提升數(shù)師素養(yǎng)-提高教學(xué)效益(初中終2016.7.18)課件

提升教師素養(yǎng)，

提高教學(xué)效益

連春興我講三方面內(nèi)容：一、關(guān)于教學(xué)，幾個(gè)需要正視的基本問(wèn)題二、“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”的案例研究三、把教學(xué)經(jīng)驗(yàn)理性提升的重要性1、課程改革的核心理念是什么？以人的發(fā)展為本，課堂教學(xué)由“知識(shí)習(xí)得、傳遞”模式，轉(zhuǎn)向“思維訓(xùn)練、創(chuàng)新”模式。傳統(tǒng)教學(xué)中，教師講、學(xué)生聽(tīng)、學(xué)生練，納入預(yù)設(shè)軌道，“齊步走”方式不可避免的壓抑學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，扼殺創(chuàng)新意識(shí)。一、教學(xué)，幾個(gè)需正視的基本問(wèn)題2、教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定

三維目標(biāo)：知識(shí)與技能，過(guò)程與方法，情感、態(tài)度、價(jià)值觀。它是課程改革的主旨，是學(xué)習(xí)課程的總目標(biāo)。它與數(shù)學(xué)課程目標(biāo)有區(qū)別，更不同于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)。但是，長(zhǎng)期以來(lái)，我們把三維目標(biāo)理解為課堂教學(xué)目標(biāo)產(chǎn)生了許多負(fù)面影響。因?yàn)椋蠖哪繕?biāo)沒(méi)有很好的反映數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)。導(dǎo)致目標(biāo)對(duì)教學(xué)的指導(dǎo)力度下降和定向模糊。例如，一堂數(shù)學(xué)課規(guī)定如下教學(xué)目標(biāo)是值得商榷的：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和和科學(xué)的思維方式；培養(yǎng)勇于探索、創(chuàng)新的個(gè)性品質(zhì)；體驗(yàn)數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)愛(ài)國(guó)主義熱情，等等。這樣的寫法“放之四海而皆準(zhǔn)”，有“假、大、空”形式主義之嫌。把數(shù)學(xué)教育功能提煉一下，“四基、能力、理性精神”，在教學(xué)目標(biāo)中給出具體表述，更能反映數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)和可操作性。另外，目標(biāo)表述中慎用“掌握”二字，如對(duì)“二次方程判別式的掌握”如何具體化？（1）在用配方法推導(dǎo)一元二次方程求根公式的過(guò)程中，理解判別式的結(jié)構(gòu)和作用；（2）能用判別式判斷一個(gè)一元二次方程是否有解；（3）能用判別式討論一個(gè)含字母系數(shù)的一元二次方程的解；（4）能靈活運(yùn)用判別式解決其它情境中的問(wèn)題。3、教師“講授知識(shí)”重要？還是“指導(dǎo)學(xué)習(xí)”重要？

重視知識(shí)傳授，在我國(guó)有著深厚民意基礎(chǔ)。當(dāng)前，多數(shù)教師強(qiáng)調(diào)教知識(shí)，學(xué)生只知道被動(dòng)聽(tīng)講，跟著學(xué)，教師很少講學(xué)習(xí)方法，如何學(xué)習(xí)全靠自己“悟”由此造成講的會(huì)（也未必會(huì)），不講的必然不會(huì)，外面補(bǔ)課，短時(shí)間可能有提高，但遇到新題型，還是不會(huì)！什么原因？如何解決？“理解”不是別人送的，再高明的老師也無(wú)法送“理解”！如同睡覺(jué)，別人無(wú)法替代。雖然學(xué)生聽(tīng)課也思維活動(dòng)，也有“理解”成分，但學(xué)生被動(dòng)“聽(tīng)明白”，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如學(xué)生在解決問(wèn)題中盡可能獨(dú)立“想明白”。正象“只有在游泳中學(xué)習(xí)游泳”。所以，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，學(xué)生是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主動(dòng)者，由此獲取的理解，遠(yuǎn)勝于被動(dòng)聽(tīng)課獲取的理解。于是，我們結(jié)論：“講授知識(shí)”與“指導(dǎo)學(xué)習(xí)”都重要，但“指導(dǎo)學(xué)習(xí)”更利于獨(dú)立想明白，更重要！4、指導(dǎo)學(xué)習(xí)（先學(xué)后教）的幾種方式指導(dǎo)學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)主動(dòng)“學(xué)懂”，注意不是被動(dòng)“聽(tīng)懂”。方式之一，指導(dǎo)閱讀。檢驗(yàn)效果：由教師提出問(wèn)題讓學(xué)生回答（必要時(shí)討論）方式之二，翻轉(zhuǎn)課堂的方式，讓學(xué)生提前看視頻，先學(xué)后教。這種方式顛覆了課堂教學(xué)的傳統(tǒng)，上課往往從學(xué)生看視頻的困惑開(kāi)始討論。好處是因?yàn)閷W(xué)在先，甚至不懂的地方可以反復(fù)看，課上的討論能深入，能促進(jìn)學(xué)生廣泛參與，深化理解。缺點(diǎn)：①成本高；②學(xué)生能否看視頻無(wú)法監(jiān)督；③視頻的本質(zhì)是陳述性講解，沒(méi)脫離“先講后練”的模式。其局限在于學(xué)生不能憑借已有的知識(shí)、能力解決系列問(wèn)題，并在解決問(wèn)題中，獨(dú)立或（相對(duì)獨(dú)立）獲取新知。方式之三，導(dǎo)學(xué)案方式學(xué)案，顧名思義，學(xué)生的學(xué)習(xí)方案好學(xué)案應(yīng)該具備指導(dǎo)自學(xué)的功能，自學(xué)脈絡(luò)最好以系列問(wèn)題呈現(xiàn)。讓學(xué)生在系列問(wèn)題的解決中，盡力獨(dú)立獲取新知。為達(dá)這樣的目的，學(xué)案編寫要盡力體現(xiàn)如下特征：（1）起點(diǎn)問(wèn)題要尊重學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，開(kāi)門見(jiàn)山、激發(fā)興趣、直擊主題。（2）問(wèn)題延伸要先具體，后抽象，先特殊，后一般，符合量力性原則。（3）系列問(wèn)題要體現(xiàn)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的邏輯走向。（4）學(xué)案要照顧到不同層次的學(xué)生，問(wèn)題要體現(xiàn)一定的開(kāi)放性。這樣編寫學(xué)案才具有“導(dǎo)學(xué)”功能。功能之一，相當(dāng)于學(xué)習(xí)的“路標(biāo)”導(dǎo)學(xué)的“問(wèn)題”往往呈現(xiàn)環(huán)環(huán)相扣、攻其必救、一貫到底的意境。這些“問(wèn)題”相當(dāng)于“路標(biāo)”，對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，沿“路標(biāo)”前行，就可以感悟問(wèn)題延伸所反映出知識(shí)的邏輯走向。例如：新授課：?jiǎn)栴}催生新知（公式、概念與技能）；復(fù)習(xí)課：?jiǎn)栴}引導(dǎo)復(fù)習(xí)（系列問(wèn)題所揭示知識(shí)的結(jié)構(gòu)特征）。功能之二，相當(dāng)于學(xué)習(xí)者的“拐杖”憑借“拐杖”，學(xué)習(xí)者可以實(shí)現(xiàn)四超前：（1）超前想，盡力在老師講解之前想出問(wèn)題解決的方向與途徑；（2）超前做，盡力在老師講解例題之前發(fā)現(xiàn)思路，甚至做出結(jié)果；（3）超前總結(jié)，盡力在老師講解前對(duì)過(guò)程反思，做出總結(jié)；（4）超前提問(wèn)題：盡力在老師講解前發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，提出新問(wèn)題。這四個(gè)超前，改變了學(xué)生被動(dòng)聽(tīng)課的局面，為課堂教學(xué)注入了活力；這四個(gè)超前，強(qiáng)化了獨(dú)立思考和自主解決問(wèn)題的意識(shí)，使課堂師生互動(dòng)交流、討論研究更有質(zhì)量！但這樣的學(xué)案，最好提前下發(fā)完成，課堂結(jié)合學(xué)案的完成情況及懸疑問(wèn)題進(jìn)行，效果比課堂當(dāng)時(shí)發(fā)效果要好。導(dǎo)學(xué)案引領(lǐng)自學(xué)，符合課改理念，相對(duì)翻轉(zhuǎn)課堂，成本較低，如果長(zhǎng)期堅(jiān)持，一定會(huì)大大提升教學(xué)效益但有一個(gè)前提，就是要全面提升教師素養(yǎng)，按照如上原則編寫學(xué)案。因?yàn)楫?dāng)前多數(shù)學(xué)案，僅限概念的羅列（關(guān)鍵詞搬家），例題抄寫，雖有省時(shí)間的作用，但指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的效益卻不高。5、在基礎(chǔ)薄弱校運(yùn)用學(xué)案“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”是否適用？后進(jìn)生與優(yōu)等生比，后進(jìn)生往往差在不自信，差在基礎(chǔ)知識(shí)理解不到位而產(chǎn)生的思維盲目性上，即不會(huì)思考。二者相互關(guān)聯(lián)。如果我們只要求后進(jìn)生簡(jiǎn)單模仿，不引導(dǎo)他們思考“為什么”，他們將很難學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。所以，“就事論事、機(jī)械模仿”的教學(xué)方式，加劇了后進(jìn)生的不會(huì)思考。舉一個(gè)生活中的例子：當(dāng)朋友帶自己去某地，由于不承擔(dān)辨識(shí)方向和選擇路徑的責(zé)任，下次自己?jiǎn)稳ィ卦獠坏瞄T徑之苦?，F(xiàn)實(shí)中，在基礎(chǔ)薄弱班，“我告訴，你知道，你記住，你模仿”的教學(xué)幾乎成為常態(tài)。這樣學(xué)習(xí)變成了對(duì)號(hào)入座，有多少心智活動(dòng)的參與？長(zhǎng)期模仿老師，缺乏獨(dú)立思考，如何學(xué)會(huì)思考？所以，“傳遞知識(shí)”不等于“啟迪智慧”，“強(qiáng)化技能”不等于“培養(yǎng)能力”，它們之間并沒(méi)有天然的聯(lián)系。怎樣改變這樣的現(xiàn)狀，實(shí)現(xiàn)后進(jìn)生的轉(zhuǎn)化？依然是“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”！但相比優(yōu)生，可以起點(diǎn)低、坡度小、密度大些。我們這樣做有心理學(xué)依據(jù)：探索未知世界是人的天性，只要我們真正尊重學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，給學(xué)生自主學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，他們就會(huì)積極參與。只要我們重視學(xué)生的課堂感受，合理運(yùn)用“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”，適當(dāng)把握思維節(jié)奏，激發(fā)學(xué)生思維步步深入，后進(jìn)生不僅可以實(shí)現(xiàn)被動(dòng)“聽(tīng)明白”，還能在解決問(wèn)題中，主動(dòng)“想明白”，相對(duì)獨(dú)立地獲取新知。解決問(wèn)題的成就感、自信心，就是這樣一步步培養(yǎng)出來(lái)的。先賢陸游名句：紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行。就是這個(gè)道理。在這樣的理念指導(dǎo)下，我們的課堂教學(xué)應(yīng)該是：（1）用“問(wèn)題”來(lái)激活學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)力；（2）在問(wèn)題解決中，催生新知，深化概念的理解；（3）在運(yùn)用概念，不斷解決問(wèn)題的過(guò)程中，把握技能，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神，增進(jìn)成功的體驗(yàn)與自信。6、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)是否適用全部的教學(xué)？什么時(shí)候可以直接講授？多數(shù)內(nèi)容都可用導(dǎo)學(xué)的問(wèn)題展示其發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，學(xué)生順次解決問(wèn)題，就是學(xué)習(xí)新知的過(guò)程。兩種情況可直接講授：（1）規(guī)定性的知識(shí)，不必問(wèn)題導(dǎo)學(xué)（2）超出經(jīng)驗(yàn)的知識(shí)，不能通過(guò)解決導(dǎo)學(xué)問(wèn)題獨(dú)立獲取。一般而言，這樣的兩類知識(shí)較少，即使講授知識(shí)，也一定要說(shuō)道理，引導(dǎo)學(xué)生欣賞知識(shí)的合理性。比如，角的定義，你可以直接講，也可以提出問(wèn)題：如何畫(huà)大于平角，小于2700的角？如何畫(huà)大于2700角，小于3600的角？即使畫(huà)出，也容易誤解，規(guī)定始邊，終邊，旋轉(zhuǎn)方向，成為必然選擇！美國(guó)加州大學(xué)伯克利分校的伍鴻熙教授為我們提供了一個(gè)小學(xué)例子：

當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)加法與自然數(shù)加法毫無(wú)關(guān)聯(lián)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生什么消極影響？使學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)不可理解，數(shù)學(xué)不一定都講理數(shù)學(xué)只能模仿、不必深究。有資料表明，學(xué)生的數(shù)學(xué)恐懼感起源于分?jǐn)?shù)加法。如何克服分?jǐn)?shù)加法“不講理”帶來(lái)的消極影響？為什么分?jǐn)?shù)通分相加不能理解為“拼接”？教師應(yīng)該如何認(rèn)識(shí)不同分母的加法？“一只老鼠+一頭大象=？”不能運(yùn)算的癥結(jié)在于沒(méi)有相同度量單位，如何相加？那么，“1/2+1/3”如何找相同的度量單位？這個(gè)示例告訴我們，即使是分?jǐn)?shù)通分作加法這樣一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，如果我們只記方法，不講道理，讓學(xué)生把整數(shù)加法與分?jǐn)?shù)加法割裂開(kāi)來(lái)，也會(huì)帶來(lái)這么多負(fù)作用。而學(xué)習(xí)新知識(shí)，即使是講解，也立足于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，把新知識(shí)與原有知識(shí)整合起來(lái)，統(tǒng)一起來(lái)，將消滅多少“不理解”，消滅多少“差生”？進(jìn)一步想，我們能否用“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”方式教“分?jǐn)?shù)加法”？答案是“行”問(wèn)題1:分?jǐn)?shù)1/2中含幾個(gè)1/6？問(wèn)題2:分?jǐn)?shù)1/3中含幾個(gè)1/6？問(wèn)題3:把分?jǐn)?shù)1/2，1/3加起來(lái)，含幾個(gè)1/6？問(wèn)題4:你能從中總結(jié)不同分母的分?jǐn)?shù)加法法則嗎？如此這般，長(zhǎng)期講授的通分方法也可在自學(xué)中感悟了。教師善用“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”，形成穩(wěn)定教學(xué)理念與習(xí)慣并不容易。如三角形邊長(zhǎng)小于兩邊之和，大于兩邊之差，一般老師都從公理“兩點(diǎn)連線中，線段最短”講。而且，我們往往只重視推導(dǎo)抽象的結(jié)論：AC-BC<AB<AC+BC,而不強(qiáng)調(diào)在這個(gè)結(jié)論產(chǎn)生過(guò)程中，思維能力的訓(xùn)練。能否先具體，后抽象，實(shí)施問(wèn)題導(dǎo)學(xué)？能否把學(xué)生推至解決問(wèn)題、學(xué)習(xí)新知的前臺(tái)？結(jié)論是“能”！例：已知三條線段長(zhǎng)度分別是x，3,8，（1）給x賦幾個(gè)整數(shù)值，構(gòu)造三角形（2）賦x幾個(gè)整數(shù)值，不能構(gòu)造三角形（3）根據(jù)（1）（2），試確定x范圍（4）由此你能得到三角形一邊長(zhǎng)與另兩邊長(zhǎng)的關(guān)系嗎？7、實(shí)施“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”的制約因素

第一，來(lái)自教師的教學(xué)習(xí)慣。一方面，受自身傳統(tǒng)教學(xué)習(xí)慣的影響，一些教師擅長(zhǎng)條分縷析，完成知識(shí)的羅列與講授，自得于“講懂、教會(huì)；另一方面，習(xí)慣于先抽象講規(guī)則，然后再具體操作，讓學(xué)生在模仿中學(xué)習(xí)，殊不知這樣會(huì)無(wú)情剝奪學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，扼殺學(xué)生的主觀能動(dòng)性。第二，“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”中的問(wèn)題設(shè)計(jì)，一般無(wú)教輔書(shū)可參考，對(duì)老師的專業(yè)水準(zhǔn)提出較高要求。例如：（1）能否準(zhǔn)確評(píng)估學(xué)生的認(rèn)知水平？（2）能否準(zhǔn)確把握所授知識(shí)的邏輯脈絡(luò)？（3）能否在知識(shí)發(fā)生發(fā)展的邏輯節(jié)點(diǎn)處設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知水平的問(wèn)題？（4）能否設(shè)計(jì)出漸次深入的問(wèn)題，既體現(xiàn)知識(shí)的邏輯走向，又遵循量力性原則。這四個(gè)“能否”的解決，反映出教師“理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生”的功力，需要長(zhǎng)期積累。同時(shí)，這四個(gè)“能否”也折射出“導(dǎo)學(xué)”問(wèn)題設(shè)計(jì)的主要原則：（1）起點(diǎn)問(wèn)題要尊重學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，開(kāi)門見(jiàn)山、激發(fā)興趣、直擊主題。（2）問(wèn)題延伸要先具體，后抽象，先特殊，后一般，符合量力性原則。（3）系列問(wèn)題要體現(xiàn)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的邏輯走向。（4）系列問(wèn)題要照顧到不同層次的學(xué)生，要體現(xiàn)一定的開(kāi)放性。二、“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”的案例研究第一類--問(wèn)題催生新知；第二類—問(wèn)題引導(dǎo)復(fù)習(xí)。何謂新知？

大致分兩個(gè)方面：公式與技能類；概念類；技能與概念類。案例1---線段中點(diǎn)（概念類）這個(gè)內(nèi)容簡(jiǎn)單，有教師用講授法：（1）定義線段中點(diǎn)；（2）辨析中點(diǎn)概念（點(diǎn)在線段上，分兩段線段等長(zhǎng)）（3）用符號(hào)語(yǔ)言表示“AB的中點(diǎn)是C”AC=CB,AC=1/2AB,CB=1/2AB,AB=2AC=2CB不厭其累，不厭其繁，到學(xué)生練題時(shí)還不會(huì)。問(wèn)題導(dǎo)學(xué)的方法（1）請(qǐng)同學(xué)們作出線段AB=6cm,畫(huà)出中點(diǎn)C，觀察圖形，你能得到什么結(jié)論？（2）如果去掉6cm的長(zhǎng)度，你還能得出什么結(jié)論？學(xué)生討論、相互補(bǔ)充---等、半、倍這個(gè)過(guò)程就是由“聽(tīng)明白”提升為“想明白”。案例2----平方差公式的教學(xué)（公式、技能類）

上課伊始，老師不寫“課題”，不說(shuō)“上什么課”，而把打印好的題條發(fā)給每一位同學(xué)：①(a+b)(a-b)=②（3m+2n）(3m-2n)=③(x-6)(x+6)=④(1-5y)(1+5y)=⑤(5ab-1)(1+5ab)=設(shè)計(jì)意圖：（1）通過(guò)前7題，學(xué)生總結(jié)出規(guī)律，概括提煉“平方差公式”。（2）⑧102×98=⑨9.9×10.1=

⑩(m+n)(m2+n2)(m-n)=三題的目的體現(xiàn)公式要注意活用。（3）再出幾道題供大家課后研究：⑾1012-1=

⑿(a+1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)=通過(guò)上述案例，回味“四個(gè)能否”教師能否準(zhǔn)確評(píng)估學(xué)生的認(rèn)知水平？能否準(zhǔn)確把握所授知識(shí)的邏輯脈絡(luò)？能否在知識(shí)發(fā)生發(fā)展的邏輯結(jié)點(diǎn)處設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知水平的，層次不同的問(wèn)題？能否設(shè)計(jì)出漸次深入的問(wèn)題，既體現(xiàn)知識(shí)的邏輯走向，又遵循量力性原則。案例3：實(shí)數(shù)概念

如果直接提方程x2=2的根是這樣雖然很省時(shí)間，但對(duì)學(xué)生理解實(shí)數(shù)的結(jié)構(gòu)，以及無(wú)理數(shù)的客觀存在性非常不利。從有理數(shù)到無(wú)理數(shù)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)程中，具有里程碑意義，我們完全可以用“問(wèn)題”展示知識(shí)的發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生在問(wèn)題解決中學(xué)習(xí)新知。問(wèn)題1：把兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形沿對(duì)角剪開(kāi)，試拼接成一個(gè)正方形。問(wèn)題2：設(shè)該正方形的邊長(zhǎng)為x,列出x的方程，并估算x的值。（越準(zhǔn)確越好）教學(xué)過(guò)程預(yù)設(shè)：先從簡(jiǎn)單情況出發(fā)，12=1,22=4，

x2=2中的x如果存在，大致是個(gè)什么范圍的數(shù)？（結(jié)論是1,2之間的小數(shù)）如何更準(zhǔn)確估值？在學(xué)生目前的知識(shí)儲(chǔ)備下，可引導(dǎo)學(xué)生采用試數(shù)逐漸逼近的方法：依次有1<x<2，1.4<x<1.51.41<x<1.42，，1.414<x<1.415……，這樣試下去，何處是盡頭？問(wèn)題3：這樣的x明顯存在，但它能是有限小數(shù)嗎？能是無(wú)限循環(huán)小數(shù)嗎？預(yù)設(shè)：x是小數(shù)，但區(qū)別于有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)，從而逼出-----無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。問(wèn)題4：象x這樣的數(shù)，你還能舉一些嗎？預(yù)測(cè)有多少個(gè)？預(yù)設(shè)：學(xué)生可舉無(wú)限多個(gè)，有分類必要。已學(xué)“有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)”，今天又學(xué)到“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”，分類命名“有理數(shù)、無(wú)理數(shù)，”統(tǒng)稱實(shí)數(shù)。問(wèn)題5：過(guò)去見(jiàn)過(guò)“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”嗎，當(dāng)時(shí)如何表示的？預(yù)設(shè)：符號(hào)化---揭示x2=2中的x這類數(shù)的根號(hào)表示。如此設(shè)計(jì)的優(yōu)勢(shì)：（1）直觀感受存在，試數(shù)感受無(wú)限不循環(huán)小數(shù)存在，揭示了無(wú)理數(shù)發(fā)生、發(fā)展的內(nèi)在邏輯。（2）否定x是有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)后，逼出了無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，展示了數(shù)學(xué)理性思維的強(qiáng)大力量。（3）這樣一類數(shù)很多，數(shù)不勝數(shù)，值得分一類，彰顯擴(kuò)充數(shù)集的必要，樹(shù)立了實(shí)數(shù)集合整體觀。（4）堅(jiān)信存在性后，根號(hào)表示，再如圓周率，都是“符號(hào)化”理念使然。（5）問(wèn)題的設(shè)計(jì)自然合諧，層層遞進(jìn)，不僅引導(dǎo)學(xué)生深刻理解無(wú)理數(shù)的客觀存在性，滲透其稠密、不可數(shù)的觀念，對(duì)后續(xù)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，有深遠(yuǎn)啟示意義。（6）即使有些問(wèn)題學(xué)生需要在老師的幫助下解決，但這樣的適度延長(zhǎng)知識(shí)發(fā)生過(guò)程，但它己遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了知識(shí)教學(xué)的范疇，蘊(yùn)涵著極其豐富的研究、探索問(wèn)題的策略，是很好的理性創(chuàng)新的典范。案例4：圓周角（概念類）有的老師這樣教：（1）五角星的角度怎樣度量；（創(chuàng)設(shè)情境）（2）給出圓周角定義，辨識(shí)圓周角；（3）研究同弧上圓心角和圓周角關(guān)系；給出三個(gè)不同位置的證明；（4）相關(guān)例題、練習(xí)。如果尊重知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的內(nèi)在邏輯，以學(xué)生積極參與、思維合理深化為考量，如何設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)？（1）在圓周上取兩點(diǎn)A,B,使AB弧度數(shù)為600，取角的頂點(diǎn)為圓心O，作圓心角AOB,該角多大？（2）如果頂點(diǎn)在圓周上，能作多少個(gè)角？這些角大小有什么關(guān)系？（度量）（預(yù)設(shè)：無(wú)數(shù)個(gè)，大小相等，等于同弧上圓心角的一半，所對(duì)弧度數(shù)的一半）（3）類比圓心角，這類角該叫什么？（適度辨析）（4）如果AB弧是任意度數(shù)，上述結(jié)論是否成立？結(jié)論如何表述？（猜想：同弧上圓周角相等，是同弧圓心角度數(shù)一半，所對(duì)弧度數(shù)一半）（5）如何證明？預(yù)設(shè)：①圓周角如何證明兩兩相等？找中介，證明是同弧上圓心角之半。②圓周角無(wú)限多，如何簡(jiǎn)約？從特殊到一般，劃歸三種位置關(guān)系。案例5：垂徑定理（概念類）有的老師講垂徑定理，先對(duì)折一個(gè)圓，再把半圓折一個(gè)角，然后讓學(xué)生打開(kāi)這個(gè)圓，發(fā)現(xiàn)垂徑定理。這樣做，一般來(lái)講，發(fā)現(xiàn)結(jié)論較容易，學(xué)生得到容易，參與證明也不難。但卻難以深化，對(duì)同一個(gè)圓中，直徑與弦的關(guān)系是：垂直必平分，平分必垂直的認(rèn)識(shí)就可能很膚淺。我們問(wèn)題導(dǎo)學(xué)的理念設(shè)計(jì)：

（1）在圓O中作弦AB（非直徑）和直徑CD，旋轉(zhuǎn)CD，探究直徑CD在什么條件下平分AB？除平分AB,還平分什么？證明你觀察到的結(jié)論。（2）作弦CD平分AB,旋轉(zhuǎn)弦CD，探究弦CD在什么條件下垂直于AB?并證明你的結(jié)論。點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)探究任務(wù)，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)中觀察、歸納。給學(xué)生以深入?yún)⑴c的機(jī)會(huì)。特別是一正一反的探究，直擊問(wèn)題的核心，反映出問(wèn)題的合理延伸。如此組織教學(xué)，把學(xué)生觀察、論證整合，使學(xué)習(xí)過(guò)程完整，一定會(huì)強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)。如解決殘破輪半徑問(wèn)題。教法的選擇，“花拳繡腿”不好使，“刺刀見(jiàn)紅”才是真。案例6：一元二次方程單元設(shè)計(jì)

在現(xiàn)行教材中，一元二次方程的解法基本按配方法、公式法、分解因式法的順序編排。如果教學(xué)過(guò)程也按此順序展開(kāi)，雖然能完成方程解法的教學(xué)，但很難實(shí)現(xiàn)學(xué)生的深度參與。問(wèn)題1：情境創(chuàng)設(shè)（兩種方式同課異構(gòu)）（1）從生產(chǎn)實(shí)際的需要，看研究一元二次方程的必要。（2）從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的角度引入。兩者各有優(yōu)缺點(diǎn)。按照方案（1）設(shè)計(jì)①對(duì)比“一元一次方程”的定義，為這類方程定義一個(gè)名稱----一元二次方程。②再自行寫出幾個(gè)不同的一元二次方程，并提煉出一元二次方程的一般表達(dá)式。按照方案（2）設(shè)計(jì)問(wèn)題1：什么是“一元一次方程”？根據(jù)“一元一次方程”的定義自定義“一元二次方程”，并舉出幾個(gè)“一元二次方程”的例子。在學(xué)生舉例的基礎(chǔ)上，提煉出“一元二次方程”的一般表達(dá)式。點(diǎn)評(píng)：方案（1）兩個(gè)現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題情境，揭示出在“一元一次方程”之外，還客觀存在著“一元二次方程”和學(xué)習(xí)它的必要。因?yàn)閱?wèn)題不難，學(xué)生獨(dú)立完成，大多沒(méi)有困難。方案（2）比方案（1）短平快，獲取一元二次方程概念省時(shí)間，但缺陷是沒(méi)有揭示“一元二次方程”的客觀存在性和學(xué)習(xí)必要性。對(duì)學(xué)生準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)不利。兩個(gè)方案都有共同的優(yōu)點(diǎn)：（1）尊重了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)水平：清楚“含一個(gè)未知數(shù)，且次數(shù)是1的方程”是一元一次方程；（2）合理預(yù)設(shè)可發(fā)展達(dá)到的水平：學(xué)生自行定義“一元二次方程”。有事實(shí)證明：學(xué)生完全可以扮演新知識(shí)的催生者，即在學(xué)生弄清一元一次方程的基礎(chǔ)上，學(xué)生自行定義“一元二次方程”并不困難。教師在學(xué)生大量列舉“一元二次方程”基礎(chǔ)上，再概括一般表達(dá)式，符合“先具體，后抽象”原則。反思：當(dāng)我們?cè)谡n堂上提出問(wèn)題，學(xué)生不回應(yīng)，被迫教師唱獨(dú)角戲的時(shí)候，你可曾想過(guò)：你是否尊重了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)？什么是學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)？當(dāng)學(xué)生可以充當(dāng)“知識(shí)發(fā)生發(fā)展的推動(dòng)者”時(shí)，你是否越俎代庖？你是否提出了一個(gè)超越“學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)”的問(wèn)題？你是否給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了“先觀察、后歸納”的教學(xué)情境？問(wèn)題2、探究“一元二次方程”的解法

預(yù)設(shè)1：復(fù)習(xí)提問(wèn)方程解的意義。預(yù)設(shè)2：觀察下列方程的解（1）x2-4=0（2）x2-x=0（3）x2+1=0（4）（x+1)2+1=0設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化觀察能力，強(qiáng)化方程解的意義，強(qiáng)化開(kāi)平方法，因式分解法直覺(jué)把握。點(diǎn)評(píng)：學(xué)生自編自解，一定會(huì)很感興趣，自覺(jué)參與。教師根據(jù)學(xué)生解題情況，把學(xué)生中的典型例子在黑板上展示，總結(jié)出“開(kāi)平方法”與“因式分解法”，并根據(jù)一個(gè)數(shù)的平方非負(fù)，總結(jié)出“開(kāi)平方法”無(wú)效，即方程無(wú)實(shí)根的情況。至此，對(duì)b,c中至少有一個(gè)為0的一元二次方程，我們都可解出或判斷無(wú)解。預(yù)設(shè)4：同學(xué)們能否自編一道a,b,c均不為0的一元二次方程，然后自行解出。點(diǎn)評(píng)：這樣做同樣尊重了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)（有c=0時(shí)，因式分解的經(jīng)驗(yàn)）。如果學(xué)生對(duì)因式分解的解法理解的深刻，對(duì)因式分解的技能掌握的很好，完成任務(wù)不會(huì)很困難。如果學(xué)生因式分解的技能掌握的不好，編題可能會(huì)遇到困難，建議適度補(bǔ)充“十字相乘因式分解”以使學(xué)生掌握在有理數(shù)范圍內(nèi)能分解的一元二次方程的解法。點(diǎn)評(píng)：好的問(wèn)題情境，在于“因式分解”法無(wú)效后，學(xué)生又必欲解決而后快。為克服含x的項(xiàng)無(wú)法合并，逼出“配方”，劃歸為“開(kāi)平方法”勢(shì)所必然。教學(xué)中，要體會(huì)到“開(kāi)平方法”是在“因式分解”法無(wú)效后，技術(shù)革新的產(chǎn)物。學(xué)生基礎(chǔ)好，自行解決，否則教師幫助解決最后，總結(jié)出a=1,a不等于1時(shí)，配方的一般方法，并配以必要的練習(xí)。至此，一元二次方程的解法（或判定無(wú)解）的問(wèn)題圓滿解決。點(diǎn)評(píng)：熟練掌握“配方法”、“開(kāi)平方法”，待學(xué)生解出方程（1）后，一定會(huì)產(chǎn)生對(duì)（2）的畏難情緒，甚至產(chǎn)生（3）比（2）都容易的沖動(dòng)。于是，“一元二次方程求根公式”在學(xué)生“求簡(jiǎn)思維”的支配下，合乎情理地產(chǎn)生了。它是對(duì)“因式分解法”二度技術(shù)革新的產(chǎn)物?？紤]到“負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方”，判別式及其功能的產(chǎn)生也在情理之中。請(qǐng)老師思考，這樣設(shè)計(jì)有什么特點(diǎn)？

（1）問(wèn)題的提出起點(diǎn)很低，學(xué)生便于參與，從預(yù)設(shè)1至預(yù)設(shè)6，都遵循了“最近發(fā)展區(qū)原則”；（2）教學(xué)設(shè)計(jì)把一元二次方程的解法：因式分解法、開(kāi)平方法、公式法串聯(lián)的渾然一體。知識(shí)的發(fā)生發(fā)展由特殊到一般，合情合理，通順連貫，一氣呵成。特別是兩度“技術(shù)革新”，更是情勢(shì)所逼，勢(shì)所必然。（3）“問(wèn)題”催生“策略”，重過(guò)程、也重結(jié)論，始終置學(xué)生于“知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的推動(dòng)者”地位。（4）教學(xué)預(yù)設(shè)獨(dú)立成章，用幾課時(shí)完成上述內(nèi)容，不會(huì)影響知識(shí)的連貫。這樣設(shè)計(jì)有什么好處？（1）給學(xué)生樹(shù)立一個(gè)學(xué)習(xí)概念的典范，使學(xué)生類比學(xué)習(xí)其它概念。（2）任何新知識(shí)都有其發(fā)生、發(fā)展的合理性與必然性，反思、挖掘這種合理性與必然性，可以使學(xué)生在愉悅、欣賞的心境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可極大提升元認(rèn)知水平。（3）理解的必深刻，深刻的必簡(jiǎn)單，形成如此學(xué)習(xí)習(xí)慣，前途無(wú)量！根據(jù)上述案例，思考下列問(wèn)題：（1）導(dǎo)學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，是否遵循了三個(gè)原則？①起點(diǎn)問(wèn)題要尊重學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，直擊知識(shí)主題；

②問(wèn)題延伸要符合量力性原則；

③系列問(wèn)題要體現(xiàn)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的邏輯走向。（2）如果學(xué)生能自主解決上述問(wèn)題，是否能實(shí)現(xiàn)“問(wèn)題催生知識(shí)”，自主建構(gòu)知識(shí)。（3）每一個(gè)問(wèn)題即使不能完全獨(dú)立解決，是否也可以實(shí)現(xiàn)最大限度的參與？最大限度的矯正陳述性講述的弊端？2、復(fù)習(xí)課

復(fù)習(xí)課上，我們有兩個(gè)不好的習(xí)慣：（1）技能復(fù)習(xí)中，先抽象，后具體。即先講方法，再給相應(yīng)練習(xí)，強(qiáng)化記憶與模仿，思維訓(xùn)練力度大大降低。（2）概念復(fù)習(xí)中，“油水分離”，即“先羅列概念，再對(duì)應(yīng)性的例題選講”。這樣一般不會(huì)有好效果，因?yàn)椤傲_列”對(duì)優(yōu)等生不新奇，無(wú)刺激，不積極；對(duì)后進(jìn)生光憑“羅列”會(huì)不了，記不住，所以也不會(huì)有興趣。案例7：相似三角形復(fù)習(xí)課問(wèn)題1：找相似形下列圖形中，包含了許多相似三角形的基本圖形，你能找出來(lái)嗎？并且給出理由。評(píng)析：沒(méi)有良好的“雙基”奠基，任何數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都將是“空中樓閣”。此處設(shè)計(jì)的問(wèn)題，入口寬、難度低，呈現(xiàn)的圖形十分簡(jiǎn)約，但是極具代表性和富于美感，為學(xué)生積極參與我們的教學(xué)活動(dòng)，搭建了一個(gè)適宜的平臺(tái)。過(guò)去我們總抱怨學(xué)生不積極參與，其實(shí)很多時(shí)候與我們問(wèn)題的提出不適宜學(xué)生有關(guān)。問(wèn)題2：請(qǐng)畫(huà)出兩個(gè)不相似的直角三角形。同學(xué)們紛紛動(dòng)手。師：我特別想問(wèn)問(wèn)你們，如何讓兩個(gè)直角三角形不相似？生：讓兩銳角明顯兩兩不等。師：好。那你們能否在兩個(gè)不相似的直角三角形中，分別分割出兩個(gè)相似的三角形？評(píng)析：從問(wèn)題的反面入手研究，是促使學(xué)生深化理解概念的重要途徑，只可惜我們平時(shí)正面問(wèn)題研究得過(guò)多，反面入手研究問(wèn)題過(guò)少。所以，此處是一個(gè)可貴的嘗試。特別是，在兩個(gè)不相似的直角三角形中，分別分割出兩個(gè)相似的三角形，把能力培養(yǎng)的目標(biāo)鎖定在實(shí)踐與創(chuàng)新，更屬“點(diǎn)睛”之筆。問(wèn)題3：如何找線段AB的中點(diǎn)？師：這是一個(gè)很簡(jiǎn)單的問(wèn)題，如何找到線段AB的中點(diǎn)？生A：對(duì)折。生B：用刻度尺。生C：尺規(guī)作圖。師：我沒(méi)有圓規(guī)，只有一副刻度模糊且磨損了的三角板，能否找到線段AB的中點(diǎn)？同學(xué)們愕然。師：我來(lái)試試。用這副磨損了的三角板，任作一條直線MN∥AB，在線段AB、MN的同側(cè)任取一點(diǎn)P，連結(jié)PA、PB，分別交直線MN于C、D；再連接AD、BC，相交于點(diǎn)E，畫(huà)射線PE與AB交于O點(diǎn)，則點(diǎn)O就是線段AB的中點(diǎn)。同學(xué)們認(rèn)可我的作法嗎？如何證明我是對(duì)的？問(wèn)題4：在邊長(zhǎng)為1厘米的25個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格上有一個(gè)三角形ABC，請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰W(wǎng)格上畫(huà)一個(gè)與三角形ABC相似且面積最大的網(wǎng)格三角形，并求出最大面積。師：各位同學(xué)，請(qǐng)注意其中的關(guān)鍵詞：相似、面積最大、網(wǎng)格三角形。

評(píng)析：這是一個(gè)很有靈性的問(wèn)題，因?yàn)橐蚁嗨迫切危?，憑直覺(jué)三角形的最長(zhǎng)邊越長(zhǎng)，面積應(yīng)當(dāng)越大。又因網(wǎng)格三角形的要求，三角形頂點(diǎn)應(yīng)在格點(diǎn)處，于是想到對(duì)角線的長(zhǎng)能否所為AC的對(duì)應(yīng)邊。如果可以，相似比確定，進(jìn)一步AB、BC對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度確定，最終，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)能否在格點(diǎn)處成為關(guān)鍵。該題把“較死”相似三角形問(wèn)題與能力培養(yǎng)問(wèn)題結(jié)合的水乳相容。下面兩問(wèn)題可作為作業(yè)問(wèn)題5：矩形的長(zhǎng)于寬分別為1、a(a>1)，將其分割成三個(gè)以原來(lái)矩形均相似的小矩形，畫(huà)出分割圖，并求出相應(yīng)的a值。問(wèn)題6：如果正方形的一邊落在三角形的一條邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別落在三角形的另外兩條邊上，則這樣的正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形。在一個(gè)邊長(zhǎng)分別是3、4、5的直角三角形中，畫(huà)出可能的內(nèi)接正方形，并計(jì)算哪個(gè)面積最大？總評(píng)析：（1）而本節(jié)課的設(shè)計(jì)，教學(xué)環(huán)節(jié)簡(jiǎn)約、清晰，人人都可以馬上進(jìn)入解題狀態(tài)（2）問(wèn)題設(shè)置生動(dòng)有趣，既容易入手，又富于挑戰(zhàn)性，真可謂不由你不參與。

（3）問(wèn)題設(shè)計(jì)把動(dòng)手操作與邏輯思維有機(jī)融合，從相似形的判定到應(yīng)用，從相似三角形到相似多邊形，從幾何論證到代數(shù)計(jì)算，全方位地進(jìn)行了深入研究，使復(fù)習(xí)課既凸現(xiàn)了數(shù)學(xué)本質(zhì)，又充滿了新意。通過(guò)案例可見(jiàn)，數(shù)學(xué)活動(dòng)的教育意義在于：學(xué)生親歷數(shù)學(xué)活動(dòng)，從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行思考，直觀的獲取一些結(jié)果除了能夠獲取演繹推理的經(jīng)驗(yàn)，還能獲取合情推理的經(jīng)驗(yàn)特別是根據(jù)條件“預(yù)測(cè)結(jié)果”的經(jīng)驗(yàn)和根據(jù)結(jié)果“探究成因”的經(jīng)驗(yàn)這兩種經(jīng)驗(yàn)對(duì)于培養(yǎng)創(chuàng)新型人才都是非常重要的。教師教學(xué)的主要任務(wù)是什么？籠統(tǒng)說(shuō)，傳授知識(shí)、指導(dǎo)學(xué)法、啟迪智慧。具體說(shuō)：（1）激發(fā)興趣---利用學(xué)科好玩，值得欣賞處，撥動(dòng)好奇心，激發(fā)原動(dòng)力。（2）引發(fā)思考---按照最近發(fā)展區(qū)原則，恰時(shí)恰點(diǎn)提出問(wèn)題（3）培養(yǎng)習(xí)慣---認(rèn)真聽(tīng)講、善思好問(wèn)、預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)、作業(yè)認(rèn)真、書(shū)寫規(guī)范、質(zhì)疑反思等。三、把教學(xué)經(jīng)驗(yàn)理性提升的重要性我在一線教書(shū)28年的體會(huì)是，兩班上同樣內(nèi)容的課，第二個(gè)班總比第一個(gè)班順利些，這其中就有值得的總結(jié)的東西。在日復(fù)一日、年復(fù)一年貌似重復(fù)的工作中，不可能沒(méi)有成功的體驗(yàn)與挫折的教訓(xùn)。如果因?yàn)槊?，雖有反思提升，卻難以落筆，結(jié)果頭腦中靈光一現(xiàn)的好思路、好方法稍縱即逝。沒(méi)有通過(guò)文字清晰教訓(xùn)、固化收獲，最終陷入“教不研則淺，研不寫則失”的窠臼。處在“高原期”原地踏步的教師就是這樣煉成的。在教學(xué)實(shí)踐中，許多同行對(duì)寫作的看法與我不一致，他們多數(shù)認(rèn)為，寫文章往往帶有功利色彩，寫好文章與教好課沒(méi)有必然的聯(lián)系。我40年工作實(shí)踐，給出了否定的回答:經(jīng)驗(yàn)反思總結(jié)、理性提升，離不開(kāi)寫作寫好文章與教好課有必然聯(lián)系。以寫作的心態(tài)進(jìn)行教學(xué)研究，專業(yè)化水平會(huì)突飛猛進(jìn)的提高。理由之一：寫作前提是“研究”

只有通過(guò)自己的實(shí)踐與研究，才能有感而發(fā)，才能寫出真