(shù)，則=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】推導(dǎo)出f（2）1，從而f（f（2））＝f（1），由此能求出結(jié)果．【詳解】∵函數(shù)f（x），∴f（2）1，f（f（2））＝f（1）＝12＝1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上是單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．【詳解】依據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，A，（0，+∞）上是單調(diào)遞減，錯(cuò)誤B，偶函數(shù)，（0，+∞）上是遞增，正確．C，奇函數(shù)，錯(cuò)誤，D，x＞0時(shí)，（0，+∞）上是函數(shù)遞減，錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】依據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵5.在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通過(guò)分析冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)特征可得解.【詳解】函數(shù)，與，答案A沒(méi)有冪函數(shù)圖像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征，屬于基礎(chǔ)題.6.已知?jiǎng)t()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用及誘導(dǎo)公式求解可得結(jié)果．【詳解】∵，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查角的變換和誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，考查變換和應(yīng)用實(shí)力，解題時(shí)留意等號(hào)前后的符號(hào)是否要變更，屬簡(jiǎn)單題．7.方程log2x+3x-2=0的根所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)建函數(shù)，推斷函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，再用零點(diǎn)存在定理推斷即可．【詳解】解：構(gòu)建函數(shù)f（x）＝log2x+3x﹣2，函數(shù)在R上連續(xù)單調(diào)增函數(shù)，∵f（1）＝3﹣2＞0，f（）＝﹣12＜0，∴f（x）＝log2x+3x﹣2的零點(diǎn)所在區(qū)間為（，1），∴方程log2x+3x﹣2＝0的根所在的區(qū)間為（，1），故選B．【點(diǎn)睛】本題考查方程與函數(shù)之間的聯(lián)系，考查零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．8.函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】題意可知，kx2﹣kx+1＞0恒成立，結(jié)合不等式的恒成立對(duì)k進(jìn)行分類探討即可求解．【詳解】由題意可知，kx2﹣kx+1＞0恒成立，當(dāng)k＝0時(shí)，1＞0恒成立，當(dāng)k≠0時(shí)，，解可得，0＜k＜4，綜上可得，k的范圍[0，4）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化及分類探討思想的應(yīng)用．9.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將a＝sin利用誘導(dǎo)公式化為a＝sin，利用角的范圍推斷a>0>b>-1,而c＜﹣1．大小關(guān)系即可確定．【詳解】a＝sin;∵π，即﹣1＜b＜0．又正切函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞增，∵；∴tantan1；∴c＝tan（）＝﹣tan1，∴a＞0＞b＞﹣1＞c，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查非特別角三角函數(shù)值大小比較，可化為同角或同名函數(shù)再進(jìn)行比較，用到的學(xué)問(wèn)有同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角函數(shù)的單調(diào)性．10.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為單位圓上一點(diǎn)，以軸為始邊，為終邊的角為，，若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用隨意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】為單位圓上一點(diǎn)，以軸為始邊，為終邊的角為，，若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，考查基本的運(yùn)算求解實(shí)力．11.若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造特別函數(shù)，依據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論【詳解】構(gòu)造特別函數(shù)f（x）＝﹣x2+1，當(dāng)x＞0時(shí)，0，得﹣x2+1＜0，即x＞1，當(dāng)x＜0時(shí)，得﹣x2+1＞0，﹣1＜x＜0，故解集為：（﹣1，0）∪（1，+∞），故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的解法，構(gòu)造特別函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．12.已知函數(shù),則方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出函數(shù),將方程看作交點(diǎn)個(gè)數(shù)，運(yùn)用圖象推斷根的個(gè)數(shù)．【詳解】畫出函數(shù)令有兩解，則分別有3個(gè)，2個(gè)解，故方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3+2=5個(gè)故選：D【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用，分類思想的運(yùn)用，數(shù)學(xué)結(jié)合的思想推斷方程的根，難度較大，屬于中檔題．第II卷非選擇題部分二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為______；【答案】1【解析】【分析】由題意可得m2﹣3m+3＝1，求得m值，再滿意3m﹣4＜0即可．【詳解】∵函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4是冪函數(shù)，∴m2﹣3m+3＝1，即m2﹣3m+2＝0，解得m＝1或m＝2．又冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4在（0，+∞）上為減函數(shù)，∴3m﹣4＜0，即m，故m＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)，明確m2﹣3m+3＝1是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．14.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是____________；【答案】【解析】【分析】依據(jù)條件先把的系數(shù)化正，再求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可得到結(jié)論．【詳解】∵y＝sin（）＝﹣sin（），∴由2kπ2kπ，k∈Z．得4kπx≤4kπ，k∈Z．∴當(dāng)k＝0時(shí)，遞增區(qū)間為[，2π]，當(dāng)k取其它值時(shí)與區(qū)間[0，2π]無(wú)交集；即在[0，2π]內(nèi)的單調(diào)增區(qū)間是[，2π]．故答案為：[，2π]．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，要求嫻熟駕馭三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15.函數(shù)在是減函數(shù)，則的范圍是________；【答案】【解析】【分析】由題意利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)y＝﹣x2+ax+3在[1，2]是減函數(shù)且y＞0，故有，由此求得a的取值范圍．【詳解】∵函數(shù)f（x）＝log2（﹣x2+ax+3）在[1，2]是減函數(shù)，∴函數(shù)y＝﹣x2+ax+3在[1，2]是減函數(shù)且y＞0，∴，求得a≤2，故答案為：（，2]．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，留意保證真數(shù)大于0，屬于中檔題．16.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿意，當(dāng)時(shí)，

.若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】因，所以當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,所以當(dāng)時(shí)，的最小值是，又因?yàn)榇嬖?，使得不等式成立，等價(jià)于，則,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知集合，（1）求；（2）若，求的取值范圍．【答案】；【解析】【分析】（1）解不等式log2（x+1）＜2，求出集合A，解不等式，求出集合B，再求A∩B．（2）由B∩C＝B得出B?C，依據(jù)集合包含關(guān)系列出不等式組，解出a的取值范圍．【詳解】（1）∵log2（x+1）＜2，∴0＜x+1＜4，∴﹣1＜x＜3，∴集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，又∵，∴﹣1≤x＜2，∴集合B＝{x|﹣1≤x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}；（2）∵B∩C＝B，∴B?C，又∵集合B＝{x|﹣1≤x＜2}，集合C＝{x|2a﹣1＜x≤a+5}，∴，解得：﹣3≤a＜0，∴a的取值范圍為：[﹣3，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了集合的基本運(yùn)算，以及解對(duì)數(shù)不等式，指數(shù)不等式，留意端點(diǎn)的開閉，是基礎(chǔ)題．18.（1）已知，，求的值；（2）已知=2，求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）把已知等式兩邊平方，求得sinxcosx，進(jìn)一步求解sinx﹣cosx，與已知聯(lián)立求解sinx與cosx的值，則tanx的值可求；（2）干脆利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切求解．【詳解】（1）由①，兩邊平方，，故，，，所以②，由①②解得，所以（2）原式=【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是中檔題．19.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期、單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【答案】(1),增區(qū)間是，減區(qū)間是(2)，【解析】【分析】（1）依據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出f（x）的最小正周期和單調(diào)增、減區(qū)間；（2）求出x∈[，]時(shí)2x的取值范圍，從而求得f（x）的最大最小值．【詳解】（1）函數(shù)f（x）cos（2x）中，它的最小正周期為Tπ，令﹣π+2kπ≤2x2kπ，k∈Z，解得kπ≤xkπ，k∈Z，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ，kπ]，k∈Z；令2kπ≤2xπ+2kπ，k∈Z，解得kπ≤xkπ，k∈Z，所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ，kπ]，k∈Z；（2）x∈[，]時(shí)，2x≤π，所以2x；令2x，解得x，此時(shí)f（x）取得最小值為f（）（）＝﹣1；令2x0，解得x，此時(shí)f（x）取得最大值為f（）1．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，熟記單調(diào)區(qū)間是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．20.已知二次函數(shù)時(shí)，求函數(shù)最小值若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由函數(shù)f（x）對(duì)稱軸為x＝m，開口向上，然后對(duì)m進(jìn)行分類探討，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解，（2）由題意結(jié)合零點(diǎn)判定定理即可求解．【詳解】（1）函數(shù)對(duì)稱軸為,當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，故時(shí)，在先減后增，故時(shí)，在單調(diào)遞減，故（2）函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，得.考慮邊界狀況：由，得，，或，滿意由，得，∴或，綜上，得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值求解及函數(shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類探討思想的應(yīng)用．21.（1）推斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論？（2）求使不等式在上恒成立時(shí)的實(shí)數(shù)的取值范圍？【答案】(1)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）f（x）為對(duì)勾函數(shù)，分類探討證明單調(diào)性，（2）分別參數(shù)，利用（1）的結(jié)論求最值可求解【詳解】（1）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).證明：設(shè)隨意，則=又設(shè)，則故在上是減函數(shù)又設(shè)，則故在上是增函數(shù).（2）不等式在上恒成立在上恒成立在上恒成立由（1）中結(jié)論，可知函數(shù)在上的最大值為，此時(shí)要使原命題成立，當(dāng)且僅當(dāng)解得或?qū)崝?shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問(wèn)題的求解，分類探討以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，二次函數(shù)閉區(qū)間是的最值以及單調(diào)性的應(yīng)用．22.已知函數(shù)，.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)于恒成立，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）不存在實(shí)數(shù)，使得成立.【解析】【分析】（1）由可得，依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上的值域分別為，，存在，使得，等價(jià)于，依據(jù)單調(diào)性求出兩個(gè)函數(shù)的