第四章 數(shù)列 章末重難點歸納總結(jié)（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】第四章數(shù)列章末重難點歸納總結(jié)考點一等差等比基本量的計算【例1-1】（2022·陜西）等差數(shù)列的首項為1，公差不為0.若，，成等比數(shù)列，則的通項公式為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，成等比數(shù)列，則即，將代入計算可得或（舍）則通項公式為故選:A.【例1-2】（2022·江蘇）記為等比數(shù)列的前項和.若，則___________.【答案】【解析】公比，則故答案為：【一隅三反】1．（2022·甘肅）等差數(shù)列的首項為5,公差不等于零．若，，成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知等差數(shù)列的首項為,設(shè)的公差為d，由，，成等比數(shù)列得，即，解得，因而，故.故選:D2．（2022·黑龍江齊齊哈爾）已知等比數(shù)列的前n項和，則______.【答案】9【解析】因為當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比時，，又，故可得，解得，故，則.故答案為：.3．（2022·吉林）已知等比數(shù)列的公比，，，則___________.【答案】【解析】由得由等比數(shù)列得，所以，即解得或，則或，由，可得，即所以.故答案為：.考點二等差等比數(shù)列的性質(zhì)【例2-1】（2022·福建漳州·高二期中）已知等差數(shù)列中，是函數(shù)的兩個零點，則=（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【解析】由題意知，又是等差數(shù)列，所以.故選：D【例2-2】（2022·福建）在等比數(shù)列中，若，是方程的根，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】顯然方程有兩個正實根，依題意，有，，等比數(shù)列公比，，所以.故選：C【例2-3】（2022·江蘇省震澤中學(xué)高二階段練習(xí)）已知分別是等差數(shù)列與的前項和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以，又因為分別是等差數(shù)列與的前項和，且，所以,故選：.【例2-4】（2022·北京）若等差數(shù)列滿足，則當(dāng)?shù)那绊椇偷淖畲髸r，的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．8或9【答案】B【解析】因為，所以，因為，所以，所以當(dāng)?shù)那绊椇偷淖畲髸r，的值為8.故選：B.【一隅三反】1．（2022·陜西）已知a是4與6的等差中項，b是與的等比中項，則（

）A．13 B． C．3或 D．或13【答案】D【解析】a是4與6的等差中項，故，b是與的等比中項，則，則，或.故選：D2．（2022·黑龍江齊齊哈爾）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，且，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，，所以，，因為數(shù)列是等比數(shù)列，，所以，，所以.故選：D.3．（2022·上海市行知中學(xué)）正項等比數(shù)列中，存在兩項使得，且，則最小值____.【答案】【解析】在正項等比數(shù)列中有，由等比數(shù)列的性質(zhì)知，即，解得或（舍），則，可得，其中.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故的最小值為：.4．（2022·浙江·嘉興一中高二期中）已知數(shù)列的前n項的和，若數(shù)列為等比數(shù)列，則的值為___________．【答案】【解析】數(shù)列為等比數(shù)列，則其前項成等比數(shù)列，即，由，，，，故，解得.此時，時，當(dāng)，，故符合，于是時，，數(shù)列為等比數(shù)列.故答案為：考點三求通項與求和【例3-1】（2023·云南）已知數(shù)列的首項.(1)求；(2)記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意可得，，，所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，故.（2）由（1）得，所以令①，則，因為②，①-②得，所以，所以.【例3-2】（2022·河南）已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因為，即①，當(dāng)時，解得或（舍去），當(dāng)時②，①②時，即，即，即，因為，所以，即，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.（2）解：由（1）可得，所以.【一隅三反】1．（2022·寧夏·石嘴山市第三中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列中，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】所以所以數(shù)列是一個以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列，所以.故選：C2．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論中錯誤的有（

）A．為等比數(shù)列 B．的通項公式為C．為遞增數(shù)列 D．的前項和為【答案】AD【解析】由題意得，則，而，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，，得，為遞減數(shù)列，故A正確，B，C錯誤，對于D，，的前項和為，故D正確，故選：AD3．（2022·上海市松江二中高二期中）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式為___________.【答案】【解析】由題意得：則當(dāng)時，于是又當(dāng)時，故數(shù)列是首項為公比為的等比數(shù)列所以故答案為：4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為；各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；；(2)．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，由，得，解得,∴；設(shè)等比數(shù)列的公比為q（），由，，得，解得,∴；（2）由（1）知：,令的前n項和為，則，所以，兩式作差可得：，∴，則數(shù)列的前n項和．5．（2023·廣西）已知等差數(shù)列的前項和為，且關(guān)于的不等式的解集為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為關(guān)于的不等式的解集為，所以的根為，所以，所以，，又，所以所以數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）可得，因為，所以，所以數(shù)列的前項和6．（2022·福建泉州）已知等差數(shù)列的前項和為，其中，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題設(shè)，，可得，又，所以公差，所以，所以的通項公式．（2）由（1）知：，令，，所以．考點四數(shù)列的實際應(yīng)用【例4-1】（2022·福建）把120個面包全部分給5個人，使每人所得面包個數(shù)成等差數(shù)列，且較大的三份之和是較小的兩份之和的7倍，則最小一份的面包個數(shù)為（

）A．2 B．5 C．6 D．11【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由條件可知，，，即，即，解得：，，所以最小一份的面包個數(shù)為個.故選：A【例4-2】（2022·天津）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.”則該人第一天走的路程為（

）A．63里 B．126里 C．192里 D．228里【答案】C【解析】由已知，設(shè)等比數(shù)列首項為，前n項和為，

公比為,，則，等比數(shù)列首項.故選：C.【一隅三反】1．（2022·安徽·六安一中）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難.次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”意思是：有一個人要走441里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完.則此人最后一天走的路程是（

）A．7里 B．14里 C．21里 D．112里【答案】A【解析】設(shè)為公比為的等比數(shù)列，則，解得，則，故選：A2（2022·湖南）農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成.2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元（其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元），預(yù)計該地區(qū)自2004年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年的年增長率增長，其它收入每年增加160元．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于（

）A．4200元~4400元 B．4400元~4600元 C．4600元~4800元 D．4800元~5000元【答案】B【解析】由題知：2004年農(nóng)民收入；2005年農(nóng)民收入；所以2008年農(nóng)民收入故選：B．3．（2022·黑龍江·哈爾濱七十三中）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于我國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》.1852年，英國傳教士偉烈亞力將該解法傳至歐洲，1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，