2025屆高三數(shù)學一輪總復習 第二章 第七講 函數(shù)的圖象

第七講函數(shù)的圖象第二章函數(shù)、導數(shù)及其應用1.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).2.會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質，并運用函數(shù)的圖象解簡單的方程(不等式)問題.1.描點法作圖

(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)的解析式；(3)討論函數(shù)的性質(奇偶性、周期性、單調性、最值等)；(4)描點連線.2.圖象變換(1)平移變換(2)對稱變換

y＝－f(x).

y＝f(－x).y＝－f(－x).①y＝f(x)②y＝f(x)③y＝f(x)④y＝ax

(a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1).(3)伸縮變換①y＝f(x)②y＝f(x)

y＝f(ax).y＝af(x).(4)翻折變換【名師點睛】(1)關于對稱的三個重要結論①函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關于直線x＝a對稱.②函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關于點(a，b)中心對稱.③若函數(shù)y＝f(x)定義域內的任意自變量x滿足f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.(2)函數(shù)圖象平移變換八字方針①“左加右減”，要注意加減指的是自變量.②“上加下減”，要注意加減指的是函數(shù)值.

考點一作函數(shù)的圖象[例1]分別作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x+1－1；

解析：(1)首先作出y＝lgx的圖象，然后將其向右平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝lg(x－1)的圖象，再把所得圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數(shù)y＝|lg(x－1)|的圖象，如圖2-7-1所示(實線部分).圖2-7-1

(2)將y＝2x

的圖象向左平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝2x+1

的圖象，再將所得圖象向下平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝2x+1－1的圖象，如圖2-7-2所示.圖2-7-2圖2-7-3圖2-7-4指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x＋

的函數(shù).【題后反思】圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)熟練掌握幾種初等函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、

(2)若函數(shù)圖象可由某個基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱或伸縮得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序.【變式訓練】分別作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝sin|x|.

解析：(1)先作出函數(shù)y＝lgx的圖象，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得函數(shù)y＝|lgx|的圖象，如圖D8(1)實線部分. (2)當x≥0時，y＝sin|x|與y＝sinx的圖象完全相同，又y＝sin|x|為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，其圖象如圖D8(2).(1)(2)圖D8考點二函數(shù)圖象的辨識ABCD解析：f(x)＝(3x－3－x)cos

x，可知f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cos

x＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，排除BD；當x＝1時，f(1)＝(3－3-1)cos1＞0，排除C.故選A.答案：A【題后反思】辨識函數(shù)圖象的入手點(1)根據(jù)函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；根據(jù)函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.(2)根據(jù)函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢.(3)根據(jù)函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.(4)根據(jù)函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復.(5)根據(jù)函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.【變式訓練】(2023年天津卷)函數(shù)f(x)的圖象如圖2-7-5，則f(x)的解析式可能為()圖2-7-5解析：由圖象可知，f(x)的圖象關于y軸對稱，為偶函數(shù)，故恒大于0，與圖象不符合，故CAB錯誤，當x＞0時，錯誤.故選D.答案：D

考點三函數(shù)圖象的應用考向1研究函數(shù)的性質

通性通法：對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質[單調性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點]常借助圖象來研究，但一定要注意性質與圖象特征的對應關系.)[例3]已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結論正確的是(A.f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)B.f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)C.f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1，1)D.f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)解析：將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉絕對值得

畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖2-7-6，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1，1)上單調遞減，在(－∞，－1)圖2-7-6和(1，＋∞)上單調遞增.故選C.答案：C考向2求不等式的解集

通性通法：當不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對應函數(shù)的圖象可作出時，常將不等式問題轉化為兩函數(shù)圖象的位置關系問題，從而利用數(shù)形結合思想求解.[例4]如圖2-7-7，函數(shù)f(x)的圖象為折線A-C-B，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是__________.圖2-7-7

解析：在同一平面直角坐標系內作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的圖象(如圖2-7-8).由圖象可知不等式的解集是(－1，1].圖2-7-8答案：(－1，1]【考法全練】)1.(考向1)(多選題)已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，則(A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)的值域為[0，＋∞)C.f(x)在(0，＋∞)上單調遞增D.f(x)有一個零點

解析：畫出f(x)＝|lgx|的函數(shù)圖象如圖D9，由圖可知，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯誤；f(x)的值域為[0，＋∞)，故B正確；f(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，故C錯誤；f(x)有一個零點1，故D正確.故選BD.圖D9答案：BD2.(考向2)設奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，且f(1)＝0，

A.(－1，0)∪(1，＋∞) B.(－∞，－1)∪(0，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－1，0)∪(0，1)解析：因為f(x)為奇函數(shù)，所以不等式0，即xf(x)＜0.f(x)的大致圖象如圖D10所示，所以xf(x)＜0的解集為(－1，0)∪(0，1).故選D.答案：D圖D10

⊙根據(jù)實際問題的變化過程探究函數(shù)圖象

[例5]如圖2-7-9所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.點P以1cm/s的速度沿A→B→C的路徑向C移動，點Q以2cm/s的速度沿B→C→A的路徑向A移動.當點Q到達A點時，P，Q兩點同時停止移動.記△PCQ的面積關于移動時間t的函數(shù)為S＝f(t)，則f(t)的圖象大致為()圖2-7-9ABCD綜上所述，函數(shù)f(t)對應的圖象是三段拋物線，依據(jù)開口方向得圖象是A.答案：A【反思感悟】根據(jù)實際情景探究函數(shù)圖象，關鍵是將問題轉化為熟悉的數(shù)學問題求解，要注意實際問題中的定義域問題.

【高分訓練】

如圖2-7-10，圓與兩坐標軸分別切于A，B兩點，圓上一動點P從A點開始沿圓周按逆時針方向勻速旋轉回到A點，則與△OBP的面積隨時間變化的圖象相符合的是()圖2-7-