導(dǎo)數(shù)應(yīng)用專題8之05 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)(解析版)

第六篇導(dǎo)數(shù)專題05利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)常見考點(diǎn)考點(diǎn)一討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)典例1．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(3)當(dāng)時(shí)，證明不等式．【答案】(1)當(dāng)a≤0時(shí)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)當(dāng)時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；時(shí)沒有零點(diǎn)；或者時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)．(3)證明見解析【解析】【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，對(duì)a進(jìn)行分類討論，求解單調(diào)性；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，討論得到的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)函數(shù)證明不等式.(1)．當(dāng)時(shí)，ax－1<0，從而，函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，若0<x<，則ax－1<0，從而，若x>，則ax－1>0，從而，從而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)由（1）可知：當(dāng)時(shí)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又時(shí)，，，故此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，又時(shí)，，時(shí)，，故有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)；綜上：當(dāng)時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；時(shí)沒有零點(diǎn)；或者時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)．(3)令，其中，可得，設(shè)，可得在上恒成立，∴G（t）是上的增函數(shù)，可得，因此，在上恒成立，可得是上的增函數(shù)．∵，∴F（x）＞F（y），可得，∵ln（1+x）＞0且ln（1+y）＞0，∴不等式兩邊都乘以，可得．即對(duì)任意x＞y＞e-1，都有不等式成立．【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，要通過求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù).變式1-1．已知時(shí)，函數(shù)的圖象恒在直線的上方．(1)求證：當(dāng)時(shí)．；(2)求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)2【解析】【分析】（1）由題意得當(dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，欲證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于零即可，（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，然后分，和，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可判斷出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，(1)因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)的圖象恒在直線的上方，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，欲證，只需證，只需證，設(shè)，則，所以F（x）在（0，1）上單調(diào)速減，所以．所以當(dāng)時(shí)，．(2)由已知得，則，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋詆（x）在上單調(diào)遞減．所以．所以g（x）在上無零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，所以存在，使．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以g（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以．設(shè)，則．令，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．所以，所以，所以．所以g（x）在上存在一個(gè)零點(diǎn)．所以g（x）在[0，]上有2個(gè)零點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，，所以g（x）在（，＋∞）上單調(diào)遞增．因?yàn)椋詆（x）在（，＋∞）上無零點(diǎn)，結(jié)上所述，g（x）在（－，＋∞）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)決函數(shù)零點(diǎn)問題，第（1）問解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，第（2）解題的關(guān)是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，分情況通過判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)零點(diǎn)存在性定理可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題變式1-2．已知函數(shù)，(1)證明：函數(shù)f（x）在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；(2)假設(shè)存在常數(shù)λ>1，且滿足f（λ）=0，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，依據(jù)零點(diǎn)存在定理即可證明函數(shù)f（x）在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；（2）把函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為與兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分類討論即可解決.(1)，令，則所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.因?yàn)椋Y(jié)合單調(diào)性，在有且僅有一個(gè)零點(diǎn).(2)令，即，從而有，令，從而的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于與圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).，令，得.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，圖像與圖像有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，圖像經(jīng)過二?四象限，與圖像無交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，圖像經(jīng)過一，三象限，與圖像至少有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)圖像圖像相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則有即有，從而，此時(shí).所以，當(dāng)時(shí)時(shí)，圖像與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，圖像與圖像有三個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，圖像與圖像有一個(gè)交點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).變式1-3．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)，求導(dǎo)得出，對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，即可求得函數(shù)的單調(diào)性.（2）由題意可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖像即可求解.(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)令，得.令，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可得，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)二根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍典例2．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2)或或.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)并因式分解，進(jìn)而討論a的范圍，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理即可求得答案.(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，，①若，，則在單調(diào)遞減；②若，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上：時(shí)，在上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.(2)若，，.結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，有唯一零點(diǎn).若，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以要使得函數(shù)有唯一零點(diǎn)，只需，解得或.綜上：或或.【點(diǎn)睛】第（2）問較難，我們一定要注意，導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問題往往與函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理聯(lián)系緊密.變式2-1．已知函數(shù)，其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，(1)若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求證：【答案】(1)(2)證明過程見解析.【解析】【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，對(duì)a分類討論，結(jié)合單調(diào)性及最小值，列出不等關(guān)系，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）先進(jìn)行簡單放縮，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)行證明.(1)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在定義域上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令得：，令得：，故在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，要想函數(shù)在定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得：，又，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在性定理可知：在與范圍內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)證明：當(dāng)時(shí)，即證，（）由于，故，只需證，令，則，因?yàn)?，所以，令得：，令得：，所以在處取得極大值，也是最大值，，故在上恒成立，結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)證明不等式，常常需要對(duì)不等式進(jìn)行變形放縮，常見放縮有三角函數(shù)有界性放縮，切線放縮，如，，等.變式2-2．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣ax2+3x+m在x＝3處取得極值.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)函數(shù)y＝f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.【答案】(1)5(2)【解析】【分析】（1）求導(dǎo)f'（x）＝3x2﹣2ax+3，根據(jù)函數(shù)f（x）在x＝3處取得極值，由f'（3）＝0求解；27﹣6a+3＝0，（2）利用導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的極值，再根據(jù)函數(shù)f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)求解.(1)解：f'（x）＝3x2﹣2ax+3，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝x3﹣ax2+3x+m在x＝3處取得極值，所以f'（3）＝0，即27﹣6a+3＝0，解得a＝5，經(jīng)檢驗(yàn)符號(hào)題意；(2)因?yàn)閒（x）＝x3﹣5x2+3x+m，令f'（x）＝3x2﹣10x+3＝0，得或，由f'（x）＞0，得或，此時(shí)f（x）為增函數(shù)，由f'（x）＜0，得，此時(shí)f（x）為減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，當(dāng)x＝3時(shí)，f（x）取得極小值，即f（x）極小值＝f（3）＝m﹣9，f（x）極大值＝f（）＝m+，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，所以，即，解得，故m的范圍是.變式2-3．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值.（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若時(shí)，方程有兩個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可得的值，注意檢驗(yàn).（2）令，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在的單調(diào)性后可得的取值范圍.【詳解】（1）由，則，因在時(shí)，取到極值，所以，解得.又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，綜上，.（2）令，由（1）得，且，故，則，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故，而，故.要有兩個(gè)根，則，故.【點(diǎn)睛】本題考查三次函數(shù)的極值以及函數(shù)的零點(diǎn)，后者應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來討論，注意合理構(gòu)建新函數(shù).鞏固練習(xí)練習(xí)一討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)1．已知函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)比較，，的大小，并說明理由.【答案】(1)一個(gè)零點(diǎn)(2)，理由見解析【解析】【分析】（1）對(duì)二次求導(dǎo)，求出的單調(diào)性及極值，判斷出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）對(duì)要比較大小的式子進(jìn)行整理變形，結(jié)合第一問函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.(1)，，設(shè)，則因此在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，所以在處有極大值，又，故有且僅有一個(gè)零點(diǎn).(2)因?yàn)椋?，由?）可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，又，所以，又對(duì)于任意的時(shí)，所以，即，因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)比較函數(shù)值的大小，通常會(huì)構(gòu)造函數(shù)，或者對(duì)函數(shù)值進(jìn)行變形，本題中，是關(guān)鍵，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較.2．已知函數(shù).(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求f（x）在[1，e]上的值域；(2)設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)答案詳見解析【解析】【分析】（1）通過多次求導(dǎo)的方法判斷出在區(qū)間上的單調(diào)性，由此求得在上的值域.（2）令，對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，，，′所以在上遞增，，所以在上遞增，，所以在上遞增，.所以在上的值域.(2)，，當(dāng)時(shí)，，，即是的唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，結(jié)合的圖象以及性質(zhì)可知，，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以，故.，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以，所以在區(qū)間上有.所以，沒有零點(diǎn).當(dāng)時(shí)：令，，所以在上遞增，由與的圖象可知，在區(qū)間上，存在唯一，使①，即.所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值也即是最小值，由①得，所以；由①得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)，即時(shí)，，則也即沒有零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，也即有唯一零點(diǎn).當(dāng)，即，，則也即有個(gè)零點(diǎn).綜上所述：當(dāng)或時(shí)，有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)，時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】在利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的過程中，若一次求導(dǎo)無法解決的，可考慮二次或多次求導(dǎo)來進(jìn)行求解.求解過程中要注意導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間的關(guān)系.3．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)，時(shí)，求證：恒成立；(2)當(dāng)時(shí)，探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得解析式，求導(dǎo)，令，求得極值點(diǎn)，分析可得和時(shí)，的單調(diào)性，分析即可得證（2）分別討論、a=0和三種情況，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和極最值，分析即可得答案.(1)當(dāng)，時(shí)，，所以，令，解得x=1，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，即恒成立.(2)當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)，函數(shù)為開口向上的拋物線，且，所以與圖象有2個(gè)交點(diǎn)，如圖所示當(dāng)a=0時(shí)，，解得x=1，故只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，為開口向上的拋物線，令，解得，此時(shí)恒成立，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以有唯一根x=1，即有1個(gè)零點(diǎn)；令時(shí)，解得或（舍），此時(shí)令，解得，因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，，即，所以為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，所以為減函數(shù)，又，所以，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，存在唯一x，使，，且，所以時(shí)，存在唯一x，使，所以有三個(gè)根，即有3個(gè)零點(diǎn)綜上：當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)4．已知函數(shù)，(1)求函數(shù)的最值；(2)令，求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在R上無最大值與最小值當(dāng)時(shí)，在R上無最大值，有最小值為.(2)函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，理由見解析【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，在對(duì)進(jìn)行討論，即可求出答案.（2）先寫出函數(shù)的解析式，在對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再分兩種情況對(duì)進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在性定理和隱零點(diǎn)求出有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn).(1)，①當(dāng)，即時(shí)，得恒成立，此時(shí)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故函數(shù)在R上無最大最小值②當(dāng)，即時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減所以時(shí)，取最小值即綜上所述：當(dāng)時(shí)，在R上無最大值與最小值當(dāng)時(shí)，在R上無最大值，有最小值為.(2)，則①當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間上單調(diào)遞減，知：在上單調(diào)遞增，且，，知：函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由，知：在上單調(diào)遞減，同理可知：在上單調(diào)遞增.由，，，故函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，由，構(gòu)造函數(shù)，則由恒成立，知：函數(shù)在上單調(diào)遞增，故：，由，知：函數(shù)在上恒成立，即恒成立，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn).綜上，函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.練習(xí)二根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍5．已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若方程在上有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)見解析；(2).【解析】【分析】(1)求f(x)導(dǎo)數(shù)，討論的正負(fù)，由此可判斷f(x)單調(diào)性；(2)參變分離為，問題轉(zhuǎn)化為求的值域.(1)，時(shí)，，在R上單調(diào)遞減；時(shí)，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減；綜上，時(shí)，在R上單調(diào)遞減；a＞0時(shí)，f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.(2)，令，則，∴g(x)在(1，e)上單調(diào)遞增，∴∴.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，將方程有解問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.6．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，時(shí)，在上遞減，在上遞增，(2)【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，分和兩種情況判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，有可能有兩個(gè)零點(diǎn)，求出，然后分，和三種情況討論函數(shù)最小值的正負(fù)，從而可求得結(jié)果(1)定義域?yàn)?，由，得，?dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，則，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，時(shí)，在上遞減，在上遞增，(2)由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)，所以，由（1）得在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，當(dāng)時(shí)，，所以只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，則，所以沒有零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)椋栽谏嫌幸粋€(gè)零點(diǎn)，取正整數(shù)，滿足，則，因?yàn)椋栽谏嫌幸粋€(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，