數(shù)學(xué)高二-高二數(shù)學(xué)第一次月考卷01（全解全析）【測(cè)試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)第1.1~2.3章】

高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷01（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)第1.1~2.3章（空間向量與立體幾何+直線(xiàn)）。5．難度系數(shù)：0.69。第一部分（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，則等于（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，所以.故選A.2．直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為（

）A． B．?3,2 C．2,3 D．【答案】B【解析】由得，，所以直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，而，所以也是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量.故選B.3．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在空間四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，則，所以.故選C4．已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則a，b的值分別是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，解得.故選D.5．“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若直線(xiàn)與直線(xiàn)互相平行且不重合，則，解得，故.所以“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)互相平行且不重合”的充要條件．故選C．6．在所有棱長(zhǎng)均為2的平行六面體中，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，從而，即的長(zhǎng)為．故選C.7．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線(xiàn)上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)之為三角形的歐拉線(xiàn).已知的頂點(diǎn)為，，，則該三角形的歐拉線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由重心坐標(biāo)公式可得：重心，即.由，，可知外心在的垂直平分線(xiàn)上，所以設(shè)外心，因?yàn)?，所以，解得，即：，則，故歐拉線(xiàn)方程為：，即：，故選A.8．在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度是（）A． B．C． D．4a【答案】A【解析】在正方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，設(shè)，則，

∵，∴，可得；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，取，，，，連接，，，，則，，∴四邊形為矩形，則，，即，，又和為平面中的兩條相交直線(xiàn)，∴平面，又，，∴為的中點(diǎn)，則平面，為使，必有點(diǎn)平面，又點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的軌跡為四邊形，又，，∴，則點(diǎn)的軌跡不是正方形，則矩形的周長(zhǎng)為．故選A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線(xiàn)，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)B．當(dāng)m＝1時(shí)，直線(xiàn)l的傾斜角為C．當(dāng)m＝0時(shí)，直線(xiàn)l的斜率不存在D．當(dāng)m＝2時(shí)，直線(xiàn)l與直線(xiàn)AB垂直【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，直線(xiàn)，令，解得直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)m＝1時(shí)，直線(xiàn)l的方程為，斜率為，傾斜角為，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)m＝0時(shí)，直線(xiàn)l的方程化為，斜率為，斜率存在，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)m＝2時(shí)，直線(xiàn)，所以．由，，可得，得，所以直線(xiàn)l與直線(xiàn)AB垂直，選項(xiàng)D正確．故選BD．10．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為 D．的最大值為4【答案】AC【解析】對(duì)于A，若，且，則存在唯一實(shí)數(shù)使得，即，則，解得，故A正確；對(duì)于B，若，則，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以無(wú)實(shí)數(shù)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為，無(wú)最大值，故C正確，D錯(cuò)誤.故選AC.11．已知四面體滿(mǎn)足，，則（

）A．直線(xiàn)與所成的角為B．直線(xiàn)與所成的角為C．點(diǎn)為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，到距離的最小值為D．二面角平面角的余弦值為【答案】BCD【解析】將四面體放入長(zhǎng)方體中，（如圖），設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，則，所以解得，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,故故，所以直線(xiàn)與所成的角為，A錯(cuò)誤，由于，故，直線(xiàn)與所成的角為，B正確，對(duì)于C，點(diǎn)為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)位于的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)到的距離最小，且最小值為長(zhǎng)方體的高，即為，C正確，對(duì)于D，取中點(diǎn)，連接,由于，，所以,故為所求角，,故，故D正確.故選BCD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知到直線(xiàn)的距離等于3，則a的值為.【答案】或【解析】由距離公式可得，，即，解得或.故答案為：或.13．在正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心，若，則實(shí)數(shù)．【答案】2【解析】因?yàn)?，又，所以，，，?/p>

故答案為：.14．已知分別在直線(xiàn)與直線(xiàn)上，且，點(diǎn)，，則的最小值為【答案】/【解析】因?yàn)?，，所以直線(xiàn)與間的距離為，又，故，過(guò)作直線(xiàn)垂直于，如圖，則可設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入，得，則，所以直線(xiàn)的方程為，將沿著直線(xiàn)往上平移個(gè)單位到點(diǎn)，設(shè)，則，解得或（舍去），則，連接交直線(xiàn)于點(diǎn)P，過(guò)P作于Q，連接BQ，有，即四邊形為平行四邊形，則，即有，顯然是直線(xiàn)上的點(diǎn)與點(diǎn)距離和的最小值，因此的最小值，即的最小值，而，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）已知直線(xiàn)：，：，其中為實(shí)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)，之間的距離；（2）當(dāng)時(shí)，求過(guò)直線(xiàn)，的交點(diǎn)，且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程.【解析】（1）由得，解得，（2分）此時(shí)直線(xiàn)：，：，不重合，（3分）則直線(xiàn)，之間的距離為；（6分）（2）當(dāng)時(shí)，：，聯(lián)立，解得，（8分）又直線(xiàn)斜率為，（9分）故過(guò)直線(xiàn)，的交點(diǎn)，且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為，（12分，表達(dá)出斜率為-2得1分）即.（13分，化成斜截式一樣給分）16．（15分）如圖，在正四棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn).

（1）證明：平面.（2）求與平面所成角的正弦值.【解析】（1）在正四棱柱中，，，兩兩垂直，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，A10,0,4.（2分）因?yàn)?，分別為的中點(diǎn)，所以，，（3分）則，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，即，（5分）令，則有，，即，（6分）因?yàn)?，所以，?分）又平面，所以平面；（9分）（2）由（1）可知，，（10分），（14分）所以與平面所成角的正弦值為.（15分）17．（15分）已知直線(xiàn)．（1）求證：直線(xiàn)經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；（2）若直線(xiàn)交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線(xiàn)的方程．【解析】（1）直線(xiàn)，化為，（2分）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，（3分）所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).（4分）（2）依題意，顯然，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，（6分）而點(diǎn)分別在軸的正半軸上，即，于是，（8分）則的面積為，（12分）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，（13分）所以當(dāng)時(shí)，，（14分）此時(shí)直線(xiàn)的方程為.（15分）18．（17分）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，是線(xiàn)段的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若，是否存在，使得平面和平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）證明：在中，由余弦定理知，，（2分）所以，即，（3分）因?yàn)?，?分）且，、平面，所以平面，（5分）又平面，所以平面平面．（6分）（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線(xiàn)分別為，軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，（8分）所以，0，，，，，，，，，0，，，，，所以，0，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，（9分）取，則，，所以，，，（10分）設(shè)平面的法向量為，，，則，即，（11分）取，則，，所以，，，（12分）因?yàn)槠矫婧推矫鎶A角的余弦值為，所以，（14分）整理得，，即，（15分）解得或，因?yàn)椋?，?6分）故存在，使得平面和平面夾角的余弦值為，此時(shí)．（17分）19．（17分）如圖，在三棱臺(tái)中，，，為的中點(diǎn)，二面角的大小為．（1）求證：；（2）若，求三棱臺(tái)的體積；（3）若到平面的距離為，求的值．【解析】（1）取的中點(diǎn)為，連接；如下圖所示：易知平面平面，（1分）且平面平面，平面平面；所以，（2分）又因?yàn)椋傻盟倪呅螢榈妊菪?，且分別為的中點(diǎn)，所以，（3分）因?yàn)?，所以，?分）易知，且平面，所以平面，又平面，所以；（5分）（2）由二面角定義可得，二面角的平面角即為，當(dāng)時(shí)，即，因此可得平面，（6分）可知即為三棱臺(tái)的高，由可得；（7分）易知三棱臺(tái)的上、