2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 第四講 冪函數(shù)與二次函數(shù)

第四講冪函數(shù)與二次函數(shù)第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.冪函數(shù)的定義

一般地，形如y＝xα的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).冪函數(shù)的特征：①自變量x處在冪底數(shù)的位置，冪指數(shù)α為常數(shù)；②xα的系數(shù)為1；③只有一項.函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x-1圖象性質(zhì)定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}2.常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x-1性質(zhì)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶 函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在(－∞，0]上單調(diào)遞減；在[0，＋∞)上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞增在[0，＋∞)上單調(diào)遞增在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減公共點(1，1)(續(xù)表)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域RR值域3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)單調(diào)性對稱性(續(xù)表)【名師點睛】(1)二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；③零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).(2)一元二次不等式恒成立的條件①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要條件是“a＞0且Δ＜0”；②ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要條件是“a＜0且Δ＜0”.考點一冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(m，n均

1.(2023年上海市校級模擬)如圖2-4-1是函數(shù)y＝x為正整數(shù)且m，n互質(zhì))的圖象，則(

)圖2-4-1答案：B答案：CA.a<c<bC.b<c<a

B.a<b<cD.b<a<c答案：A【題后反思】冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的關(guān)系(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式.

(2)在區(qū)間(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.考點二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考向1二次函數(shù)的圖象通性通法：“三看”二次函數(shù)圖象[例1](2023年海淀區(qū)一模)已知二次函數(shù)f(x)，對任意的x∈R，有f(2x)＜2f(x)，則f(x)的圖象可能是()ABCD解析：二次函數(shù)f(x)，對任意的x∈R，有f(2x)＜2f(x)，令x＝0得，f(0)＜2f(0)，即f(0)＞0，故CD都不可能；答案：A考向2二次函數(shù)的單調(diào)性

通性通法：處理函數(shù)的單調(diào)性問題要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是求給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值的問題，要先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解).[例2]函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是單調(diào)遞減的，則實數(shù)a的取值范圍是( A.[－3，0) C.[－2，0]

)B.(－∞，－3]D.[－3，0]

解析：當(dāng)a＝0時，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，滿足題意；解得－3≤a<0.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[－3，0].答案：D考向3二次函數(shù)中的恒成立問題通性通法：(1)解決二次函數(shù)中的恒成立問題一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).

(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個思路的依據(jù)：a≥f(x)恒成立?a≥fmax(x)，a≤f(x)恒成立?a≤fmin(x).

[例3](1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則實數(shù)m的取值范圍是__________； (2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)＞x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為__________.

解析：(1)作出二次函數(shù)f(x)的草圖如圖2-4-2，對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，圖2-4-2(2)由題意得x2＋x＋1＞k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立；設(shè)g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，則g(x)在[－3，－1]上單調(diào)遞減.∴gmin(x)＝g(－1)＝1.∴k＜1.故實數(shù)k的取值范圍為(－∞，1).【考法全練】1.(考向1)一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是()ABCD可排除D；對于選項B，看直線可知a>0，b>0，從而－

<0，而解析：若a>0，則一次函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上，故可排除A；若a<0，一次函數(shù)y＝ax＋b為減函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，故二次函數(shù)的對稱軸在y軸的右側(cè)，故可排除B.故選C.答案：C2.(考向2)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，若f(a)≥f(0)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪[4，＋∞)B.(－∞，0] D.[0，4]

解析：∵f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，∴對稱軸是直線x＝2，又f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，則拋物線的開口向下，且f(x)在[2，4]上單調(diào)遞減.∵f(a)≥f(0)，∴f(a)≥f(4)，∴根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合圖象可得0≤a≤4.故選D.答案：D解：(1)由題意得c＝1，f(－1)＝a－b＋c＝0，⊙分類討論思想在二次函數(shù)最值問題中的應(yīng)用[例4]已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－1，2]上有最大值4，求實數(shù)a的值.

【反思感悟】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動.無論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是確定函數(shù)圖象的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)圖象的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.【高分訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值.解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1.當(dāng)t＋1≤1，即t≤0時，函數(shù)圖象如圖D3(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞減，fmin(x)＝f(t＋1)＝t2＋1；當(dāng)t<1<t＋1，即0<t<1時，函數(shù)圖象如圖D3(2)所示，fmin(x)＝f(1)＝1；當(dāng)t≥1時，函數(shù)圖象如圖D