2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 18 第二章 第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用

第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用考試要求：1．在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律．2．結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問(wèn)題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線(xiàn)上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語(yǔ)的現(xiàn)實(shí)含義．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較1．判斷下列說(shuō)法的正誤，正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”．(1)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，若按九折出售，則每件還能獲利．(×)(2)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(×)(3)不存在x0，使ax0＜x0n＜logax0(a＞0，(4)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx+c(a≠0，b＞0，b≠1)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快的形象比喻.(×)2．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是(B)A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)核心回扣三種函數(shù)模型的性質(zhì)性質(zhì)函數(shù)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，有l(wèi)ogax＜xn＜ax.注意點(diǎn)：“直線(xiàn)上升”是勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；指數(shù)增長(zhǎng)先慢后快，其增長(zhǎng)量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容；對(duì)數(shù)增長(zhǎng)先快后慢，其增長(zhǎng)速度緩慢．利用函數(shù)的圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題1．(2024·泰安模擬)某工廠(chǎng)從2015年開(kāi)始，近八年以來(lái)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前四年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，后四年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度保持不變，則該廠(chǎng)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量y與時(shí)間t的函數(shù)圖象可能是()B解析：由題意可得圖象的幾何特征為從左向右看每個(gè)點(diǎn)的切線(xiàn)斜率應(yīng)逐漸減小，然后斜率變?yōu)橐粋€(gè)固定的值，符合此特征的只有選項(xiàng)B中的圖象．故選B．2．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿折線(xiàn)BC-CD-DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象是()D解析：依題意，知當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f(x)＝2x；當(dāng)4<x≤8時(shí)，f(x)＝8；當(dāng)8<x≤12時(shí)，f(x)＝24－2x.觀察四個(gè)選項(xiàng)知D項(xiàng)符合要求．3．(2022·北京卷)在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧做出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是()A．當(dāng)T＝220，P＝1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)B．當(dāng)T＝270，P＝128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)C．當(dāng)T＝300，P＝9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當(dāng)T＝360，P＝729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D解析：當(dāng)T＝220，P＝1026時(shí)，lgP>3，此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)T＝270，P＝128時(shí)，2<lgP<3，此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)T＝300，P＝9987時(shí)，lgP與4非常接近，此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)T＝360，P＝729時(shí)，2<lgP<3，此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確．故選D．判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇符合實(shí)際情況的答案．已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題1．某工廠(chǎng)生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬(wàn)元．總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)＝40Q－120Q2，則總利潤(rùn)L(Q)的最大值是________2500解析：由已知，得L(Q)＝K(Q)－10Q－2000＝40Q－120Q2－10Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500，因?yàn)椋?202．某市家庭煤氣的用氣量x(單位：m3)和煤氣費(fèi)f(x)(單位：元)滿(mǎn)足關(guān)系f(x)＝C，月份用氣量煤氣費(fèi)1月4m34元2月25m314元3月35m319元若4月該家庭使用了20m3的煤氣，則其煤氣費(fèi)為_(kāi)_______元．11.5解析：根據(jù)題意，分析可得f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝12，C＝4，所以fx＝4已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的解題關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn)．構(gòu)造函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題考向1指數(shù)(對(duì)數(shù))函數(shù)模型【例1】(2024·石家莊模擬)當(dāng)光線(xiàn)入射玻璃時(shí)，表現(xiàn)有反射、吸收和透射三種性質(zhì)．光線(xiàn)透過(guò)玻璃的性質(zhì)，稱(chēng)為“透射”，以透光率表示．已知某玻璃的透光率為90%(即光線(xiàn)強(qiáng)度減弱10%)，若光線(xiàn)強(qiáng)度要減弱到原來(lái)的125以下，則至少要通過(guò)這樣的玻璃的數(shù)量是(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈A．30塊 B．31塊C．32塊 D．33塊B解析：設(shè)原來(lái)的光線(xiàn)強(qiáng)度為a(a>0)，則要想通過(guò)n塊這樣的玻璃之后的光線(xiàn)強(qiáng)度減弱到原來(lái)的125以下，即a×(90%)n<125a，即0.9n<125.兩邊同時(shí)取以10為底的對(duì)數(shù)，得lg0.9n<lg125，化簡(jiǎn)得n>－指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用技巧(1)要先學(xué)會(huì)合理選擇模型．指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快(底數(shù)大于1)的一類(lèi)函數(shù)模型，與增長(zhǎng)率、銀行利率有關(guān)的問(wèn)題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)，一般先需要通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解最值問(wèn)題．考向2二次函數(shù)、分段函數(shù)模型【例2】民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村要振興，合作社助力鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興，農(nóng)民專(zhuān)業(yè)合作社已成為新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)主體和現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設(shè)的中堅(jiān)力量，為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略做出了巨大的貢獻(xiàn)．某農(nóng)民專(zhuān)業(yè)合作社為某品牌服裝進(jìn)行代加工，已知代加工該品牌服裝每年需投入固定成本30萬(wàn)元，每代加工x萬(wàn)件該品牌的服裝，需另投入f(x)萬(wàn)元，且f(x)＝12(1)求該農(nóng)民專(zhuān)業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工所獲年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)關(guān)于年代加工量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)解析式．(2)當(dāng)年代加工量為多少萬(wàn)件時(shí)，該農(nóng)民專(zhuān)業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費(fèi)的年利潤(rùn)最大？并求出年利潤(rùn)的最大值．解：(1)當(dāng)0<x≤10時(shí)，y＝12x－12x2+2x當(dāng)10<x≤50時(shí)，y＝12x－14x+故y＝－(2)當(dāng)0<x≤10時(shí)，函數(shù)y＝－12x2＋10x－30為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x所以y＝－12x2＋10x－故ymax＝－12×102＋10×10－當(dāng)10<x≤50時(shí)，y＝－2x－450x當(dāng)且僅當(dāng)2x＝450x，即x＝15時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)ymax因?yàn)?0<25，所以當(dāng)年代加工量為15萬(wàn)件時(shí)，該農(nóng)民專(zhuān)業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工所獲年利潤(rùn)最大，最大值為25萬(wàn)元．應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型．②建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型．③解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．④還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問(wèn)題．1.(2024·廣東一模)假設(shè)甲和乙剛開(kāi)始的“日能力值”相同，之后甲通過(guò)學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上進(jìn)步2%，而乙疏于學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上退步1%.那么，大約需要經(jīng)過(guò)()天，甲的“日能力值”是乙的20倍．(參考數(shù)據(jù)：lg102≈2.0086，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010)(B)A．23 B．100C．150 D．2322．某工廠(chǎng)生產(chǎn)某種零件的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一個(gè)零件要增加投入100元，已知總收入Q(單位：元)與產(chǎn)量x(單位：個(gè))滿(mǎn)足函數(shù)Q(x)＝400(1)將利潤(rùn)P(單位：元)表示為產(chǎn)量x的函數(shù)(總收入＝總成本＋利潤(rùn))．(2)當(dāng)產(chǎn)量為何值時(shí)，零件的單位利潤(rùn)最大？最大單位利潤(rùn)是多少元(單位利潤(rùn)＝利潤(rùn)÷產(chǎn)量)?解：(1)當(dāng)0≤x≤400時(shí)，P(x)＝400x－12x2－20000－100x＝－12x2＋300x當(dāng)x>400時(shí)，P(x)＝80000－100x－20000＝60000－100x.故P(x)＝－(2)設(shè)零件的單位利潤(rùn)為g(x)，由(1)可得g(x)＝－當(dāng)0≤x≤400時(shí)，g(x)＝300－12當(dāng)且僅當(dāng)x2＝20當(dāng)x>400時(shí)，g(x)＝60000故當(dāng)產(chǎn)量為200個(gè)時(shí)，零件的單位利潤(rùn)最大，最大單位利潤(rùn)是100元．課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(十四)1．(2024·棗莊模擬)某種動(dòng)物繁殖量y(單位：只)與時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y＝alog3(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只，到第8年它們將發(fā)展到()A．200只 B．300只C．400只 D．500只A解析：由題意，繁殖量y與時(shí)間x的關(guān)系為y＝alog3(x＋1)．又這種動(dòng)物第2年有100只，即當(dāng)x＝2時(shí)，y＝100，所以100＝alog3(2＋1)，解得a＝100，故y＝100log3(x＋1)．所以當(dāng)x＝8時(shí)，y＝100×log3(8＋1)＝100×2＝200.故選A．2．如圖所示，液體從一個(gè)圓錐形漏斗漏入一個(gè)圓柱形桶中，開(kāi)始時(shí)漏斗中盛滿(mǎn)液體，經(jīng)過(guò)3秒漏完，圓柱形桶中液面上升速度是一個(gè)常量，則漏斗中液面下降的高度H與下降時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象只可能是()B解析：由于所給的圓錐形漏斗上口徑大于下口徑，當(dāng)時(shí)間取12t時(shí)，漏斗中液面下降的高度不會(huì)達(dá)到漏斗高度的13．《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過(guò)5000元的部分不必納稅，超過(guò)5000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，此項(xiàng)稅款按下表分段累計(jì)計(jì)算：全月應(yīng)納稅所得額稅率不超過(guò)3000元的部分3%超過(guò)3000元至12000元的部分10%超過(guò)12000元至25000元的部分20%有一職工八月份收入20000元，該職工八月份應(yīng)繳納個(gè)稅為()A．2000元 B．1500元C．990元 D．1590元D解析：由題意，職工八月份收入為20000元，其中納稅部分為20000－5000＝15000(元)，其中不超過(guò)3000元的部分，納稅額為3000×3%＝90(元)，超過(guò)3000元至12000元的部分，納稅額為9000×10%＝900(元)，超過(guò)12000元至25000元的部分，納稅額為3000×20%＝600(元)，所以該職工八月份應(yīng)繳納個(gè)稅為90＋900＋600＝1590(元)．故選D．4．(新情境)北京時(shí)間2023年10月26日，神舟十七號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿(mǎn)成功．神舟十七號(hào)是我國(guó)載人航天工程進(jìn)入空間站應(yīng)用與發(fā)展階段的第二次載人飛行任務(wù)．載人飛船進(jìn)入太空需要搭載運(yùn)載火箭，火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪聲，用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)Lp＝20×lgpp0，其中大于0的常數(shù)p0是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，p是實(shí)際聲壓．聲壓級(jí)的單位為分貝(dB)，聲壓的單位為帕(Pa)．若人正常說(shuō)話(huà)的聲壓約為0.02Pa，且火箭發(fā)射時(shí)的聲壓級(jí)比人正常說(shuō)話(huà)時(shí)的聲壓級(jí)約大100A．2Pa B．20PaC．200Pa D．2000PaD解析：設(shè)人正常說(shuō)話(huà)時(shí)的聲壓級(jí)為L(zhǎng)p1，火箭發(fā)射時(shí)的聲壓級(jí)為L(zhǎng)p2，則Lp2–Lp1＝100.又人正常說(shuō)話(huà)的聲壓p1＝0.02Pa，火箭發(fā)射時(shí)的聲壓為p2，于是Lp15．某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來(lái)的發(fā)展機(jī)遇，開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入成本ω(x)萬(wàn)元，ω(x)＝x2A．720萬(wàn)元 B．800萬(wàn)元C．875萬(wàn)元 D．900萬(wàn)元C解析：由題意，設(shè)該企業(yè)每年利潤(rùn)為f(x)＝70x－x2+10x+25，0<x≤40，70x－71x+10000x－945+25，x>40.當(dāng)0<x≤40時(shí)，f(x)＝－x2＋60x6．如圖所示，學(xué)校要建造一面靠墻(墻足夠長(zhǎng))的2個(gè)面積相同的矩形花圃，如果可供建造圍墻的材料總長(zhǎng)是60m，要所建造的每個(gè)花圃的面積最大，則寬x應(yīng)為_(kāi)_______m.10解析：設(shè)每個(gè)花圃的面積為y，則y＝x·60－3x2＝－32x2+307．(2024·深圳模擬)某生物研究所于元旦在實(shí)驗(yàn)水域中放入一些鳳眼蓮，這些鳳眼蓮在水中的蔓延速度越來(lái)越快，二月底測(cè)得鳳眼蓮覆蓋面積為24m2，三月底測(cè)得鳳眼蓮覆蓋面積為36m2，鳳眼蓮覆蓋面積y(單位：m2)與月份x的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型y＝kax(k>0，a>1)與y＝px12＋q(p>0，(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；(2)求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入面積10倍以上的最小月份．(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)解：(1)函數(shù)y＝kax(k>0，a>1)與y＝px12＋q(p>0，q>0)在(0，＋隨著x的增加，函數(shù)y＝kax(k>0，a>1)的值增長(zhǎng)的越來(lái)越快，而函數(shù)y＝px12＋由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來(lái)越快，因此選擇模型y＝kax(k>0，