第4章 數(shù)列 章末題型歸納總結(jié)（原卷版）

第4章數(shù)列章末題型歸納總結(jié)目錄模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：等差與等比數(shù)列的基本運算經(jīng)典題型二：等差、等比數(shù)列的判定經(jīng)典題型三：求數(shù)列的通項公式經(jīng)典題型四：數(shù)列求和經(jīng)典題型五：數(shù)列的性質(zhì)經(jīng)典題型六：數(shù)學(xué)歸納法模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：等差與等比數(shù)列的基本運算例1．（2023·云南紅河·高二開遠市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）記是等差數(shù)列的前n項和，若，，則（

）A．16 B．8 C．4 D．2例2．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，，則（

）A．0 B．-2 C．-4 D．-6例3．（2023·西藏拉薩·高二?？计谥校┮阎堑炔顢?shù)列，，則等于（

）A．48 B．40 C．60 D．72例4．（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，，，的前n項和為，則使得取得最大值的n的值為（

）A．18 B．19 C．20 D．21例5．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）設(shè)數(shù)列，是項數(shù)相同的等差數(shù)列，若，，，則數(shù)列的第37項為（

）A．1 B．0 C．100 D．3700例6．（2023·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列共有21項，若奇數(shù)項的和為110，則偶數(shù)項的和為（

）A．100 B．105 C．90 D．95例7．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A． B． C． D．例8．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知3，，27三個數(shù)成等比數(shù)列，則（

）A．9 B．-9 C．9或-9 D．0例9．（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項和為45，前2n項和為60，則其前3n項和為（

）A．65 B．80 C．90 D．105例10．（2023·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項和為．若，則等于（

）A． B．C． D．例11．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）某超市去年的銷售額為a萬元，計劃在今后10年內(nèi)每年比上一年增加10%．從今年起10年內(nèi)這家超市的總銷售額為（

）萬元．A． B． C． D．例12．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．32 D．64例13．（2023·江蘇蘇州·高二南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，時，，則數(shù)列的通項公式為（）A． B． C． D．例14．（2023·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．8 B．6 C．4 D．2經(jīng)典題型二：等差、等比數(shù)列的判定例15．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且.(1)求；(2)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求.例16．（2023·江蘇連云港·高二贛榆一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.例17．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足:.(1)證明:是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項和.例18．（2023·全國·高二課堂例題）已知，是項數(shù)相同的數(shù)列．(1)若數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列是公比為q的正項等比數(shù)列，數(shù)列滿足，證明數(shù)列是等差數(shù)列．例19．（2023·全國·高二課堂例題）已知數(shù)列中，在時恒成立，求證：是等差數(shù)列．例20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中4，，．求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；例21．（2023·廣東深圳·高二深圳市耀華實驗學(xué)校校考階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，，m為常數(shù).(1)求證：是等差數(shù)列；(2)若對任意，都有，求實數(shù)m的取值范圍.例22．（2023·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)校考期末）已知數(shù)列中，，當(dāng)時，記，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式(2)求數(shù)列的前項和．例23．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？计谥校┰O(shè)數(shù)列的前n項和為，若．(1)求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．例24．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足：，，設(shè)．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)求數(shù)列的前項和．例25．（2023·江蘇蘇州·高二常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的前三項的值；(2)是否存在一個實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(3)在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：．例26．（2023·四川巴中·高二四川省通江中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的首項，且滿足，若.(1)求證為等比數(shù)列；(2)在數(shù)列中，，對任意的，，都有，求數(shù)列的前項和.例27．（2023·全國·高二課堂例題）已知數(shù)列的首項．(1)若為等差數(shù)列，公差，證明數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若為等比數(shù)列，公比，證明數(shù)列為等差數(shù)列．例28．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）在數(shù)列中，，.(1)證明：為等比數(shù)列.(2)設(shè)，若是遞增數(shù)列，求的取值范圍.經(jīng)典題型三：求數(shù)列的通項公式例29．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？计谀┮阎獢?shù)列，則數(shù)列的通項公式．例30．（2023·上海普陀·高二上海市晉元高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，的通項公式為.例31．（2023·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和（為正整數(shù)），則此數(shù)列的通項公式.例32．（2023·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，若，，則的通項公式為.例33．（2023·福建漳州·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則．例34．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則．例35．（2023·浙江嘉興·高二浙江省海鹽高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式.例36．（2023·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）若數(shù)列的前n項和，則數(shù)列的通項公式.例37．（2023·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)校考階段練習(xí)）記為數(shù)列的前項和，且，則.例38．（2023·河南周口·高二統(tǒng)考期中）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式為．例39．（2023·山東淄博·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為例40．（2023·甘肅·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列滿足，，設(shè).(1)求；(2)求的通項公式.例41．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式，且首項，求數(shù)列的通項公式．例42．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：求通項.例43．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．求數(shù)列的通項公式．例44．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知：，時，，求的通項公式．例45．（2023·北京海淀·高二人大附中期末）求下列數(shù)列的通項公式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；例46．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．例47．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，求的通項公式．例48．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．例49．（2023·江西宜春·高二上高中學(xué)?？计谥校┰O(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，滿足，且成等差數(shù)列．(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項公式．例50．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知，求的通項公式．經(jīng)典題型四：數(shù)列求和例51．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且.(1)求與；(2)記，求數(shù)列的前n項和.例52．（2023·新疆烏魯木齊·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，.(1)求與的通項公式；(2)設(shè)，求的前項和.例53．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的首項，，，成等比數(shù)列；(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．例54．（2023·上海虹口·高二上外附中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列中，，且對任意正整數(shù)m，數(shù)列，，是公差為的等差數(shù)列.(1)依次求，，，的值；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)記（n為正整數(shù)），求數(shù)列的前n項和.例55．（2023·江蘇蘇州·高二星海實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為且成等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.例56．（2023·甘肅慶陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項和.例57．（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)校考階段練習(xí)）若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，，且．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．例58．（2023·福建漳州·高二?？计谥校┰O(shè)數(shù)列的各項都為正數(shù)，且．(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．例59．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項且滿足．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)數(shù)列滿足，，記，求數(shù)列的前n項和．例60．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）（1）求數(shù)列，，，…的前項的和；（2）求數(shù)列5，55，555，…的前項的和．例61．（2023·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）遞增的等差數(shù)列中的前n項和為，且成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前40項的和.經(jīng)典題型五：數(shù)列的性質(zhì)例62．（2023·福建寧德·高二福鼎市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和有最小值，且，則使成立的正整數(shù)的最小值為（

）A．2022 B．2023 C．4043 D．4044例63．（2023·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，則取最小值時，（

）A．3 B．4 C．5 D．6例64．（2023·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為有最小值，且，則使成立的正整數(shù)n的最小值為（

）A．9 B．10 C．17 D．18例65．（2023·安徽池州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)為實數(shù)，首項為、公差為的等差數(shù)列的前項和為，且滿足：，的最小值為（

）A．6 B．8 C．9 D．10例66．（2023·河南南陽·高二唐河縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列{an}中，已知，，則的前n項和的最小值為（

）A．S4 B．S5 C．S6 D．S7例67．（2023·江蘇南通·高二期末）等比數(shù)列中，，數(shù)列，的前n項和為，則滿足的n的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9例68．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谀┰O(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．沒有最大值例69．（2023·福建龍巖·高二福建省永定第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，是其前項和，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最大值為或例70．（2023·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)校考期末）已知數(shù)列的通項公式為，那么當(dāng)數(shù)列的前項和取得最大值時，的值為（

）A．30 B．31 C．32 D．33例71．（2023·江西·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列的前項和，則取最大值時的值為（

）A． B．2 C． D．4例72．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，若的最大值僅為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例73．（2023·河南鄭州·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，且對任意的都有，那么實數(shù)的值范圍是（

）A． B． C． D．例74．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列中首項為，公差為d，且從第5項開始是正數(shù)，則公差d的范圍是A． B． C． D．例75．（2023·高二課時練習(xí)）在中，A、B、C分別為a、b、c所對的角，若a、b、c成等差數(shù)列，則B的范圍是()A． B． C． D．經(jīng)典題型六：數(shù)學(xué)歸納法例76．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足：，，求證：．例77．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，數(shù)列滿足，，求證：，且．例78．（2023·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列，滿足，，，.(1)設(shè)數(shù)列滿足，求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求證：.例79．（2023·高二課時練習(xí)）當(dāng)時，求證：.例80．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，且數(shù)列的前n項和為，求證：當(dāng)時，．例81．（2023·全國·高三專題練習(xí)）f（n）定義在正整數(shù)集合上，且滿足f（1）=2，f（n+1）=（f（n））2－f（n）+1，n=1，2，3，…．求證；對所有整數(shù)n>1，1－＜例82．在用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第（1）步驗算n＝n0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值．第（2）步，證明n＝k＋1時命題也成立的過程，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.例83．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，對于,,，…，定義，求證：對于，有．例84．（2023·高二課時練習(xí)）求證：對任何正整數(shù)n，數(shù)都能被8整除模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想例85．（2023·福建省漳州市·月考試卷）若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．例86．（2023·安徽省滁州市·單元測試）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號．設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．已知數(shù)列滿足，且，若，數(shù)列的前n項和為，則（

）A．4956 B．4959 C．4962 D．4965例87．（2023·天津市市轄區(qū)·模擬題）等比數(shù)列的公比為q，前n項和為設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件例88．（2023·全國·同步練習(xí)）已知數(shù)列滿足，下面說法正確的是（

）

①當(dāng)時，數(shù)列為遞減數(shù)列；

②當(dāng)時，數(shù)列不一定有最大項；

③當(dāng)時，數(shù)列為遞減數(shù)列；

④當(dāng)為正整數(shù)時，數(shù)列必有兩項相等的最大項．A． B． C． D．例89．（2023·上海市市轄區(qū)·模擬題）設(shè)數(shù)列，若存在常數(shù)t，對任意小的正數(shù)s，總存在正整數(shù)，當(dāng)時，，則數(shù)列為收斂數(shù)列．下列關(guān)于收斂數(shù)列說法正確的是（

）A．若等比數(shù)列是收斂數(shù)列，則公比B．等差數(shù)列不可能是收斂數(shù)列C．設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，則數(shù)列一定是收斂數(shù)列D．設(shè)數(shù)列的前n項和為，滿足，，則數(shù)列是收斂數(shù)列例90．己知正項數(shù)列滿足，則下列正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．②轉(zhuǎn)化與化歸思想例91．（2023·浙江省紹興市·月考試卷）已知數(shù)列，，下列說法正確的是．（

）A．對任意的，存在，使數(shù)列是遞增數(shù)列；B．對任意的，存在，使數(shù)列不單調(diào)；C．對任意的，存在，使數(shù)列具有周期性；D．對任意的，當(dāng)時，存在例92．（2023·湖北省襄陽市·單元測試）已知數(shù)列滿足，，若存在實數(shù)t，使單調(diào)遞增，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．例93．已知在數(shù)列中，，，若是等比數(shù)列，不等式對一切恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．例94．（2023·江西省萍鄉(xiāng)市·單元測試）斐波那契數(shù)列是數(shù)學(xué)史上一個著名數(shù)列，它是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖時發(fā)現(xiàn)的，若數(shù)列滿足，，，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，該數(shù)列有很多奇妙的性質(zhì)，如根據(jù)可得……，類似的，可得（

）A． B． C． D．例95．（2023·浙江省杭州市·單元測試）若兩個等差數(shù)列，的前n項和分別為，，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6例96．（2023·江蘇省南通市·月考試卷）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項和為，若對任意的恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．例97．（2023·遼寧省錦州市·期末考試）康托是十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初德國偉大的數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)立的集合論奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，當(dāng)記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”．若使“康托三分集”的各區(qū)間長