第2章 圓與方程章末題型歸納總結(jié)（解析版）

第2章圓與方程章末題型歸納總結(jié)目錄模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求圓的方程經(jīng)典題型二：求軌跡方程經(jīng)典題型三：直線(xiàn)與圓位置關(guān)系經(jīng)典題型四：圓與圓的位置關(guān)系經(jīng)典題型五：弦長(zhǎng)、切線(xiàn)、切線(xiàn)長(zhǎng)、切點(diǎn)弦問(wèn)題經(jīng)典題型六：圓中范圍與最值問(wèn)題經(jīng)典題型七：面積問(wèn)題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類(lèi)討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求圓的方程例1．（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）若圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線(xiàn)：上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，可得線(xiàn)段的中點(diǎn)為，又，所以線(xiàn)段的中垂線(xiàn)的方程為，即，由，解得，即，圓的半徑，所以圓的方程為.故選：A.例2．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，則圓的方程為.【答案】【解析】設(shè)圓的方程為，令，，則由圓經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)可知方程與同解，所以，，所以圓的方程為，又因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以圓的方程為.故答案為：例3．（2023·安徽合肥·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線(xiàn)：上，則圓的方程為.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線(xiàn)的斜率，因此線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程是：，即．圓心的坐標(biāo)是方程組的解．解此方程組得：，所以圓心的坐標(biāo)是．圓的半徑長(zhǎng)，所以圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故答案為:例4．（2023·浙江·高二浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考期中）平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，的外接圓的方程為．【答案】【解析】四邊形的周長(zhǎng)為，只需求出的最小值時(shí)的值.由于，表示軸上的點(diǎn)與和距離之和，只需該距離和最小即可.可得該距離最小為和間距離，令,故,所以直線(xiàn)方程為，令，得，所以.由以上討論，得四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，，.設(shè)過(guò)三點(diǎn)的圓方程為.解得.故的外接圓的方程為.故答案為：例5．（2023·河南平頂山·高二汝州市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，則的外接圓的方程為．【答案】．【解析】因?yàn)?，所以，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，即線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，即，由，得，所以所求圓的圓心為，所以圓的半徑為，所以的外接圓的方程為，故答案為：例6．（2023·遼寧大連·高二大連八中?？计谥校按竽聼熤?，長(zhǎng)河落日?qǐng)A”體現(xiàn)了我國(guó)古代勞動(dòng)人民對(duì)于圓的認(rèn)知.已知，，則以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橐?、為直徑兩端點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即以為直徑的圓的方程為.故選：A例7．已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得圓心坐標(biāo)，半徑為，則圓的方程為，即為，故選：C.例8．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，則圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑為，關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，圓對(duì)稱(chēng)后只是圓心位置改變，圓的半徑不會(huì)變化，仍為，因此所求的圓的方程為.故選：D例9．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓的方程為，由題意知,圓過(guò)點(diǎn)，和，所以，解得，所以所求圓的方程為.故選：A例10．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知一個(gè)圓的方程滿(mǎn)足：圓心在點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)，則它的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓的半徑為，因?yàn)閳A心是，且過(guò)點(diǎn)，所以，所以半圓的方程為，故選：D.經(jīng)典題型二：求軌跡方程例11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知、兩定點(diǎn)．若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【解析】設(shè)，則，由，得，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．例12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，求點(diǎn)的軌跡方程．【解析】在上找一點(diǎn)，則，過(guò)作交于，此時(shí)滿(mǎn)足，如下圖，所以，令，則.例13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)又本€(xiàn)（其中且為變動(dòng)參數(shù)）和圓相交于、兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】由恒過(guò)，且與圓相交于、，而的圓心為，若的中點(diǎn)為，則，所以，易知：在以為直徑的圓上，且，所以弦的中點(diǎn)的軌跡方程且.例14．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）的頂點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別是，，頂點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，求的重心G的軌跡方程.【解析】設(shè)的重心G的坐標(biāo)是，點(diǎn)A的坐標(biāo)是.已知點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別是，，則的重心G的坐標(biāo)滿(mǎn)足，.因此有，.①因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程，即滿(mǎn)足方程.②將①代入②，得.即所求軌跡方程為.例15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）從定點(diǎn)向圓任意引一割線(xiàn)交圓于P，Q兩點(diǎn)，求弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】設(shè)所求軌跡上任一點(diǎn)，圓C的方程可化為則圓心坐標(biāo)為，，因?yàn)?，所以點(diǎn)M的軌跡是以AC為直徑的圓（在圓C內(nèi)部的部分），因?yàn)锳C的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)M的軌跡方程為（在圓C內(nèi)部的部分）．例16．（2023·高二單元測(cè)試）已知圓(1)若圓C的切線(xiàn)在x軸、y軸上的截距相等，求切線(xiàn)方程；(2)從圓C外一點(diǎn)向該圓引一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為M，且有為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的軌跡方程.【解析】（1）圓的圓心為，半徑為2，①設(shè)圓C的切線(xiàn)在x軸、y軸上的截距均為0，則切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)所求切線(xiàn)方程為，即則圓心到切線(xiàn)的距離為，解得，此時(shí)，所求切線(xiàn)的方程為；②若截距均不為0，設(shè)所求切線(xiàn)方程為，則圓心到切線(xiàn)的距離為，解得，此時(shí)，所求切線(xiàn)方程為或，綜上所述，所求切線(xiàn)方程為或或；（2）由題意可知，，則，由，得，化簡(jiǎn)得，所以，點(diǎn)P的軌跡方程為.例17．（2023·江蘇南通·高二金沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)和圓為圓上的動(dòng)點(diǎn).(1)求的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若，求線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，，整理得，點(diǎn)在圓上，，整理得點(diǎn)的軌跡方程為.（2）設(shè)的中點(diǎn)為，在中，，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接，則，，.故線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程為.例18．（2023·云南紅河·高二開(kāi)遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)且圓心C在直線(xiàn)上.(1)求圓C方程；(2)若E點(diǎn)為圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)，求線(xiàn)段EF的中點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知其圓心為，由題意可得，解得，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，由及M為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)得，解得，即，又因?yàn)辄c(diǎn)E在圓C：上，則，化簡(jiǎn)得：，故所求的軌跡方程為．例19．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓的圓心在軸上，并且過(guò)，兩點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】（1）由題意可知，的中點(diǎn)為，，所以的中垂線(xiàn)方程為，它與軸的交點(diǎn)為圓心，又半徑，所以圓的方程為；（2）設(shè)，，由，得，所以，又點(diǎn)在圓上，故，所以，化簡(jiǎn)得的軌跡方程為例20．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A(-1，0)與點(diǎn)B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A(yíng)，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)至D，使得|CD|=|BC|，求線(xiàn)段AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程.

【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，由題意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令動(dòng)點(diǎn)C(x0，y0)，則D(2x0-1，2y0)，由重心坐標(biāo)公式得，則代入，整理得故所求軌跡方程為.例21．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知線(xiàn)段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為，端點(diǎn)A在圓C：上運(yùn)動(dòng)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明它的軌跡是什么．【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，又，且P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，所以，則.因?yàn)辄c(diǎn)A在圓C：上運(yùn)動(dòng)，即有，代入可得，，整理可得，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得.所以，中點(diǎn)P的軌跡方程為，該軌跡為以為圓心，1為半徑的圓.例22．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓：．(1)求圓的圓心坐標(biāo)及半徑；(2)設(shè)直線(xiàn)：①求證：直線(xiàn)與圓恒相交；②若直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線(xiàn)．【解析】（1）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為2．（2）①證明：直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，即直線(xiàn)與圓恒相交．②設(shè)，其中，則，，由垂徑定理知，，所以，即，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，它表示以為圓心，以為半徑的圓（去除與軸的交點(diǎn)）．例23．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓.過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與圓相交于不同的兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，，其中點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，則，解得或，且，則可得，消去，可得，其中，當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為，符合，故線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為，其中.經(jīng)典題型三：直線(xiàn)與圓位置關(guān)系例24．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于曲線(xiàn)C：，下列說(shuō)法正確的是（

）A．曲線(xiàn)C可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．若，過(guò)原點(diǎn)與曲線(xiàn)C相切的直線(xiàn)有兩條C．若，曲線(xiàn)C表示兩條直線(xiàn)D．若，則直線(xiàn)被曲線(xiàn)C截得弦長(zhǎng)等于【答案】B【解析】A.將點(diǎn)代入方程得，即，方程無(wú)解，所以曲線(xiàn)C不可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故錯(cuò)誤；B.若，曲線(xiàn)C：表示以為圓心，以為半徑，又原點(diǎn)到圓心的距離為，且，所以原點(diǎn)在圓外，所以過(guò)原點(diǎn)與曲線(xiàn)C相切的直線(xiàn)有兩條，故正確；C.當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C：，則，解得，表示點(diǎn)，故錯(cuò)誤；D.當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C：，圓心在直線(xiàn)上，所以直線(xiàn)被曲線(xiàn)C截得弦長(zhǎng)為直徑，等于2，故錯(cuò)誤.故選：B例25．（2023·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎狝，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）是圓與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，則下列點(diǎn)M中，使得為鈍角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)锳，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）是圓與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，所以易得，，則，直線(xiàn)AB的方程為，顯然圓心在直線(xiàn)AB上，即弦AB為該圓的直徑，對(duì)于A(yíng)，，即在圓上，則為直角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，，，所以，，即為中的最大角，因?yàn)?，即在圓外，即為銳角，所以為銳角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，即在圓上，則為直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即在圓內(nèi)，則為鈍角三角形，故D正確．故選：D．例26．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考期中）直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．不能確定【答案】C【解析】將直線(xiàn)變形為，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，因?yàn)樗?，點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系為相交.故選：C例27．（2023·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械诙袑W(xué)校考期中）已知圓，直線(xiàn).下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線(xiàn)與圓可能相切B．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為C．直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)D．直線(xiàn)被圓截得弦長(zhǎng)存在最小值，此時(shí)直線(xiàn)的方程為【答案】D【解析】C選項(xiàng)：將直線(xiàn)的方程整理為，由，解得，則無(wú)論為何值，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；A選項(xiàng)：圓，圓心，，，即定點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線(xiàn)恒與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：令，則，解得，故圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：當(dāng)截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)垂直于圓心與定點(diǎn)的連線(xiàn)，則直線(xiàn)的斜率為，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，即，故D正確.故選：D.例28．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切C．相離 D．與的取值有關(guān)【答案】A【解析】∵直線(xiàn)的方程，整理得，令，解得，∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，∵圓的方程為，整理得，∴圓的圓心，半徑，∴圓心到定點(diǎn)的距離為：，∴點(diǎn)在圓的內(nèi)部，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是相交.故選：A.例29．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若圓C：上存在到的距離為1的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得圓心，半徑為，則到的距離，要使圓上存在到的距離為1的點(diǎn)，則，可得.故選：B例30．（2023·貴州黔東南·高二?？计谥校┤糁本€(xiàn)與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】由直線(xiàn)可得過(guò)定點(diǎn)，且直線(xiàn)斜率一定存在，若要使直線(xiàn)與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)或圓上，所以，解得或，故選：D例31．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，直線(xiàn)與圓相交，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圓，可知圓，∴，又∵直線(xiàn)，即，恒過(guò)定點(diǎn)，∴點(diǎn)在圓的內(nèi)部，∴，即，綜上，.故選：A.例32．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P，滿(mǎn)足圓上存在一點(diǎn)Q使得，則所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，，這種情況為臨界情況，當(dāng)P往外時(shí)無(wú)法找到點(diǎn)Q使，當(dāng)P往里時(shí)，可以找到Q使，故滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），如圖，由圓，可知圓心，半徑為1，則大圓的半徑為，∴所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為.故選：D.例33．（2023·四川廣安·高二四川省廣安代市中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，點(diǎn)，，因?yàn)?，所以點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到或時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)，剛好與圓相切，以為例，，故M在右邊或點(diǎn)左邊時(shí)，此時(shí)在圓上找點(diǎn)，當(dāng)與圓相切時(shí)，能使最大的位置，即，顯然，故不滿(mǎn)足題意，當(dāng)M在與之間時(shí)，此時(shí)最大角大于45°，故能在圓上找到點(diǎn)N，使得，故故選：B例34．（2023·貴州·高二校聯(lián)考期末）圓：與直線(xiàn)：的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．無(wú)法確定【答案】A【解析】由得，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，由得，圓心到直線(xiàn)的距離為：，故圓與直線(xiàn)相切，故選：A例35．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】因?yàn)榍€(xiàn)就是或，表示一條直線(xiàn)與一個(gè)圓，聯(lián)立，解得，即直線(xiàn)與直線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)；此時(shí)，沒(méi)有意義.聯(lián)立，解得或，所以直線(xiàn)與有兩個(gè)交點(diǎn).所以直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：B例36．（2023·高二單元測(cè)試）若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則的取值不可能是（

）A．-2 B．0C．1 D．3【答案】D【解析】圓的方程可化為，則圓心為，半徑為，要使條件成立，設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，則只需要，即，所以的取值不可能是3.故選：D.例37．（2023·遼寧營(yíng)口·高二?？茧A段練習(xí)）已知曲線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】曲線(xiàn)整理得，則該曲線(xiàn)表示圓心為，半徑為1的圓的上半部分，直線(xiàn)，即，則令，解得，則其過(guò)定點(diǎn)，如圖，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由，得或，所以，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C．經(jīng)典題型四：圓與圓的位置關(guān)系例38．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知圓，圓，則下列不是，兩圓公切線(xiàn)的直線(xiàn)方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為如圖所示，兩圓相離，有四條公切線(xiàn).兩圓心坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則有兩條切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)切線(xiàn)，則圓心到直線(xiàn)的距離，解得或，當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)方程為，A正確；當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)方程為，即，B正確；另兩條切線(xiàn)與直線(xiàn)平行且相距為1，又由，設(shè)切線(xiàn)，則，解得，即切線(xiàn)方程分別為，；整理可得兩切線(xiàn)方程為和，所以C正確，D不正確.故選：D.例39．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，并且點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是2，這樣的直線(xiàn)有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】由已知可得，圓心，半徑.由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是2，所以直線(xiàn)是以為圓心，為半徑的圓的切線(xiàn)，又直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，所以，直線(xiàn)是圓與圓的公切線(xiàn).因?yàn)?，所以，兩圓外離，所以?xún)蓤A的公切線(xiàn)有4條，即滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有4條.故選：D.例40．（2023·四川南充·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，若點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離為1，點(diǎn)B到直線(xiàn)l的距離為4，則滿(mǎn)足條件的有（

）條A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離為1，所以直線(xiàn)l為以為圓心，為半徑的圓的切線(xiàn)，同理直線(xiàn)l還是以為圓心，為半徑的圓的切線(xiàn)，即直線(xiàn)l為圓與圓的公切線(xiàn)，由題意，滿(mǎn)足點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，點(diǎn)到直線(xiàn)距離為的直線(xiàn)的條數(shù)即為圓與圓的公切線(xiàn)條數(shù)，因?yàn)?，所以?xún)蓤A外切，所以?xún)蓤A的公切線(xiàn)有3條，即滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有3條.故選：C.例41．（2023·山西朔州·高二?？茧A段練習(xí)）圓，圓，則兩圓的公切線(xiàn)有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【解析】圓，圓心為，半徑.圓，圓心為，半徑.注意到圓心距，則兩圓相內(nèi)切，故公切線(xiàn)條數(shù)為1.故選：B例42．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）圓和圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．內(nèi)含【答案】A【解析】方程可化為，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，方程可化為，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，所以?xún)蓤A的圓心距為，又，所以圓與圓相交.故選：A.例43．（2023·山西·高二山西大附中校考期中）以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)B．兩圓與的公共弦所在的直線(xiàn)方程為C．已知圓：，為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引條切線(xiàn)，其中A為切點(diǎn)，則的最小值為D．圓：與圓：恰有三條公切線(xiàn)【答案】D【解析】選項(xiàng)A，不可能恒成立，因此直線(xiàn)不恒過(guò)點(diǎn)，A錯(cuò)；選項(xiàng)B，兩圓方程相減并整理得，因此它們的公共弦所在直線(xiàn)方程不可能是，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，，圓半徑為，，而，所以，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，兩圓標(biāo)準(zhǔn)方程分別為，，，，，，，而，兩圓外切，它們有三條公切線(xiàn)，D正確．故選：D．例44．（2023·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓A：與圓B：，則兩圓的公切線(xiàn)的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】∵圓A：圓心，半徑為1，圓B：圓心，半徑為4，，∴兩圓外切，故兩圓的公切線(xiàn)有3條.故選：D.例45．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，圓與圓相交，且公共弦所在直線(xiàn)方程為.又圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線(xiàn)的距離為，由弦長(zhǎng)公式得.故選：B.例46．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓：與圓：相內(nèi)切，則與的公切線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圓：的圓心，圓：可化為，，則其圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與圓相內(nèi)切，所以，即，故.由，可得，即與的公切線(xiàn)方程為.故選：D例47．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓與圓相交所得的公共弦長(zhǎng)為，則圓的半徑（

）A． B． C．或1 D．【答案】D【解析】與兩式相減得，即公共弦所在直線(xiàn)方程.圓方程可化為，可得圓心，半徑.則圓心到的距離為，半弦長(zhǎng)為，則有，解得或（舍），此時(shí)故選：.經(jīng)典題型五：弦長(zhǎng)、切線(xiàn)、切線(xiàn)長(zhǎng)、切點(diǎn)弦問(wèn)題例48．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為．則直線(xiàn)的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓的圓心為，半徑為2，以、為直徑,則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，以為圓心，為直徑的圓的方程為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)圓的兩條切線(xiàn)切點(diǎn)分別為A，B，所以是兩圓的公共弦，將兩圓的方程相減可得公共弦所在直線(xiàn)的方程為：.故選：A．例49．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知過(guò)圓外一點(diǎn)做圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為兩點(diǎn)，求所在的直線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意得所在的直線(xiàn)為圓和以的中點(diǎn)為圓心,以為直徑的圓的公共弦所在的直線(xiàn)方程，因?yàn)椋詧A，兩圓相減得所在的直線(xiàn)方程為.故選：A.例50．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)M，N是銳角∠AQB的一邊QA上的兩點(diǎn)，試在QB邊上找一點(diǎn)P，使得∠MPN最大．”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)P為過(guò)M，N兩點(diǎn)且和射線(xiàn)QB相切的圓與射線(xiàn)QB的切點(diǎn)．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，，點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)∠MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是（

）A．1 B．－7 C．1或－7 D．2或－7【答案】A【解析】，則線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，易知，則經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓的圓心在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，設(shè)圓心為，則圓的方程為，當(dāng)取最大值時(shí)，圓必與軸相切于點(diǎn)（由題中結(jié)論得），則此時(shí)P的坐標(biāo)為，代入圓的方程得，解得或，即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為和，因?yàn)閷?duì)于定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，又過(guò)點(diǎn)M，N，的圓的半徑大于過(guò)點(diǎn)M，N，P的圓的半徑，所以，故點(diǎn)為所求，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故選：A例51．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．或【答案】C【解析】將點(diǎn)代入中，成立，即點(diǎn)在圓上，圓心和連線(xiàn)的斜率為，故過(guò)圓上點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率為，則切線(xiàn)方程為，即，故選：C例52．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓為圓O上位于第一象限的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓O的切線(xiàn)l．當(dāng)l的橫縱截距相等時(shí)，l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，點(diǎn)在第一象限，故過(guò)點(diǎn)M的的切線(xiàn)l斜率存在；點(diǎn)在圓上，故，即故直線(xiàn)l的方程為：令令當(dāng)l的橫縱截距相等時(shí)，又解得：即，即故選：A例53．已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則,故直線(xiàn)的方程為，即.故選：A.例54．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線(xiàn)的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓可化為，則圓心，半徑為；設(shè)，切線(xiàn)為、，則，中，，所以．故選：C．例55．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)向圓O：作兩條切線(xiàn)，設(shè)兩切線(xiàn)所成的最大角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圓，可得圓心為，半徑為，設(shè)是直線(xiàn)的動(dòng)點(diǎn)，自向圓作切線(xiàn)，當(dāng)長(zhǎng)最短時(shí)，兩切線(xiàn)所成的角最大，即是圓心到直線(xiàn)的距離時(shí)，兩切線(xiàn)所成的角最大，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，，，，．故選：C．例56．（2023·江蘇·高二南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，當(dāng)直線(xiàn)與平行時(shí)，（

）A． B． C． D．4【答案】C【解析】連接，由切圓于知，，因?yàn)橹本€(xiàn)與平行，則，，而圓半徑為，于是，由四邊形面積，得，所以.故選：C例57．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線(xiàn)的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】方法一：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，因?yàn)?，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，連接，可得，則，因?yàn)榍遥瑒t，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線(xiàn)斜率不存在，則切線(xiàn)方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線(xiàn)斜率存在，設(shè)切線(xiàn)方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線(xiàn)斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.例58．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，直線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】圓：中，圓心，半徑設(shè)，則，則,當(dāng)時(shí)，，故選：C例59．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，則直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，連接，，根據(jù)題意，設(shè)為直線(xiàn)上的一點(diǎn)，則，由于為圓的切線(xiàn)，則有，，則點(diǎn)、在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為,，半徑，則其方程為，變形可得，聯(lián)立可得直線(xiàn)AB：，又由，則有AB：，變形可得，則有，解可得，故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).故選：B.例60．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，直線(xiàn)的方程為，若在直線(xiàn)上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為點(diǎn)，使得為直角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】連接，如圖，則由圓的對(duì)稱(chēng)性及切線(xiàn)的性質(zhì)，可得四邊形為正方形，又，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離必須小于或等于，即，所以，故選：D.例61．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓，直線(xiàn)則直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為（

）A．5 B．4 C．10 D．2【答案】C【解析】由，，即過(guò)定點(diǎn)，由得，半徑，則當(dāng)時(shí)，C到的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)被圓截得的弦長(zhǎng)最小，最小值為.故選：C例62．（2023·廣西南寧·高二南寧三中?？计谀┮阎獔A：，直線(xiàn)：，直線(xiàn)與圓交于、，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】直線(xiàn)：變形為，令和，解得，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在圓內(nèi)部，當(dāng)垂直于時(shí)，最短，此時(shí)所以,由于，故時(shí)，此時(shí)最大，且最大值為故選：B例63．（2023·湖北隨州·高二隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校考期末）若直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，劣弧的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，直線(xiàn)可化為，當(dāng)且，即且時(shí)，等式恒成立，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，由圓的方程知，圓心為，半徑，當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，取得最小值，且最小值為，如圖，此時(shí)弦長(zhǎng)對(duì)的圓心角一半的正切值為，故圓心角為，所以劣弧長(zhǎng)為.故選：B.例64．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閳A的圓心為，半徑r=2，因?yàn)榈街本€(xiàn)的距離，所以.故選：B.例65．（2023·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）當(dāng)圓截直線(xiàn)所得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將直線(xiàn)的方程變形為，由可得，所以，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，因?yàn)?，即點(diǎn)在圓內(nèi)，故當(dāng)時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離取最大值，此時(shí)，直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)最短，，直線(xiàn)的斜率為，所以，，解得.故選：B.例66．（2023·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）直線(xiàn)與圓相交于P，Q兩點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C．[－1，1] D．[－，3]【答案】C【解析】若，則圓心到直線(xiàn)的距離,即，解得，故選：C.例67．（2023·高二單元測(cè)試）設(shè)，均為正實(shí)數(shù)，若直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑為，由題意可知，圓心到直線(xiàn)的距離為，兩邊平方并整理，得，由基本不等式可知，，即，解得或，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，于是有或,的取值范圍是.故選：C.例68．（2023·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若，則t的值有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)為以為圓心，為半徑的圓的一部分，圓心到直線(xiàn)的距離，由得，解得或，此時(shí)直線(xiàn)l為圖中兩條直線(xiàn).當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)為以為圓心，為半徑的圓的一部分,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得直線(xiàn)l為圖中直線(xiàn).故t的值有3個(gè)，故選：C．經(jīng)典題型六：圓中范圍與最值問(wèn)題例69．（多選題）（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足條件，則下列判斷正確的是（

）A．的范圍是 B．的范圍是C．的最大值為1 D．的范圍是【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A、B、C利用基本不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可，對(duì)于選項(xiàng)D，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷求解對(duì)于A(yíng)，，故，化簡(jiǎn)得，，所以，，A錯(cuò)對(duì)于B，，又因?yàn)閷?shí)數(shù)、滿(mǎn)足條件，故，所以，，B對(duì)對(duì)于C，由于，所以，，故，化簡(jiǎn)得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，C錯(cuò)對(duì)于D，即求該斜率的取值范圍，明顯地，當(dāng)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，即時(shí)，直線(xiàn)與圓相切，當(dāng)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，令，則可看作圓上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率，可設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)為：，該直線(xiàn)與圓相切，圓心到直線(xiàn)的距離設(shè)為，可求得，化簡(jiǎn)得，故，故D對(duì)故選：BD例70．（2023·河南三門(mén)峽·高二統(tǒng)考期末）過(guò)作圓與圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，若，則的最小值為．【答案】/【解析】圓，顯然，半徑為1，圓，顯然，半徑為2，因?yàn)槭欠謩e是圓，圓的切線(xiàn)，所以，因?yàn)?，所以有，即，化?jiǎn)，得代入中，得，所以當(dāng)時(shí)，的最小值，故答案為：例71．（2023·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）圓上點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值是．【答案】1【解析】由題意圓心為，半徑為1，圓心到已知直線(xiàn)的距離為，所以所求距離最小值為．故答案為：1.例72．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知點(diǎn)與圓，P是圓C上任意一點(diǎn)，則的最小值是．【答案】5【解析】圓的圓心為，半徑，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，所以的最小值為，故答案為：5例73．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)在動(dòng)直線(xiàn)上的投影為點(diǎn)M，若點(diǎn)，那么的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，且，所以的軌跡是以為直徑的圓，且圓心為，半徑，所以，故答案為：.例74．（2023·上海浦東新·高二校考期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，、，點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，由可得，整理可得，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，記圓心為，當(dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段與圓的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，此時(shí)，，所以，.故答案為：.例75．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)、為正數(shù)，若直線(xiàn)被圓截得弦長(zhǎng)為，則的最小值為.【答案】【解析】由可得，故圓的直徑是，所以直線(xiàn)過(guò)圓心，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.故答案為：.例76．（2023·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的最小值為.【答案】0【解析】由可得圓心為，半徑為，設(shè)，即，依題意得，解得，所以的最小值為.故答案為：.例77．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在圓上，若點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】設(shè)，不妨取，使得，所以，整理得：.此方程與為同一方程，所以，解得：，即.所以（當(dāng)且僅當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立）此時(shí).所以的最小值為.故答案為：.例78．（2023·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）若直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，令，所以，故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)?，故點(diǎn)在圓內(nèi)，設(shè)圓心為，半徑為，當(dāng)時(shí)，取得最小，因?yàn)?，所以，故答案為：?9．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，且與直線(xiàn)交于點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【解析】由題意可知，的最小值即為圓上一點(diǎn)到直線(xiàn)與圓交點(diǎn)的最小距離，圓心，半徑，圓心到直線(xiàn)的距離為，由題意可知．故答案為：.例80．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程，則（1）的最大值和最小值分別為和；（2）y－x的最大值和最小值分別為和；（3）的最大值和最小值分別為和．【答案】////【解析】原方程可化為，表示以（2，0）為圓心，為半徑的圓．（1）的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，所以設(shè)＝k，即y＝kx，當(dāng)直線(xiàn)y＝kx與圓相切時(shí)（如圖），斜率k取最大值或最小值，此時(shí)，解得k＝±.所以的最大值為，最小值為－.（2）y－x可看作是直線(xiàn)y＝x＋b在y軸上的截距．如圖所示，當(dāng)直線(xiàn)y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)，解得b＝－2±，所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.（3）表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方．由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線(xiàn)與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以的最大值是，的最小值是.故答案為：（1）；（2）；（3）；.例81．（2023·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？计谥校┮阎本€(xiàn)與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則的最大值為.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，斜率直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，斜率，由，可得兩直線(xiàn)垂直；當(dāng)時(shí)直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直.綜上，直線(xiàn)與直線(xiàn)總垂直.則點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓心，半徑為，圓的圓心，半徑為1，則點(diǎn)M到圓心的距離的最大值為，則故答案為：7例82．（2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓：，為圓上任一點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【解析】設(shè)，則，即直線(xiàn)方程為，因?yàn)闉閳A上任一點(diǎn)，則圓心到直線(xiàn)的距離，即，解得，所以的最大值為，故答案為：.例83．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，，滿(mǎn)足，，，則的最大值是．【答案】/【解析】由，可知，點(diǎn)，分別在圓和圓上，如圖，作直線(xiàn)，過(guò)作于，過(guò)A作于，而，其中表示A到直線(xiàn)的距離，表示到直線(xiàn)的距離，因?yàn)榕c，平行，且與的距離為，與的距離為，要使的取最大值，則需在直線(xiàn)的左下角這一側(cè)，所以，，由得，設(shè)，因?yàn)?，所以，從而，故，其中，故?dāng)時(shí)，取最大值，從而，即的最大值為．故答案為：．經(jīng)典題型七：面積問(wèn)題例84．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）直線(xiàn)分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍．【答案】【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，所以，，因此．因?yàn)閳A的圓心為，半徑，設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，則，因此直線(xiàn)與圓相離．又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為，最大值為，即，又因?yàn)槊娣e為，所以面積的取值范圍為．故答案為：例85．（2023·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）以原點(diǎn)O為圓心作單位圓O，直線(xiàn)l與直線(xiàn)平行，且過(guò)點(diǎn)，P為直線(xiàn)l上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)與圓O相切于點(diǎn)B，則面積的最小值為．【答案】/【解析】由題知，圓的圓心為，半徑為．設(shè)直線(xiàn)，將點(diǎn)代入，得，所以直線(xiàn)，所以點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為，所以.因?yàn)椋?，所以的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最小值為．故答案為：.例86．（2023·全國(guó)·高二期中）曲線(xiàn)圍成的圖形的面積是.【答案】/【解析】將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線(xiàn)關(guān)于軸，軸對(duì)稱(chēng)，因此只需求出第一象限的面積即可，當(dāng)，時(shí)，曲線(xiàn)方程為，表示的圖形占整個(gè)圖形的，而表示的圖形為一個(gè)腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和半徑為的一個(gè)半圓，∴，故圍成的圖形的面積為：.故答案為：.例87．（2023·廣東揭陽(yáng)·高二?？计谥校┮阎本€(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑作圓，該圓的面積的取值范圍為.【答案】【解析】直線(xiàn)可化為，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，圓可化為，圓心，半徑，設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，則，所以當(dāng)，即直線(xiàn)過(guò)圓心時(shí)，最大，則，所求圓面積最大，為，當(dāng)最大時(shí)，即直線(xiàn)與垂直時(shí)最小，則,所求圓面積最小，為，所求圓面積取值范圍為，故答案為：.例88．（2023·安徽蕪湖·高二安徽省無(wú)為襄安中學(xué)校考期中）在中，為的角平分線(xiàn)，D在上，且，則面積的最大值為．【答案】3【解析】因?yàn)闉榈慕瞧椒志€(xiàn)，且，，由角平分線(xiàn)定理得：，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則點(diǎn)B的軌跡方程為，整理得，所以B的軌跡是半徑為2的圓，當(dāng)邊的高等于半徑時(shí)，面積取最大值，．故答案為：3．例89．（2023·河北唐山·高二統(tǒng)考期末）已知圓：，圓：，過(guò)圓上的任意一點(diǎn)P作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，B，則四邊形面積的最大值為.【答案】【解析】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，四邊形面積，∵，∴四邊形面積的最大值為.故答案為：.例90．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知圓，點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為、，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，．【答案】【解析】如圖所示：由圓的幾何性質(zhì)可得，，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得，又因?yàn)?，，所以，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以，，當(dāng)與直線(xiàn)垂直時(shí)，取最小值，且，所以，，所以，，此時(shí)，因此，.故答案為：.例91．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓的方程為，設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，求四邊形ABCD的面積．【解析】設(shè)圓圓心為M，由題可得圓心坐標(biāo)是，半徑是5，圓心到點(diǎn)的距離為1．所以點(diǎn)在圓內(nèi)，最長(zhǎng)弦為圓的直徑，由垂徑定理得：最短弦BD和最長(zhǎng)弦（即圓的直徑）AC垂直，故最短弦的長(zhǎng)為，最長(zhǎng)弦即直徑，即，所以四邊形的面積為．例92．（2023·安徽阜陽(yáng)·高二安徽省阜南實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知圓方程：，圓相交點(diǎn)A、B．(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B的直線(xiàn)方程.(2)求的面積.【解析】（1）圓：的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，顯然，且有，則圓與圓相交，由消去二次項(xiàng)得，所以直線(xiàn)的方程為.（2）由（1）知，點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離，于是，所以的面積.例93．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，，是圓的兩條切線(xiàn)，，是切點(diǎn)．求四邊形面積的最小值.【解析】圓即圓，所以圓心，半徑，連接，由點(diǎn)在直線(xiàn)上，可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，因?yàn)?，所以?dāng)最小時(shí)，取最小值．因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，．所以，即四邊形面積的最小值為．例94．（2023·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)．求：(1)直線(xiàn)的方程；(2)的面積．【解析】（1）圓，可知圓的圓心又,，直線(xiàn)的方程為：．（2）設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，又因?yàn)樗?，．模塊三：數(shù)學(xué)思想方法① 分類(lèi)討論思想例95．圓M：與兩個(gè)坐標(biāo)軸共有3個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值是（

）A．1或2 B．1或4 C．0或4 D．0或1【答案】D

【解析】由條件得，圓M與x軸相切同時(shí)與y軸相交，圓M與y軸相切同時(shí)與x軸相交，或者圓M與x軸y軸相交且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，圓M：，圓心若圓M與x軸相切，則圓的半徑為2，當(dāng)圓的半徑為2時(shí)，，，此時(shí)圓M：與x軸相切，與y軸兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；若圓M與y軸相切，則圓的半徑為1，當(dāng)圓的半徑為1時(shí)，，，此時(shí)圓M：與y軸相切，與x軸無(wú)交點(diǎn)，不合題意，若圓M與x軸y軸相交且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)，圓M：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．綜上，實(shí)數(shù)m的值為0或故選例96．過(guò)點(diǎn)作與圓相切的直線(xiàn)l，則直線(xiàn)l的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C

【解析】圓的圓心為，半徑r為1，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)到圓心的距離為1，與圓相切成立；當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，由直線(xiàn)和圓相切的條件：，可得，解得，則直線(xiàn)l的方程為，綜上可得，直線(xiàn)l的方程為或，故選例97．直線(xiàn)與曲線(xiàn)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B

【解析】曲線(xiàn)表示圓在x軸的上半部分包含x軸上的點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上時(shí)，，要使直線(xiàn)與曲線(xiàn)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)m取值范圍為故選：例98．一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，被圓截得的弦長(zhǎng)等于8，這條直線(xiàn)的方程為（

）A．或B．或C．D．或【答案】D

【解析】由圓的方程，得到圓心坐標(biāo)為，半徑，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為8，弦心距，若此弦所在的直線(xiàn)方程斜率不存在時(shí)，顯然滿(mǎn)足題意；若此弦所在的直線(xiàn)方程斜率存在，設(shè)斜率為k，所求直線(xiàn)的方程為，圓心到所設(shè)直線(xiàn)的距離，解得：，此時(shí)所求方程為，即，綜上，此弦所在直線(xiàn)的方程為或故選例99．由曲線(xiàn)圍成的曲線(xiàn)面積是（

）A． B． C． D．【答案】D