不等式講義知識點詳解例題習(xí)題含詳細(xì)復(fù)習(xí)資料

不等式講義最新考綱：1.理解絕對值的幾何意義，并了解以下不等式成立的幾何意義及取等號的條件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會證明.4.通過一些簡單問題了解證明不等式的根本方法：比擬法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法．1．含有絕對值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f(x)|<a(a>0)?－a<f(x)<a；(3)對形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用絕對值不等式的幾何意義求解．2．含有絕對值的不等式的性質(zhì)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.問題探究：不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝〞成立的條件分別是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右側(cè)“＝〞成立的條件是ab≥0，左側(cè)“＝〞成立的條件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右側(cè)“＝〞成立的條件是ab≤0，左側(cè)“＝〞成立的條件是ab≥0且|a|≥|b|.3．根本不等式定理1：設(shè)a，b∈R，則a2＋b2≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．定理2：如果a、b為正數(shù)，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．定理3：如果a、b、c為正數(shù)，則eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立．定理4：(一般形式的算術(shù)—幾何平均值不等式)如果a1、a2、…、an為n個正數(shù)，則eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時，等號成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d為實數(shù)，則(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時等號成立．(2)假設(shè)ai，bi(i∈N*)為實數(shù)，則(eq\i\su(i＝1,n,a)eq\o\al(2,i))(eq\i\su(i＝1,n,b)eq\o\al(2,i))≥(eq\i\su(i＝1,n,a)ibi)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時，等號成立．(3)柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β為平面上的兩個向量，則|α|·|β|≥|α·β|，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個向量同向或反向時等號成立．1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√〞或“×〞)(1)對|a＋b|≥|a|－|b|當(dāng)且僅當(dāng)a>b>0時等號成立．()(2)對|a－b|≤|a|＋|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時等號成立．()(3)|ax＋b|≤c(c>0)的解等價于－c≤ax＋b≤c.()(4)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集為?.()(5)假設(shè)實數(shù)x、y適合不等式xy>1，x＋y>－2，則x>0，y>0.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√(5)√2．不等式|2x－1|－x<1的解集是()A．{x|0<x<2} B．{x|1<x<2}C．{x|0<x<1} D．{x|1<x<3}[解析]解法一：x＝1時，滿足不等關(guān)系，排除C、D、B，應(yīng)選A.解法二：令f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥\f(1,2)，,1－3x，x<\f(1,2)，))則f(x)<1的解集為{x|0<x<2}．[答案]A3．設(shè)|a|<1，|b|<1，則|a＋b|＋|a－b|及2的大小關(guān)系是A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比擬大小[解析]|a＋b|＋|a－b|≤|2a[答案]B4．假設(shè)a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，則eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)的最大值為()A．1 B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．2[解析](eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c))2＝(1×eq\r(a)＋1×eq\r(b)＋1×eq\r(c))2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,3)時，等號成立．∴(eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c))2≤3.故eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)的最大值為eq\r(3).故應(yīng)選C.[答案]C5．假設(shè)存在實數(shù)x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．[解析]利用數(shù)軸及不等式的幾何意義可得x到a及到1的距離和小于3，所以a的取值范圍為－2≤a≤4.[答案]－2≤a≤4考點一含絕對值的不等式的解法解|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型不等式，其一般步驟是：(1)令每個絕對值符號里的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根．(2)把這些根由小到大排序，它們把定義域分為假設(shè)干個區(qū)間．(3)在所分區(qū)間上，去掉絕對值符號組成假設(shè)干個不等式，解這些不等式，求出它們的解集．(4)這些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解絕對值不等式的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)娜サ艚^對值符號．(1)(2021·山東卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)(2)(2021·湖南卷)假設(shè)關(guān)于x的不等式|ax－2|<3的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)<x<\f(1,3)))))，則a＝________.[解題指導(dǎo)]切入點：“脫掉〞絕對值符號；關(guān)鍵點：利用絕對值的性質(zhì)進展分類討論．[解析](1)當(dāng)x<1時，不等式可化為－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，顯然成立，所以此時不等式的解集為(－∞，1)；當(dāng)1≤x≤5時，不等式可化為x－1＋(x－5)<2，即2x－6<2，解得x<4，又1≤x≤5，所以此時不等式的解集為[1,4)；當(dāng)x>5時，不等式可化為(x－1)－(x－5)<2，即4<2，顯然不成立，所以此時不等式無解．綜上，不等式的解集為(－∞，4)．應(yīng)選A.(2)∵|ax－2|<3，∴－1<ax<5.當(dāng)a>0時，－eq\f(1,a)<x<eq\f(5,a)，及條件不符；當(dāng)a＝0時，x∈R，及條件不符；當(dāng)a<0時，eq\f(5,a)<x<－eq\f(1,a)，又不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)<x<\f(1,3)))))，故a＝－3.[答案](1)A(2)－3用零點分段法解絕對值不等式的步驟：(1)求零點；(2)劃區(qū)間、去絕對值號；(3)分別解去掉絕對值的不等式；(4)取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值．對點訓(xùn)練函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)當(dāng)a＝－3時，求不等式f(x)≥3的解集；(2)假設(shè)f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范圍．[解](1)當(dāng)a＝－3時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋5，x≤2，,1，2<x<3，,2x－5，x≥3.))當(dāng)x≤2時，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；當(dāng)2<x<3時，f(x)≥3無解；當(dāng)x≥3時，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集為{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.當(dāng)x∈[1,2]時，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|?4－x－(2－x)≥|x＋a|?－2－a≤x≤2－a.由條件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故滿足條件的a的取值范圍為[－3,0]．考點二利用絕對值的幾何意義或圖象解不等式對于形如|x－a|＋|x－b|>c或|x－a|＋|x－b|<c的不等式，利用絕對值的幾何意義或者畫出左、右兩邊函數(shù)的圖象去解不等式，更為直觀、簡捷，它表達(dá)了數(shù)形結(jié)合思想方法的優(yōu)越性．|x－a|＋|x－b|的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點及點a和點b的距離之和，應(yīng)注意x的系數(shù)為1.(1)(2021·重慶卷)假設(shè)不等式|x－1|＋|x＋2|≥a2＋eq\f(1,2)a＋2對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．(2)不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集為R，則實數(shù)k的取值范圍是__________．[解題指導(dǎo)]切入點：絕對值的幾何意義；關(guān)鍵點：把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題．[解析](1)∵|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x－2)|＝3，∴a2＋eq\f(1,2)a＋2≤3，解得eq\f(－1－\r(17),4)≤a≤eq\f(－1＋\r(17),4).即實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－1－\r(17),4)，\f(－1＋\r(17),4))).(2)解法一：根據(jù)絕對值的幾何意義，設(shè)數(shù)x，－1,2在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為P，A，B，則原不等式等價于PA－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|xk<－3時，原不等式恒成立．解法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3，x≤－1，,2x－1，－1<x<2，,3，x≥2，))要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，從圖象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3滿足題意．[答案](1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－1－\r(17),4)，\f(－1＋\r(17),4)))(2)(－∞，－3)解含參數(shù)的不等式存在性問題，只要求出存在滿足條件的x即可；不等式的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為最值問題，即f(x)<a恒成立?a>f(x)max，f(x)>a恒成立?a<f(x)min.對點訓(xùn)練(2021·唐山一模)函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.(1)假設(shè)當(dāng)g(x)≤5時，恒有f(x)≤6，求a的最大值；(2)假設(shè)當(dāng)x∈R時，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍．[解](1)g(x)≤5?|2x－1|≤5?－5≤2x－1≤5?－2≤x≤3；f(x)≤6?|2x－a|≤6－a?a－6≤2x－a≤6－a?a－3≤x≤3.依題意有，a－3≤－2，a≤1.故a的最大值為1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，當(dāng)且僅當(dāng)(2x－a)(2x－1)≤0時等號成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范圍是[2，＋∞)．考點三不等式的證明及應(yīng)用不等式的證明方法很多，解題時既要充分利用條件，又要時刻瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)，既不僅要搞清是什么，還要搞清干什么，只有兼顧條件及結(jié)論，才能找到正確的解題途徑．應(yīng)用根本不等式時要注意不等式中等號成立的條件．(2021·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，證明：(1)假設(shè)ab>cd，則eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)；(2)eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|<|c－d|的充要條件．[解題指導(dǎo)]切入點：不等式的性質(zhì)；關(guān)鍵點：不等式的恒等變形．[證明](1)因為(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(c)＋eq\r(d))2＝c＋d＋2eq\r(cd)，由題設(shè)a＋b＝c＋d，ab>cd得(eq\r(a)＋eq\r(b))2>(eq\r(c)＋eq\r(d))2.因此eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d).(2)①假設(shè)|a－b|<|c－d|，則(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因為a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d).②假設(shè)eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)，則(eq\r(a)＋eq\r(b))2>(eq\r(c)＋eq\r(d))2，即a＋b＋2eq\r(ab)>c＋d＋2eq\r(cd).因為a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.綜上，eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|<|c－d|的充要條件．分析法是證明不等式的重要方法，當(dāng)所證不等式不能使用比擬法且及重要不等式、根本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆．對點訓(xùn)練(2021·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1.證明：(1)ab＋bc＋ac≤eq\f(1,3)；(2)eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.[證明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).(2)因為eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.所以eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.———————方法規(guī)律總結(jié)————————[方法技巧]1．絕對值不等式求解的根本方向是去除絕對值符號．2．絕對值不等式在求及絕對值運算有關(guān)的最值問題時需靈活運用，同時還要注意等號成立的條件．3．在證明不等式時，應(yīng)根據(jù)命題提供的信息選擇適宜的方法及技巧．如在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù)．[易錯點睛]1．對含有參數(shù)的不等式求解時，分類要完整．2．應(yīng)用根本不等式和柯西不等式證明時要注意等號成立的條件．課時跟蹤訓(xùn)練(七十)一、填空題1．不等式|2x－1|<3的解集為__________．[解析]|2x－1|<3?－3<2x－1<3?－1<x<2.[答案](－1,2)2．假設(shè)不等式|kx－4|≤2的解集為{x|1≤x≤3}，則實數(shù)k＝__________.[解析]∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集為{x|1≤x≤3}，∴k＝2.[答案]23．不等式|2x＋1|＋|x－1|<2的解集為________．[解析]當(dāng)x≤－eq\f(1,2)時，原不等式等價為－(2x＋1)－(x－1)<2，即－3x<2，x>－eq\f(2,3)，此時－eq\f(2,3)<x≤－eq\f(1,2).當(dāng)－eq\f(1,2)<x<1時，原不等式等價為(2x＋1)－(x－1)<2，即x<0，此時－eq\f(1,2)<xx≥1時，原不等式等價為(2x＋1)＋(x－1)<2，即3x<2，x<eq\f(2,3)，此時不等式無解，綜上，原不等式的解為－eq\f(2,3)<x<0，即原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0)).[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))4．關(guān)于x的不等式|x－1|＋|x|≤k無解，則實數(shù)k的取值范圍是__________．[解析]∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴當(dāng)k<1時，不等式|x－1|＋|x|≤k無解，故k<1.[答案](－∞，1)5．(2021·西安統(tǒng)考)假設(shè)關(guān)于實數(shù)x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a無解，則實數(shù)a的取值范圍是________．[解析]|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，故a≤8.[答案](－∞，8]6．(2021·重慶卷)假設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值為5，則實數(shù)a＝__________.[解析]當(dāng)a＝－1時，f(x)＝3|x＋1|≥0，不滿足題意；當(dāng)a<－1時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x－1＋2a，x≤a，,x－1－2a，a<x≤－1，,3x＋1－2a，x>－1，))f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，解得a＝－6；當(dāng)a>－1時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x－1＋2a，x≤－1，,－x＋1＋2a，－1<x≤a，,3x＋1－2a，x>a，))f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，解得a＝4.[答案]－6或47．假設(shè)關(guān)于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是__________．[解析]∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋1x≤－1，,3－1<x<2，,2x－1x≥2，))∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.[答案](－∞，－3]∪[3，＋∞)8．關(guān)于x的不等式|x－a|＋1－x>0的解集為R，則實數(shù)a的取值范圍是__________．[解析]假設(shè)x－1<0，則a∈R；假設(shè)x－1≥0，則(x－a)2>(x－1)2對任意的x∈[1，＋∞)恒成立，即(a－1)[(a＋1)－2x]>0對任意的x∈[1，＋∞)恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1>0，,a＋1>2x，))(舍去)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1<0，,a＋1<2x，))對任意的x∈[1，＋∞]恒成立，解得a<1.綜上，a<1.[答案](－∞，1)9．設(shè)a，b，c是正實數(shù)，且a＋b＋c＝9，則eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＋eq\f(2,c)的最小值為__________．[解析]∵(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(2,b)＋\f(2,c)))＝[(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2＋(eq\r(c))2]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(2,a))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(2,b))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(2,c))))2))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)·\r(\f(2,a))＋\r(b)·\r(\f(2,b))＋\r(c)·\r(\f(2,c))))2＝18，∴eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＋eq\f(2,c)≥2，∴eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＋eq\f(2,c)的最小值為2.[答案]210．(2021·陜西卷)設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則eq\r(m2＋n2)的最小值為________．[解析]由柯西不等式，得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(am＋bn)2，即5(m2＋n2)≥25，∴m2＋n2≥5，當(dāng)且僅當(dāng)an＝bm時，等號成立．∴eq\r(m2＋n2)的最小值為eq\r(5).[答案]eq\r(5)11．對任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值為__________．[解析]∵|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|＝(|1－x|＋|x|)＋(|1－y|＋|1＋y|)≥|(1－x)＋x|＋|(1－y)＋(1＋y)|＝1＋2＝3，當(dāng)且僅當(dāng)(1－x)·x≥0，(1－y)·(1＋y)≥0，即0≤x≤1，－1≤y≤1時等號成立，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值為3.[答案]312．假設(shè)不等式|x＋1|－|x－4|≥a＋eq\f(4,a)，對任意的x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．[解析]只要函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|x－4|的最小值不小于a＋eq\f(4,a)即可．由于||x＋1|－|x－4||≤|(x＋1)－(x－4)|＝5，所以－5≤|x＋1|－|x－4|≤5，故只要－5≥a＋eq\f(4,a)即可．當(dāng)a>0時，將不等式－5≥a＋eq\f(4,a)整理，得a2＋5a＋4≤0，無解；當(dāng)a<0時，將不等式－5≥a＋eq\f(4,a)整理，得a2＋5a＋4≥0，則有a≤－4或－1≤a<0.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－4]∪[－1,0)．[答案](－∞，－4]∪[－1,0)二、解答題13．不等式2|x－3|＋|x－4|<2a(1)假設(shè)a＝1，求不等式的解集；(2)假設(shè)不等式的解集不是空集，求a的取值范圍．[解](1)當(dāng)a＝1時，不等式即為2|x－3|＋|x－4|<2，假設(shè)x≥4，則3x－10<2，x<4，∴舍去；假設(shè)3<x<4，則x－2<2，∴3<x<4；假設(shè)x≤3，則10－3x<2，∴eq\f(8,3)<x≤3.綜上，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)<x<4)))).(2)設(shè)f(x)＝2|x－3|＋|x－4|，則f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－10，x≥4，,x－2，3<x<4，,10－3x，x≤3.))作出函數(shù)f(x)的圖象，如下圖．由圖象可知，f(x)≥1，∴2a>1，a>eq\f(1,2)，即a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).14．(2021·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)當(dāng)a＝1時，求不等式f(x)>1的解集；(2)假設(shè)f(x)的圖象及x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍．[解](1)當(dāng)a＝1時，f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0.當(dāng)x≤－1時，不等式化為x－4>0，無解；當(dāng)－1<x<1時，不等式化為3x－2>0，解得eq\f(2,3)<x<1；當(dāng)x≥1時，不等式化為－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)<x<2)))).(2)由題設(shè)可得，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1－2a，x<－1，,3x＋1－2a，－1≤x≤a，,－x＋1＋2a，x>a.))所以函數(shù)f(x)的圖象及x軸圍成的三角形的三個頂點分別為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a－1,3)，0))，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面積為eq\f(2,3)(a＋1)2.由題設(shè)得eq\f(2,3)(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范圍為(2，＋∞)．15．設(shè)函數(shù)f(x)＝|