江西省吉安一中北師大版高中數(shù)學選修2-1教案3.1橢圓（一）

3.1橢圓（一）1．1橢圓及其標準方程1．了解橢圓的實際背景，理解橢圓、焦點、焦距的定義．(重點)2．掌握、推導橢圓標準方程的過程．(難點)3．會求簡單的橢圓的標準方程．(易混點)知識點1.橢圓的定義平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2的等于常數(shù)(|)的點的集合叫作橢圓，這叫作橢圓的焦點，兩個焦點F1，F(xiàn)2間的叫作橢圓的焦距．2.橢圓的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖像焦點坐標a，b，c的關(guān)系考點一橢圓定義及應用例1.(1)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點A到焦點F的距離為2，B為AF的中點，O為坐標原點，則|OB|的值為()A．8B．4C．2D．eq\f(3,2)(2)平面內(nèi)一動點M到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)2a，則點M的軌跡為（）A．橢圓B．圓C．線段D．橢圓或線段或無軌跡(3)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的焦點，過F1的直線AB與橢圓交于A、B兩點，則△ABF2的周長為________．【名師指津】1．到兩定點的距離之和是常數(shù)且必須大于兩定點間的距離的點的軌跡是橢圓，此時這個常數(shù)為2a，兩定點的距離為22．由橢圓定義可知，橢圓上任一點到橢圓的兩個焦點距離之和為定值，所以橢圓定義有以下應用：(1)實現(xiàn)兩個焦點半徑之間的相互轉(zhuǎn)化；(2)將兩個焦點半徑之和看成一個整體，求解定值問題．考點二求橢圓的標準方程例2.寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點坐標為(－4,0)，(4,0)，并且過點(－eq\r(5)，eq\r(3))；(2)過點(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同的焦點．【名師指津】1．橢圓的標準方程在形式上可統(tǒng)一為Ax2＋By2＝1，其中A、B是不等的正常數(shù)．2．運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程的步驟：(1)定位：確定橢圓的焦點在x軸還是y軸上，從而設(shè)出相應的標準方程的形式．(2)定量：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、c的方程組，求出a2、b2，從而寫出橢圓的標準方程．練習1．(1)兩個焦點坐標分別是(0，－4)、(0,4)，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于20，求橢圓的方程．(2)兩個焦點坐標分別是(－2,0)，(2,0)且過eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，求橢圓的方程．考點三橢圓標準方程的簡單應用例3.(1)已知方程eq\f(x2,5－2m)＋eq\f(y2,|m|－1)＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍為________．(2)已知橢圓方程為kx2＋3y2－6k＝0，焦距為4，則k的值為________．【名師指津】1．判斷焦點所在坐標軸其依據(jù)是看x2項，y2項的分母哪個大，焦點在分母大的坐標軸上．2．對于方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0)，當m>n>0時，方程表示焦點在x軸上的橢圓；當n＞m＞0時，方程表示焦點在y軸上的橢圓．特別地，當n＝m＞0時，方程表示圓心在原點的圓．練習1.將本例(1)中的方程改為：“eq\f(x2,5－2m)＋eq\f(y2,m－1)＝1”其他不變．考點四與橢圓有關(guān)的軌跡問題例4.已知圓B：(x＋1)2＋y2＝16及點A(1,0)，C為圓B上任意一點，求AC的垂直平分線l與線段CB的交點P的軌跡方程．【名師指津】求解有關(guān)橢圓的軌跡問題，一般有如下兩種思路：(1)首先通過題干中給出的等量關(guān)系列出等式，然后化簡等式得到對應的軌跡方程；(2)首先分析幾何圖形所揭示的幾何關(guān)系，對比橢圓的定義，然后設(shè)出對應橢圓的標準方程，求出其中a，b的值，得到標準方程．練習1．已知B、C是兩個定點，|BC|＝10，且△ABC的周長等于24，求頂點A的軌跡方程．例5寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)a＋b＝8，c＝4；(2)經(jīng)過點A(eq\r(3)，－2)和點B(－2eq\r(3)，1)．例6.如圖所示，已知橢圓的方程為eq\f(x