2025年高考數(shù)學總復習 33 課時質量評價(三十三)

課時質量評價(三十三)1．(2024·濰坊模擬)下列四個命題中的真命題是()A．如果一條直線與另兩條直線都相交，那么這三條直線必共面B．如果三條直線兩兩相交，那么它們能確定一個平面C．如果三條直線相互平行，那么這三條直線在同一個平面上D．如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線確定一個平面D解析：當三條直線交于同一點時，三條直線可能不共面，故A，B錯誤；當三條直線相互平行時，三條直線可能不共面，故C錯誤；如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線確定一個平面，故D正確．2．已知兩條不同的直線a，b及兩個不同的平面α，β，下列說法正確的是()A．若α∥β，a?α，b?β，則a∥bB．若α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線C．若α∥β，a?α，b?β，則a與b平行或異面D．若α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交C解析：若α∥β，a?α，b?β，則直線a，b沒有交點，故a與b平行或異面，故A，B錯誤，C正確；若α∩β＝b，a?α，當a∥b時，a與β平行，故D錯誤．3．(多選題)(2024·廣州模擬)下列命題正確的是()A．如果一條直線上的兩點到一個平面的距離相等，那么這條直線與這個平面平行B．兩條平行直線被兩個平行平面所截得的線段長度相等C．如果一個平面內一個銳角的兩邊分別平行于另一個平面內一個角的兩邊，那么這兩個平面平行D．如果一條直線垂直于一個平面內的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直BC解析：如果一條直線上兩點到一個平面的距離相等，那么這條直線可能在平面內，也可能與平面相交，故A錯誤；兩條平行直線被兩個平行平面所截得的線段長度相等，故B正確；如果一個平面內一個銳角的兩邊，分別平行于另一個平面內一個角的兩邊，由平面與平面平行的判定定理可知，這兩個平面平行，故C正確；如果一條直線垂直于一個平面內的無數(shù)條直線，當這無數(shù)條直線均平行時，不能得出直線與這個平面垂直，故D錯誤．4．(多選題)如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則下列命題中，正確的為()A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMNC．AC＝BD D．異面直線PM與BD所成的角為45?ABD解析：因為截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN.因為MN?平面ACD，PQ?平面ACD，PN?平面ABD，QM?平面ABD，所以PQ∥平面ACD，QM∥平面ABD.因為PQ?平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝AC，所以PQ∥AC.同理可得QM∥BD.由PQ⊥QM，可得AC⊥BD，故A正確．由PQ∥AC，PQ?平面PQMN，AC?平面PQMN，得AC∥截面PQMN，故B正確．因為BD∥PN，PQ∥AC，所以PNBD＝ANAD，MNAC＝DNAD.而AN≠DN，異面直線PM與BD所成的角等于PM與QM所成的角，即∠PMQ＝45?，故D正確．5．若正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，高為6，則直線AE1與EF所成角的大小為()A．π6 B．C．π3 D．C解析：如圖，連接AF1，AE1，AE.易知EF∥E1F1，所以直線AE1與EF所成的角為∠AE1F1(或其補角)．由題意知，在△AFE中，AF＝EF＝1，∠AFE＝2π3所以AE2＝AF2＋EF2－2AF·EF·cos∠AFE＝3.又FF1＝EE1＝6，所以AE12＝AE2+EE1所以AF12＝AF2+FF1在△AF1E1中，cos∠AE1F1＝AE12+E1FS412即直線AE1與EF所成角的大小為π36．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱CC1，BB1，DD1的中點，∠CGB＝70?，則∠ED1F＝________.70?解析：依題意，EC∥D1G且EC＝D1G，所以四邊形ECGD1為平行四邊形，所以GC∥D1E，同理可得GB∥D1F.又因為兩角的兩邊方向相同，所以∠ED1F＝∠CGB＝70?.7．如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有________對．3解析：畫出該正方體的直觀圖如圖所示，易知異面直線有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF)．故共有3對．8．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是________.相交、平行或異面解析：如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，①若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線B1A1記為直線c，此時a和c相交；②若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線DD1記為直線c，此時a和c平行；③若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線C1D1記為直線c，此時a和c異面．9．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝π2，AB＝2(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解：(1)由題意知PA為三棱錐P-ABC的高．因為∠BAC＝π2，AB＝2所以S△ABC＝12三棱錐P-ABC的體積V＝13S△ABC·PA＝1(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角)．因為∠BAC＝π2，所以BC＝AB2+AC2＝4.因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝AB2+PA2在△ADE中，DE＝12BC＝2所以cos∠ADE＝AD2+DE故異面直線BC與AD所成角的余弦值為3410．如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必經過()A．點A B．點BC．點C但不過點M D．點C和點MD解析：因為AB?γ，M∈AB，所以M∈γ.因為α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根據(jù)基本事實3可知，點M在γ與β的交線上．同理可知，點C也在γ與β的交線上．所以γ與β的交線必經過點C和點M.11．(多選題)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，則以下四個結論中，正確的有()A．直線AM與CC1是相交直線B．直線BN與MB1是異面直線C．AM與BN平行D．直線A1M與BN共面BD解析：A選項，因為A，M，C，C1四點不共面，所以根據(jù)異面直線的定義可得直線AM與CC1是異面直線，故A錯誤．B選項，因為B，N，M，B1四點不共面，所以根據(jù)異面直線的定義可得直線BN與MB1是異面直線，故B正確．C選項，如圖，取DD1的中點E，連接AE，EN，則有AB∥EN，AB＝EN，所以四邊形ABNE是平行四邊形，所以AE∥BN.因為AM與AE交于點A，所以AM與AE不平行，則AM與BN不平行，故C錯誤．D選項，如圖，連接MN，BA1，CD1.因為M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，所以MN∥D1C.由正方體的性質可知BA1∥D1C，所以MN∥A1B，所以A1，B，M，N四點共面，所以直線A1M與BN共面，故D正確．12．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，若直線AB1與側面AA1C1C所成的角為π6，則異面直線A1B與AC所成的角的正弦值為(A．12 B．C．22 D．D解析：如圖，取A1C1的中點H，連接B1H.根據(jù)題意易得B1H⊥側面AA1C1C，所以直線AB1與側面AA1C1C所成的角為∠B1AH＝π6在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1B1C1＝∠ABC＝π2，A1B1＝AB＝2，B1C1＝BC＝2所以A1C1＝22，又A1B1＝2，所以A1A＝B1A2－A1B1又BC＝2，所以BC1＝22，易知A1C1＝22，所以△A1BC1為等邊三角形，所以∠BA1C1＝π3因為AC∥A1C1，所以異面直線A1B與AC所成的角為∠BA1C1＝π3所以異面直線A1B與AC所成的角的正弦值為3213．(2024·唐山模擬)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點，過點D1，E，F(xiàn)作該正方體的截面，則截面的形狀為____________，周長為________.五邊形213+2解析：如圖，連接EF并延長交DC的延長線于點N，連接D1N交CC1于點延長FE交DA的延長線于點M，連接D1M交AA1于點P，順次連接D1，Q，F(xiàn)，E，P，則五邊形D1QFEP即為平面D1EF截正方體ABCD-A1B1C1D1的截面多邊形．由題意，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則AE＝1，∠AEM＝∠BEF＝45?，所以△AME為等腰直角三角形，則AM＝1.根據(jù)△AMP∽△A1D1P，得APA則A1P＝43所以D1P＝22+432同理可得D1Q＝2133，F(xiàn)Q＝所以五邊形D1QFEP的周長為2×21314．已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為C1D1，B1C1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點．證明：(1)如圖，連接B1D1.由題意知EF是△D1B1C1的中位線，所以EF∥B1D1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面．(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接A1C，設A1，C，C1確定的平面為α，平面BDEF為β.因為Q∈A1C1，所以Q∈α.因為Q∈EF，所以Q∈β