蘇科版八年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典專題2.10等腰三角形的性質與判定大題專練(重難點培優(yōu))特訓(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學年八年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題2.10等腰三角形的性質與判定大題專練（重難點培優(yōu)）一、解答題（共24題）1．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E為對角線BD上一點，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．(1)求證：ΔABD?(2)若∠BDC＝70°，求∠DBC的度數(shù)．2．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，AD⊥BC，AD＝BD，∠C=70°，求∠BAC的度數(shù)．3．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，點E是△ABC的邊BC上一點，∠DAB=∠DEB=∠CAE，AD=AB，AB、DE相交于點F．(1)求證：△ADE≌△ABC；(2)若∠C=70①當AE=BE時，求∠DAE的度數(shù)；②當△ABC的外心在其內部時，直接寫出∠B的取值范圍．4．（2022·江蘇泰州·一模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出符合下列條件的圖形，不寫作法，保留作圖痕跡．(1)在線段BC的延長線上，找出一點E，使∠CEA＝22.5°；(2)在（1）的條件下，在線段BC上，找出一點D，使∠EAD＝45°．5．（2022·江蘇·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC邊上的點，且BD=CE，求證：AD=AE．6．（2022·江蘇·八年級）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分別為點D，E，且∠BAE＝∠CAD．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)設BD，CE相交于點O，∠BOC＝140°，求∠OBC的度數(shù)．7．（2021·江蘇常州·一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，點D、E是BC邊上不重合的兩點，BD＝CE．(1)求證：AD＝AE；(2)若DA⊥AE，∠B＝26°，求∠BAD的大小．8．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，DE∥AB,AE平分∠DAB，點C在線段AE上，AC=BC=AD，求證：AE=AB．9．（2022·江蘇南通·八年級期末）如圖，在ΔABC中，AB=AC，點D是BC邊的中點，點E在AD求證：ΔABE10．（2020·江蘇蘇州·八年級期中）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度移動，設運動的時間為t秒．(1)當△ABP為直角三角形時，求t的值；(2)當△ABP為等腰三角形時，求t的值．11．（2021·江蘇泰州·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC．(1)用無刻度直尺和圓規(guī)作圖：(保留作圖痕進，不寫作法)①作∠BAC的平分線交BC于點D．②作邊AC的中點E，連接DE．(2)在(1)所作的圖中，若AD=12，BC=10，求DE的長．12．（2021·江蘇·常州實驗初中八年級階段練習）如圖，在ΔABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．求證：DE=DF13．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，點A，C，D，B四點共線，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF．（1）求證：△ADE≌△BCF；（2）若DE=9，CG=4，求線段EG的長．14．（2020·江蘇·無錫市錢橋中學八年級階段練習）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD=4，BD=2，CD=8．（1）求證：∠BAC=90°；（2）P為BC邊上一點，連接AP，若△ABP為等腰三角形，請直接寫出BP的長．15．（2021·江蘇蘇州·二模）如圖，在ΔABC中，BD⊥AC于點D,P為BD上的點，∠PAC=45（1）求證：CD=BD;（2）若∠CPA=105°,AB=2,16．（2019·江蘇無錫·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，點D在線段AB上，從點B出發(fā)，以2cm/s的速度向終點A運動，設點D的運動時間為t秒．（1）點D在運動t秒后，BD＝cm（用含有t的式子表示）（2）AB＝

cm

，AB

邊上的高為

cm

；（3）點D在運動過程中，當△BCD為等腰三角形時，求t的值．17．（2022·江蘇·八年級）如圖△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE＝CD．求證：DB＝DE．18．（2022·江蘇·南京玄武外國語學校八年級期末）如圖，在RtΔABC和RtΔEFD中，∠ABC=90°，∠EFD=90°，AC=ED，AC⊥ED，垂足為M．連接EA，連接EC并延長交（1）求證△ABC≌（2）若∠G=45°，求證EA=ED．19．（2022·江蘇鹽城·八年級開學考試）如圖，點C在線段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求證：（1）△ACD≌△BEC；

（2）CF⊥DE．20．（2021·江蘇泰州·八年級期末）如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，過點O作MN∥BC．分別交AB、AC于M、N．（1）求證：BM+CN＝MN．（2）如圖2，若△ABC是等邊三角形，請從以下兩個問題任選一題作答．若兩題都作答，以問題①計分．問題①BC＝6，求MN的長．問題②求證：O是MN的中點．21．（2021·江蘇蘇州·一模）已知：在RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為BC邊中點.點M為線段BC上的一個動點（不與點C，點D重合），連接AM，將線段AM繞點M順時針旋轉90°，得到線段ME，連接EC．（1）如圖1，若點M在線段BD上，求∠MCE的度數(shù)；（2）如圖2，若點M在線段CD上，試探究線段AC、CE、CM之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．22．（2021·江蘇泰州·一模）已知：如圖1，△ACD中，AD≠CD．（1）請你以AC為一邊，在AC的同側構造一個與△ACD全等的三角形△ACE，畫出圖形；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）參考（1）中構造全等三角形的方法解決下面問題：如圖2，在四邊形ABCD中①∠ACB+∠CAD=180°；②∠B=∠D；③CD=AB．請在上述三條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結論組成一個命題．試判斷這個命題是否正確，并說明理由你選擇的條件是________，結論是_______（只要填寫序號）23．（2022·江蘇淮安·七年級期末）學完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡稱“HL”定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．(1)如圖1，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC和DB交于點E，則線段AE和線段(2)如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E分別在邊AC、AB上，且CE=BD．求證：(3)如圖3，在△ABC中，∠BAC為鈍角，AB=AC，點D、E分別在邊AC、AB上，且CE=BD，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由．24．（2021·江蘇南京·一模）若兩條線段將一個三角形分割成三個等腰三角形，則這兩條線段稱為三分線．（1）如圖①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，請在圖中畫出兩條三分線，并標出每個等腰三角形頂角的度數(shù)（畫出一種分割即可）．（2）如圖②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，請在圖中畫出兩條三分線，并標出每個等腰三角形頂角的度數(shù)（畫出一種分割即可）．（3）如圖③，△ABC中，∠BAC為鈍角，AE，DE為三分線，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE．①求∠B和∠C的關系式．②求∠BAC的取值范圍．【講練課堂】2022-2023學年八年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題2.10等腰三角形的性質與判定大題專練（重難點培優(yōu)）一、解答題1．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E為對角線BD上一點，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．(1)求證：ΔABD?(2)若∠BDC＝70°，求∠DBC的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)40°【解析】【分析】（1）由“ASA”可證△ABD≌△ECB；（2）由全等三角形的性質可得BD=BC，由等腰三角形的性質可求解．(1)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC，在△ABD和△ECB中，∠A=∠BEC∠ADB=∠EBC∴△ABD≌△ECB（AAS）；(2)∵△ABD≌△ECB∴BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝70°，∴∠DBC＝40°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，還考查學生運用定理進行推理的能力，題目比較典型，難度適中．2．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，AD⊥BC，AD＝BD，∠C=70°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】∠BAC=65°【解析】【分析】先根據(jù)△ABC中，AD⊥BC于點D，AD=BD求出∠BAD的度數(shù)，再由∠C=70°求出∠CAD的度數(shù)，進而可得出結論．【詳解】解：∵△ABC中，AD⊥BC于點D，AD=BD，∴∠BAD=45°，∵∠C=70°，∴∠CAD=90°-70°=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+20°=65°．【點睛】本題考查的是等腰直角三角形，三角形內角和定理，熟練掌握運用三角形內角和定理是解答此題的關鍵．3．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，點E是△ABC的邊BC上一點，∠DAB=∠DEB=∠CAE，AD=AB，AB、DE相交于點F．(1)求證：△ADE≌△ABC；(2)若∠C=70①當AE=BE時，求∠DAE的度數(shù)；②當△ABC的外心在其內部時，直接寫出∠B的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)①75°；②20°<∠B<90°【解析】【分析】（1）先證明∠D=∠B，∠DAE=∠BAC，再結合AD=AB即可得證；（2）①先根據(jù)全等三角形性質及等腰三角形性質求出∠EAC、∠B的度數(shù)，再等量代換即可；②根據(jù)銳角三角形外心的性質求解即可．(1)證明：∵∠DAB=∠DEB，∠DFA=∠EFB，∴∠D=∠B，∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC，∵AD=AB，∴△ADE≌△ABC；(2)解：①∵△ADE≌△ABC，∴AE=AC，∴∠AEC=∠C=70°，∴∠EAC=40°，∵AE=BE，∴∠B=∠BAE，∵∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠B=∠BAE=35°，∴∠DAE=∠BAC=∠BAE+∠EAC=75°．②20°<∠B<90°．∵△ABC的外心在其內部，∴△ABC為銳角三角形，∴∠B<90°，∠BAC=180°?∠C?∠B=110°?∠B<90°，∴20°<∠B<90°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質及三角形外心的定義等知識點．靈活運用全等三角形的判定定理是解題關鍵．4．（2022·江蘇泰州·一模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出符合下列條件的圖形，不寫作法，保留作圖痕跡．(1)在線段BC的延長線上，找出一點E，使∠CEA＝22.5°；(2)在（1）的條件下，在線段BC上，找出一點D，使∠EAD＝45°．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【解析】【分析】（1）在BC的延長線上截取CE=CA，由于∠BAC=90°，AB=AC．則∠ACB=45°，然后利用∠CEA=∠CAE=12∠ACB（2）作∠CAD=∠CAE，則∠EAD=45°．(1)解：如圖，點E為所作；(2)解：如圖，點D為所作．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質．5．（2022·江蘇·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC邊上的點，且BD=CE，求證：AD=AE．【答案】見解析【解析】【分析】利用等腰三角形的性質可得∠B=∠C，再由SAS證明△ABD≌△ACE，從而得AD=AE．【詳解】證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠C∴△ABD≌△ACESAS∴AD=AE．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，全等三角形的性質與判定，熟練掌握相關性質定理是解題的關鍵．6．（2022·江蘇·八年級）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分別為點D，E，且∠BAE＝∠CAD．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)設BD，CE相交于點O，∠BOC＝140°，求∠OBC的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)20°【解析】【分析】（1）由“AAS”可證△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性質可得∠ABD＝∠ACE，由全等三角形的性質可得∠ABC＝∠ACB，即可求解．(1)證明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAD＝∠CAD+∠EAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE∠ADB=∠AEC=90°∴△ABD≌△ACE（AAS）；(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC-∠ABD＝∠ACB-∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝140°，∴∠OBC＝20°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．7．（2021·江蘇常州·一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，點D、E是BC邊上不重合的兩點，BD＝CE．(1)求證：AD＝AE；(2)若DA⊥AE，∠B＝26°，求∠BAD的大小．【答案】(1)證明見解析(2)∠BAD＝19°【解析】【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得AD＝AE；（2）由全等三角形的性質可得∠BAD＝∠CAE，由三角形內角和定理可求解．(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠C∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE；(2)∵∠C＝∠B＝26°，∴∠BAC＝180°﹣（26°+26°）＝128°，∵∠BAC＝128°，∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝128°﹣90°＝38°，∵△ABD≌△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＝38°÷2＝19°．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，熟知全等三角形的性質與判定條件是解題的關鍵．8．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，DE∥AB,AE平分∠DAB，點C在線段AE上，AC=BC=AD，求證：AE=AB．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)平行和角平分線得出AD=DE，再證△ADE≌△ACB即可．【詳解】證明：∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠CAB，∵DE∥AB，∴∠E=∠BAE，∵AC=BC，∴∠B=∠BAE，∴∠E=∠B,在△ADE和△ACB中，∠E=∠B∴△ADE≌△ACB，∴AE=AB．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，解題關鍵是熟練運用等腰三角形的性質得出角相等．9．（2022·江蘇南通·八年級期末）如圖，在ΔABC中，AB=AC，點D是BC邊的中點，點E在AD求證：ΔABE【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一，得出∠BAE=∠CAE，根據(jù)SAS證明△ABE≌△ACE．【詳解】證明：∵AB=AC，點D是BC的中點，∴∠BAE=∠CAE，在ΔABE和ΔAB=AC∠BAE=∠CAE∴ΔABE【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和全等三角形的判定，解題的關鍵是利用等腰三角形三線合一的性質證明∠BAE=∠CAE．10．（2020·江蘇蘇州·八年級期中）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度移動，設運動的時間為t秒．(1)當△ABP為直角三角形時，求t的值；(2)當△ABP為等腰三角形時，求t的值．【答案】(1)4或25(2)258【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理可求出BC的長．分類討論當∠APB=90°時和∠BAP=90°時，作出圖形，利用勾股定理，結合題意即可求出結果．（2）分類討論①當AP=BP時，利用勾股定理即可解題；②當AB=BP時，直接用BP的長除以2即得出答案；③當AB=AP時，由等腰三角形三線合一的性質，易求出BP的長，即可得出答案．(1)在Rt△ABC中，BC=A分類討論：①當∠APB=90°時，如圖，此時P點與C點重合，∴BP=BC=8，∴t=BP②當∠BAP=90°時，如圖，設CP=x，則BP=8+x．∵在Rt△ABP中，AP2=B在Rt△ACP中，AP2=A∴(8+x)2解得：x=92，即∴BP=8+9∴t=BP綜上可知，當t的值為4或254時，△ABP(2)分類討論：①當AP=BP時，如圖，設CP=x，則BP=AP=8?x，∵在Rt△APC中，AP2=A解得：x=7∴BP=8?7∴t=BP②當AB=BP時，如圖，∵AB=10，∴BP=10，∴t=BP③當AB=AP時，如圖，∵AB=AP，AC⊥BP，∴BC=CP=8，∴BP=BC+CP=16，∴t=BP綜上可知，當t的值為258或5或8時，△ABP【點睛】本題考查等腰三角形的定義和性質以及利用勾股定理解三角形，利用分類討論和數(shù)形結合的思想是解答本題的關鍵．11．（2021·江蘇泰州·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC．(1)用無刻度直尺和圓規(guī)作圖：(保留作圖痕進，不寫作法)①作∠BAC的平分線交BC于點D．②作邊AC的中點E，連接DE．(2)在(1)所作的圖中，若AD=12，BC=10，求DE的長．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)6.5【解析】【分析】（1）按要求用尺規(guī)作圖即可；（2）由等腰三角形三線合一的性質得，DC=5，根據(jù)勾股定理求出AC=13，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求出DE即可．(1)解：①如圖，線段AD即為所求作的線段；②如圖，點E，線段DE即為所求，(2)解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分線，∴DC=BD=12BC=∵AD=12，∴AC=A∵點E是AC的中點，∴DE=1答：DE的長為6.5．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，等腰三角形的性質，勾股定理，掌握基本作圖，三線合一的性質，勾股定理是解此題的關鍵12．（2021·江蘇·常州實驗初中八年級階段練習）如圖，在ΔABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．求證：DE=DF【答案】見解析【解析】【分析】如圖，連接AD．根據(jù)AB=AC，點D是BC邊上的中點，得出AD平分∠BAC，DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F，DE=DF即可．【詳解】證明：如圖，連接AD．∵AB=AC，點D是BC邊上的中點，∴AD平分∠BAC，∵DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F．∴DE=DF．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質，角平分線性質，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．13．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，點A，C，D，B四點共線，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF．（1）求證：△ADE≌△BCF；（2）若DE=9，CG=4，求線段EG的長．【答案】（1）證明見解析；（2）EG=5．【解析】【分析】（1）根據(jù)AC=BD可得AD=BC，然后利用已知條件根據(jù)ASA即可證明全等；（2）根據(jù)（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF，再結合等角對等邊可得DG=CG=4，最后利用線段的和差即可求得EG的長度．【詳解】解：（1）證明：∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，∴AD=BC，在△ADE和△BCF中，∠A=∠B∴△ADE≌△BCF（ASA）；（2）∵△ADE≌△BCF，∴∠ADE=∠BCF，∴DG=CG=4，∵DE=9，∴EG=DE?DG=5．【點睛】本題考查全等三角形的性質和判定，等腰三角形等角對等邊．熟練掌握全等三角形的幾種判定定理，并能結合題中所給條件靈活運用是解題關鍵．14．（2020·江蘇·無錫市錢橋中學八年級階段練習）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD=4，BD=2，CD=8．（1）求證：∠BAC=90°；（2）P為BC邊上一點，連接AP，若△ABP為等腰三角形，請直接寫出BP的長．【答案】（1）見解析；（2）25【解析】【分析】（1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求AB2，同理在Rt△ACD中可求AC2，而BC＝CD＋BD＝10，則AC2＋AB2＝100＝BC2，從而可得△ABC是直角三角形．（2）若△ABP為等腰三角形，可分三種情況討論：①當BP＝AB時，②當BP＝AP時，③當AP＝AB時，分別求出BP的長即可．【詳解】（1）證明：∵AD⊥BC，AD＝4，BD＝2，CD＝8，∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2＝AD2＋BD2＝20．同理可得：AC2＝CD2＋AD2＝80．∵BC＝CD＋BD＝10，∴BC2＝100．∴AC2＋AB2＝100＝BC2．∴△ABC是直角三角形．∴∠BAC＝90°．（2）解：若△ABP為等腰三角形，BP的長可從以下三種情況進行計算：①當BP＝AB時，∵AD⊥BC，∴AB＝AD∴BP＝AB＝25②當BP＝AP時，∵△ABC是直角三角形，∴∠B＋∠C＝90°，∠BAP＋∠PAC＝90°．∵∠B＝∠BAP，∴∠C＝∠PAC．∴AP＝PC．∴BP＝12③當AP＝AB時，∵AD⊥BC，∴BP＝2BD＝4．綜上所述：BP的長為25【點睛】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰三角形判定與性質的應用，掌握勾股定理、逆定理的應用是解第（1）小題的關鍵，利用等腰三角形的性質與判定并能結合分類討論的思想是解第（2）小題的關鍵．15．（2021·江蘇蘇州·二模）如圖，在ΔABC中，BD⊥AC于點D,P為BD上的點，∠PAC=45（1）求證：CD=BD;（2）若∠CPA=105°,AB=2,【答案】（1）見解析；（2）3?1【解析】【分析】（1）由題意可得AD=DP，由“HL”可證Rt△ADB≌Rt△PDC，可得結論；（2）可求∠CPD=60°，∠PCD=30°，由直角三角形的性質可求PB的長．【詳解】解：（1）∵BD⊥AC，∠PAC=45°，∴∠DPA=∠PAC=45°，∴AD=DP，且AB=CP，∴Rt△ADB≌Rt△PDC（HL），∴CD=BD；（2）∵∠CPA=105∴∠CPD=60°，又∵BD⊥AC，∴∠PCD=30°，∵AB=CP，AB=2,∴CP=2，∴PD=1，∴CD=CP∴BD=3，∴PB=3?1【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，勾股定理，熟練運用全等三角形的判定和性質是本題的關鍵．16．（2019·江蘇無錫·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，點D在線段AB上，從點B出發(fā)，以2cm/s的速度向終點A運動，設點D的運動時間為t秒．（1）點D在運動t秒后，BD＝cm（用含有t的式子表示）（2）AB＝

cm

，AB

邊上的高為

cm

；（3）點D在運動過程中，當△BCD為等腰三角形時，求t的值．【答案】（1）2t；（2）50；24；（3）t的值為15s或18s或12.5s.【解析】【分析】（1）根據(jù)點D以2cm/s的速度向終點A運動，設點D的運動時間為t秒，即可表示出BD=2t；（2）利用勾股定理求出AB的長，再利用三角形面積公式即可求得AB邊上的高；（3）分三種情況：①當BD=BC=30cm時得到2t=30，即可得到結果；②當CD=CB=30cm時，作CE⊥AB于E，則BE=DE=1③當DB=DC時，∠BCD=∠B，證明DA=DC，得出AD=DB=12【詳解】（1）∵點D以2cm/s的速度向終點A運動，設點D的運動時間為t秒∴BD=2t故答案為2t（2）由勾股定理得，AB=設AB邊上的高為h，SΔABC∴12解得：?=24故答案為50；24.（3）分三種情況：①當BD=BC=30cm時，2t=30∴t=15（s）②當CD=CB=30cm時，作CE⊥AB于E，如圖所示：則BE=DE=1由（2）得，AB邊上的高CE=24，在RtΔBCE中，由勾股定理得：BE=B∴t=18(s)③當DB=DC時，∠BCD=∠B∵∠A=90°﹣∠B，∠ACD=90°﹣∠BCD，∴∠ACD=∠A∴DA=DC∴AD=DB=12∴2t=25t=12.5(s)綜上所述，t的值為15s或18s或12.5s.【點睛】本題主要考查勾股定理以及等腰三角形的性質，熟練掌握相關性質定理和分類討論思想是解題關鍵.17．（2022·江蘇·八年級）如圖△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE＝CD．求證：DB＝DE．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根據(jù)角之間的關系求得∠DBC=∠CED，根據(jù)等角對等邊即可得到DB=DE．【詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∠DBC＝30°（等腰三角形三線合一）．又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED．又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，∴∠CDE＝∠CED＝12∠BCD∴∠DBC＝∠DEC．∴DB＝DE（等角對等邊）．【點睛】此題主要考查學生對等邊三角形的性質及三角形外角的性質的理解及運用；利用三角形外角的性質得到∠CED=30°是正確解答本題的關鍵．18．（2022·江蘇·南京玄武外國語學校八年級期末）如圖，在RtΔABC和RtΔEFD中，∠ABC=90°，∠EFD=90°，AC=ED，AC⊥ED，垂足為M．連接EA，連接EC并延長交（1）求證△ABC≌（2）若∠G=45°，求證EA=ED．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可得∠ADM=∠ACB，從而利用AAS可證明△ABC≌（2）根據(jù)已知可得△EFG和△CBG都為等腰直角三角形，再結合（1）中的全等進一步證明AB=FG，從而可得AF=DF，結合垂直平分線的性質可證明結論．【詳解】解：（1）證明：∵AC⊥ED，∠ABC=90°∴∠CAD+∠ADM=90°，∠CAD+∠ACB=90°∴∠ADM=∠ACB，在△ABC和△EFD中，∵∠ABC=∠EFD=90°∠ADM=∠ACB∴△ABC≌△EFD（（2）證明：∵△ABC≌∴DF=BC，EF=AB，∵∠ABC=90°，∠G=45°，∠EFD=90°，∴∠BCG=∠FEG=∠G=45°，∴AB=EF=FG，DF=BC=BG，∴AB?BF=FG?BF，即AF=BG=DF，∵∠EFD=90°，∴EA=ED．【點睛】本題考查全等三角形的性質和判定，垂直平分線的性質，等腰三角形的判定等．（1）中能利用同角的余角相等證明∠ADM=∠ACB是解題關鍵；（2）中能結合圖形得出△EFG和△CBG都為等腰直角三角形是解題關鍵．19．（2022·江蘇鹽城·八年級開學考試）如圖，點C在線段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求證：（1）△ACD≌△BEC；

（2）CF⊥DE．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線性質求出∠A=∠B，根據(jù)SAS推出即可．（2）根據(jù)全等三角形性質推出CD=CE，根據(jù)等腰三角形性質求出即可．【詳解】證明：（1）∵AD//BE，∴∠A=∠B，在ΔACD和ΔBEC中{∴ΔACD?ΔBEC(SAS)，（2）∵ΔACD?ΔBEC，∴CD=CE，又∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE．【點睛】本題考查了平行線性質，全等三角形的性質和判定，等腰三角形性質的應用，解題的關鍵是：注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．20．（2021·江蘇泰州·八年級期末）如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，過點O作MN∥BC．分別交AB、AC于M、N．（1）求證：BM+CN＝MN．（2）如圖2，若△ABC是等邊三角形，請從以下兩個問題任選一題作答．若兩題都作答，以問題①計分．問題①BC＝6，求MN的長．問題②求證：O是MN的中點．【答案】（1）見解析；（2）①MN=4；②見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線定義和平行線的性質可證得∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO，再根據(jù)等角對等邊的性質可得BM=MO，CN=ON，再由MO+ON=MN即可證得結論；（2）①過M、N分別作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，可證得四邊形MEFN為平行四邊形，可得MN=EF，再根據(jù)等邊三角形的性質可得∠ABC=∠ACB=60°，進而有∠BME=∠CNF=30°，根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半可證得BE=12BM，CF=12CN，由BC=BE+EF+CF和BM+CN=MN可得BC=②過M、N分別作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，可證得四邊形MEFN為平行四邊形，可得ME=NF，再根據(jù)等邊三角形的性質可得∠ABC=∠ACB，再根據(jù)全等三角形的判定可證得△MEB≌△NFC，則有BM=CN，由（1）中BM=MO，CN=ON可得MO=ON，即可證得結論．【詳解】（1）證明：∵BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=∠MBO，∠OCB=∠NCO，∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO，∴BM=MO，CN=ON，∴BM+CN=MO+ON=MN，即BM+CN=MN；（2）若選①，解：如圖2，過M、N分別作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，則ME∥NF,∠MEB=∠NFC=90°，∵MN∥BC，∴四邊形MEFN為平行四邊形，∴MN=EF，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，又∠MEB=∠NFC=90°，∴∠BME=∠CNF=30°，∴BE=12BM，CF=1∵BC=BE+EF+CF=12BM+MN+12CN=∴MN=4；若選②，證明：如圖2，過M、N分別作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，則ME∥NF，∠MEB=∠NFC=90°∵MN∥BC，∴四邊形MEFN為平行四邊形，∴ME=NF，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，又∠MEB=∠NFC=90°，∴△MEB≌△NFC（AAS），∴BM=CN，∵BM=MO，CN=ON∴MO=ON，即O為MN的中點．【點睛】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質、等腰三角形的判定、等邊三角形的性質、平行四邊形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握各知識點的運用，借助作輔助線進行計算或證明解答的關鍵．21．（2021·江蘇蘇州·一模）已知：在RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為BC邊中點.點M為線段BC上的一個動點（不與點C，點D重合），連接AM，將線段AM繞點M順時針旋轉90°，得到線段ME，連接EC．（1）如圖1，若點M在線段BD上，求∠MCE的度數(shù)；（2）如圖2，若點M在線段CD上，試探究線段AC、CE、CM之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．【答案】（1）∠MCE=45°；（2）AC=CE+2【解析】【分析】（1）過點M作BC邊的垂線交CA延長線于點F，先判斷出∠FMA＝∠CME，再判斷出FM＝MC，進而判斷出△FAM≌△CME（SAS），即可得出結論；（2）過點M作BC邊的垂線交CA于點F，先判斷出∠FMA＝∠CME，再判斷出FM＝MC，進而判斷出△FAM≌△CME（SAS），進而得出AF＝CM，最后用勾股定理即可得出結論．【詳解】（1）如圖，過點M作BC邊的垂線交CA延長線于點F，∴∠FMC＝90°，∴∠FMA＋∠AMC＝90°，∵將線段AM繞點M順時針旋轉90°，得到線段ME，∴∠AME＝90°，∴∠CME＋∠AMC＝90°，∴∠FMA＝∠CME，在Rt△FMC中，∠FCM＝45°，∴∠F＝∠FCM＝45°，∴FM＝MC，在△FMA和△CME中，F(xiàn)M=MC∠FMA=∠CME∴△FAM≌△CME（SAS），∴∠MCE＝∠F＝45°；（2）AC=CE+2如圖，過點M作BC邊的垂線交CA于點F，∴∠FMC＝90°，∴∠FMA＋∠AMC＝90°，∵將線段AM繞點M順時針旋轉90°，得到線段ME，∴∠AME＝90°，∴∠CME＋∠AMC＝90°，∴∠FMA＝∠CME，在Rt△FMC中，∠FCM＝45°，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴FM=CM，在△FMA和△CME中，F(xiàn)M=CM∴△FAM≌△CME（SAS），∴AF=CE，在Rt△CMF中，CF=F∴AC?CE=AC?AF=CF=2即AC=CE+2【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，勾股定理，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．22．（2021·江蘇泰州·一模）已知：如圖1，△ACD中，AD≠CD．（1）請你以AC為一邊，在AC的同側構造一個與△ACD全等的三角形△ACE，畫出圖形；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）參考（1）中構造全等三角形的方法解決下面問題：如圖2，在四邊形ABCD中①∠ACB+∠CAD=180°；②∠B=∠D；③CD=AB．請在上述三條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結論組成一個命題．試判斷這個命題是否正確，并說明理由你選擇的條件是________，結論是_______（只要填寫序號）【答案】（1）作圖見詳解；（2）①②；③【解析】【分析】（1）以點A為圓心AC為半徑畫弧，再以點C為圓心AD長為半徑畫弧，兩個弧的交點為點E，連接AE，CE，即可；（2）延長DA至點E，使AE=CB，連接CE，證明△ABC≌△CEA，可得∠B=∠E，AB=CE，進而即可得到結論．【詳解】解：（1）如圖所示：（2）選擇的條件是①②，結論是③，理由如下：延長DA至點E，使AE=CB，連接CE，∵∠ACB+∠CAD=180°，∠DAC+∠EAC=180°，∴∠ACB=∠EAC，在△ABC和△CEA中，∵AE=CB∠ACB=∠EAC∴△ABC≌△CEA，∴∠B=∠E，AB=CE，∵∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∴CD=AB，故答案是：①②；③．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的判定定理，添加輔助線構造全等三角形，是解題的關鍵．23．（2022·江蘇淮安·七年級期末）學完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡稱“HL”定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．(1)如圖1，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC和DB交于點E，則線段AE和線段(2)如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E分別在邊AC、AB上，且CE=