2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 16 第二章 第八節(jié) 函數(shù)與方程

第八節(jié)函數(shù)與方程考試要求：1．借助函數(shù)圖象，會用數(shù)學(xué)語言表示函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解實際意義．2．理解單調(diào)性、最值及其幾何意義．自查自測知識點一函數(shù)的零點1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)函數(shù)f(x)的零點，即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點.(×)(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時沒有零點．(√)(3)函數(shù)f(x)＝lgx的零點是(1，0)．(×)2．(教材改編題)函數(shù)f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零點為－2，2，1，核心回扣1．定義：使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．2．三個等價關(guān)系：注意點：函數(shù)的零點不是一個“點”，而是方程f(x)＝0的實數(shù)解，是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的公共點的橫坐標．自查自測知識點二函數(shù)零點存在定理1．(教材改編題)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中的函數(shù)零點的是(C)2.函數(shù)f(x)＝lnx－2x的零點所在的大致范圍是(BA．(1，2) B．(2，3)C．1e，1和核心回扣函數(shù)零點存在定理(1)條件：①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．②f(a)·f(b)＜0．(2)結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．注意點：由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如圖所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件．【常用結(jié)論】1．已知函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)，且f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，若f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)f(x)在(a，b)上有且只有一個零點．2．連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號．3．周期函數(shù)如果存在零點，則必有無窮個零點．應(yīng)用(多選題)有如下說法，其中正確的有()A．函數(shù)f(x)的零點為x0，則函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(x0，0)時，函數(shù)值一定變號B．連續(xù)不斷的函數(shù)，相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號C．函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，若滿足f(a)·f(b)<0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上一定有實根D．“二分法”對連續(xù)不斷的函數(shù)的所有零點都有效BC解析：由結(jié)論知A錯誤，B正確，由函數(shù)零點存在定理可得C正確．由于“二分法”是針對連續(xù)不斷的函數(shù)的變號零點而言的，所以D錯誤．故選BC．判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間1．函數(shù)f(x)＝x＋lnx－3的零點所在的區(qū)間為()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)C解析：(方法一)因為函數(shù)f(x)是增函數(shù)，且f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3>0，所以由函數(shù)零點存在定理，得函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2，3)上．故選C．(方法二)函數(shù)f(x)＝x＋lnx－3的零點所在區(qū)間轉(zhuǎn)化為g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋3的圖象的交點橫坐標所在的范圍．如圖所示，可知函數(shù)f(x)的零點在(2，3)內(nèi)．2．(多選題)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，則下列說法錯誤的有()A．若f(a)f(b)>0，則不存在實數(shù)c∈[a，b]，使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)<0，則存在且只存在一個實數(shù)c∈[a，b]，使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)>0，則可能存在實數(shù)c∈[a，b]，使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)<0，則可能不存在實數(shù)c∈[a，b]，使得f(c)＝0ABD解析：取f(x)＝x2－1，x∈[－2，2]，滿足f(－2)f(2)>0，但是f(x)在[－2，2]內(nèi)存在兩個零點－1，1，故A錯誤，C正確；取f(x)＝sinx，x∈π6，19π6，滿足fπ6f19π6＝12×-12＝－14＜0，但是f(x)在π6，3．函數(shù)f(x)＝2x＋14x－5的零點x0∈[a－1，a]，a∈N*，則a＝(A．1 B．2C．3 D．4C解析：因為f(1)＝2＋14－5<0，f(2)＝4＋12－5<0，f(3)＝8＋34－5>0，所以f(2)·f(3)<0，可知函數(shù)零點所在區(qū)間為[2，3]，故確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．確定函數(shù)零點的個數(shù)【例1】(1)已知函數(shù)f(x)＝12x，x≤0，log2x，x>0，則函數(shù)A．0 B．1C．2 D．3C解析：當(dāng)x≤0時，由g(x)＝0，得12x＝12，解得x＝1(舍去)；當(dāng)x＞0時，由g(x)＝0，得|log2x|＝12，即log2x＝－12或log2x＝12，解得x＝22或x＝(2)已知函數(shù)y＝f(x)是周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈[－1，1]時，f(x)＝2|x|－1，則函數(shù)F(x)＝f(x)－|lgx|的零點個數(shù)是()A．9 B．10C．11 D．18B解析：由題意，分別畫出函數(shù)y＝f(x)和y＝|lgx|的圖象，如圖所示．由圖可知，y＝f(x)與y＝|lgx|的圖象共有10個交點，故原函數(shù)有10個零點．函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法(1)直接求零點：令f(x)＝0，有幾個解就有幾個零點．(2)函數(shù)零點存在定理：要求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)的零點個數(shù)．(3)利用函數(shù)圖象：作出兩函數(shù)的圖象，觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù)．1．函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，1)內(nèi)的零點個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3B解析：(方法一)因為f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增且連續(xù)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有且只有1個零點．(方法二)設(shè)y1＝2x，y2＝2－x3，在同一平面直角坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象如圖所示．由圖可知，兩圖象在(0，1)內(nèi)的交點個數(shù)即f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)的零點個數(shù)，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有且只有1個零點．2．函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內(nèi)的零點的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3C解析：由題意可知f(x)的定義域為(0，＋∞)．在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)y＝|x－2|(x>0)，y＝lnx(x>0)的圖象如圖所示．由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點個數(shù)為2.函數(shù)零點的應(yīng)用考向1根據(jù)函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)【例2】函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間12，3上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．2，52 D解析：由題意，知方程ax＝x2＋1在12，3上有解，即a＝x＋1x在12，3上有解．設(shè)t＝x＋1x，x∈12，3，則t′＝1－1x2＝x2－1x2，所以函數(shù)t＝x＋1x在12，1上單調(diào)遞減，在(1，3)上單調(diào)遞增．又當(dāng)x＝12時，t＝52；當(dāng)x＝1時，根據(jù)函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)的步驟考向2根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)【例3】(2024·黃岡模擬)設(shè)min{m，n}表示m，n中的較小數(shù)(當(dāng)m＝n時，min{m，n}＝m＝n)．若函數(shù)f(x)＝min{|x|－1，2x2－ax＋a＋6}至少有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[12，＋∞) B．(－∞，－4]∪(12，＋∞)C．(－∞，－4)∪[12，＋∞) D．(－∞，－4)A解析：由題意，得g(x)＝2x2－ax＋a＋6＝0必有解，所以Δ＝a2－8(a＋6)≥0，解得a≤－4或a≥12.結(jié)合圖象(圖象略)，知當(dāng)a≥12時，必有a4≥3，且g(1)＝2－a＋a＋6＝8＞0，此時f(x)有4個零點；當(dāng)a≤－4時，a4≤－1，且g(－1)＝2a＋8≤0，此時f(x綜上所述，a≥12，即a的取值范圍為[12，＋∞)．故選A．利用函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的方法由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)問題，可采用數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，變?yōu)殛P(guān)于兩個函數(shù)的方程，再在同一平面直角坐標系中，畫出兩個函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合求解．1．(2024·聊城模擬)函數(shù)f(x)＝log2x＋x2＋m在區(qū)間(2，4)上存在零點，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－18) B．(5，＋∞)C．(5，18) D．(－18，－5)D解析：由題意，知函數(shù)f(x)＝log2x＋x2＋m在區(qū)間(2，4)上單調(diào)遞增且存在零點，所以由函數(shù)零點存在定理得f(2)·f(4)<0，即(m＋5)(m＋18)<0，解得－18<m<－5，所以實數(shù)m的取值范圍是(－18，－5)．故選D．2．若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個零點分別在區(qū)間(－1，0)和區(qū)間(1，2)內(nèi)，則m的取值范圍是________.14，12解析：依題意，結(jié)合函數(shù)數(shù)f(x)的圖象(圖象略)，分析可知m需滿足m≠2，f-1課時質(zhì)量評價(十三)1．函數(shù)f(x)＝1x－lnx＋2的零點所在的大致區(qū)間為(A．(1，e) B．(e，e2)C．(e2，e3) D．(e3，e4)C解析：f(x)＝1x－lnx＋2在(0，＋∞)上連續(xù)不斷，且單調(diào)遞減，f(1)＝3>0，f(e)＝1e＋1>0，f(e2)＝1e2>0，f(e3)＝1e3－1＜0，f(e4)＝1e4－2<0，所以零點位于(e22．(2024·大慶模擬)函數(shù)f(x)＝x2+x－A．3 B．2C．1 D．0B解析：由f(x)＝0，得x≤0，x2+x－2＝0或x>0，－1+lnx＝3．方程x2＝2x的實數(shù)解為()A．2 B．4C．2或4 D．以上答案都不對D解析：由于22＝22，42＝24，所以2或4是方程x2＝2x的實數(shù)解．當(dāng)－2＜x＜0時，令f(x)＝x2－2x，由于f(x)的圖象在(－2，0)上連續(xù)不斷，且f(－2)＝4－14＞0，f(0)＝－1＜0，由函數(shù)零點存在定理，可知存在x0∈(－2，0)，使得f(x0)＝0，故x＝x0是x2＝2x的一個實數(shù)根．故選D4．(多選題)若函數(shù)f(x)＝2x－a，x≤A．－1 B．1C．1 D．2BC解析：當(dāng)x>0時，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，所以當(dāng)x≤0時，函數(shù)f(x)＝2x－a有一個零點．又因為f(x)＝2x－a在(－∞，0]上單調(diào)遞增，所以令f(x)＝0，得a＝2x∈(0，1].故選BC．5．函數(shù)f(x)＝x·2x－kx－2在區(qū)間(1，2)上有零點，則實數(shù)k的取值范圍是________.(0，3)解析：令f(x)＝0，所以x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－2x，即y＝k與y＝2x－2x，x∈(1，2)的圖象有交點．又y＝2x－2x在(1，2)上單調(diào)遞增，且21－21＝0，22－22＝36．一塊電路板的線路AB之間有64個串聯(lián)的焊接點(不含端點A，B)，如果線路不通的原因是由于焊口脫落所致，要想確保檢驗出哪一處的焊口脫落，則至少需要檢測______次．6解析：第1次取中點把焊點數(shù)減半為642＝32，第2次取中點把焊點數(shù)減半為322＝16，…，第6次取中點把焊點數(shù)減半為22＝7．(2024·德州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex，x≤0，lnx，x>0，g(x)＝f(x)＋x＋(－∞，－1)解析：令h(x)＝－x－a，則g(x)＝f(x)－h(huán)(x)，在同一平面直角坐標系中畫出y＝f(x)，y＝h(x)圖象的示意圖，如圖所示．若g(x)存在2個零點，則y＝f(x)的圖象與y＝h(x)的圖象有2個交點．結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線y＝－x－a過點(0，1)時，有2個交點，此時1＝－0－a，得a＝－1；當(dāng)y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1時，僅有1個交點，符合題意；當(dāng)y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1時，有2個交點，不符合題意．綜上，a的取值范圍為(－∞，－1)．8．(新定義)若平面直角坐標系內(nèi)A，B兩點滿足點A，B都在函數(shù)f(x)的圖象上，且點A，B關(guān)于原點對稱，則稱點對(A，B)是函數(shù)f(x)的一個“和諧點對”．已知函數(shù)f(x)＝x2+2x，x<0，2ex，A．1個 B．2個C．3個 D．4個B解析：如圖所示，作出函數(shù)y＝x2＋2x(x<0)的圖象關(guān)于原點對稱的圖象，看它與函數(shù)y＝2ex(x≥0)的圖象的交點個數(shù)即可，觀察圖象可得交點個數(shù)為2，即f(x)的“和諧點對”有2個．故選9．(2024·武漢模擬)已知x0是函數(shù)f(x)＝11－x＋lnx的一個零點，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)>0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)<0，f(x2