人教版九年級數(shù)學(xué)下冊全冊教案

正弦和余弦（一）

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（-）知識教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生知道當(dāng)直角三角形的銳角固定時，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也都

固定這一事實(shí).

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

逐步培養(yǎng)學(xué)生會觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.

（三）德育滲透點(diǎn)

引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)，以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學(xué)習(xí)

習(xí)慣.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：使學(xué)生知道當(dāng)銳角固定時，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固

定的這一事實(shí).

2.難點(diǎn)：學(xué)生很難想到對任意銳角，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固

定的事實(shí)，關(guān)鍵在于教師引導(dǎo)學(xué)生比較、分析，得出結(jié)論.

三、教學(xué)步驟

（1）明確目標(biāo)

AB

圖6-1

1.如圖6-1，長5米的梯子架在高為3米的墻上，則A、B間距離為多少

米？

2.長5米的梯子以傾斜角/CAB為30?？吭趬ι蟿tA、B間的距離為多少？

3.若長5米的梯子以傾斜角40。架在墻上，則A、B間距離為多少？

4.若長5米的梯子靠在墻上，使A、B間距為2米，則傾斜角/CAB為多

少度？

前兩個問題學(xué)生很容易回答.這兩個問題的設(shè)計(jì)主要是引起學(xué)生的回憶，并

使學(xué)生意識到，本章要用到這些知識.但后兩個問題的設(shè)計(jì)卻使學(xué)生感到疑惑，

這對初三年級這些好奇、好勝的學(xué)生來說，起到激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的作用.同

時使學(xué)生對本章所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容的特點(diǎn)有一個初步的了解，有些問題單靠勾股定

理或含30。角的直角三角形和等腰直角三角形的知識是不能解決的，解決這類問

題，關(guān)鍵在于找到一種新方法，求出一條邊或一個未知銳角，只要做到這一點(diǎn)，

有關(guān)直角三角形的其他未知邊角就可用學(xué)過的知識全部求出來.

通過四個例子引出課題.

（二）整體感知

1.請每一位同學(xué)拿出自己的三角板，分別測量并計(jì)算30°、45°、60°角的

對邊、鄰邊與斜邊的比值.

學(xué)生很快便會回答結(jié)果：無論三角尺大小如何，其比值是一個固定的值.程

度較好的學(xué)生還會想到，以后在這些特殊直角三角形中，只要知道其中一邊長，

就可求出其他未知邊的長.

2.請同學(xué)畫一個含40。角的直角三角形，并測量、計(jì)算40。角的對邊、鄰邊

與斜邊的比值，學(xué)生又高興地發(fā)現(xiàn)，不論三角形大小如何，所求的比值是固定

的.大部分學(xué)生可能會想到，當(dāng)銳角取其他固定值時，其對邊、鄰邊與斜邊的比

值也是固定的嗎？

這樣做，在培養(yǎng)學(xué)生動手能力的同時，也使學(xué)生對本節(jié)課要研究的知識有了

整體感知，喚起學(xué)生的求知欲，大膽地探索新知.

（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程

1.通過動手實(shí)驗(yàn)，學(xué)生會猜想到“無論直角三角形的銳角為何值，它的對邊、

鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的”.但是怎樣證明這個命題呢？學(xué)生這時的思

維很活躍.對于這個問題，部分學(xué)生可能能解決它.因此教師此時應(yīng)讓學(xué)生展開

討論，獨(dú)立完成.

2.學(xué)生經(jīng)過研究，也許能解決這個問題.若不能解決，教師可適當(dāng)引導(dǎo)：

ClQC3

圖6-2

若一組直角三角形有一個銳角相等，可以把其

頂點(diǎn)Z"A3重合在一起，記作A,并使直角邊AC1,AC2,AC3……落

在同一條直線上，則斜邊AB1,AB2,AB3……落在另一條直線上.這樣同學(xué)們

能解決這個問題嗎？引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立證明：易知，BC||B2c2但3c3……，."ABC

一4AB2c2-^AB3c3-,

簫=等=警，=黎=寮=言，因此，在這些直角三角

形中，/A的對邊、鄰邊與斜邊的比值，是一個固定值.

通過引導(dǎo)，使學(xué)生自己獨(dú)立掌握了重點(diǎn)，達(dá)到知識教學(xué)目標(biāo)，同時培養(yǎng)學(xué)生

能力，進(jìn)行了德育滲透.

而前面導(dǎo)課中動手實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)，實(shí)際上為突破難點(diǎn)而設(shè)計(jì).這一設(shè)計(jì)同時起

到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的作用.

sin60°=-

練習(xí)題為2作了孕伏同時使學(xué)生知道任意銳角的對邊與斜邊的比

值都能求出來.

（四）總結(jié)與擴(kuò)展

1.引導(dǎo)學(xué)生作知識總結(jié)：本節(jié)課在復(fù)習(xí)勾股定理及含30。角直角三角形的

性質(zhì)基礎(chǔ)上，通過動手實(shí)驗(yàn)、證明，我們發(fā)現(xiàn)，只要直角三角形的銳角固定，它

的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的.

教師可適當(dāng)補(bǔ)充：本節(jié)課經(jīng)過同學(xué)們自己動手實(shí)驗(yàn)，大膽猜測和積極思考，

我們發(fā)現(xiàn)了一個新的結(jié)論，相信大家的邏輯思維能力又有所提高，希望大家發(fā)揚(yáng)

這種創(chuàng)新精神，變被動學(xué)知識為主動發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)自己的創(chuàng)新意識.

2.擴(kuò)展：當(dāng)銳角為30。時，它的對邊與斜邊比值我們知道.今天我們又發(fā)

現(xiàn)，銳角任意時，它的對邊與斜邊的比值也是固定的.如果知道這個比值，已知

一邊求其他未知邊的問題就迎刃而解了.看來這個比值很重要，下節(jié)課我們就著

重研究這個“比值”，有興趣的同學(xué)可以提前預(yù)習(xí)一下.通過這種擴(kuò)展，不僅對正、

余弦概念有了初步印象，同時又激發(fā)了學(xué)生的興趣.

四、布置作業(yè)

本節(jié)課內(nèi)容較少，而且是為正、余弦概念打基礎(chǔ)的，因此課后應(yīng)要求學(xué)生預(yù)

習(xí)正余弦概念.

五、板書設(shè)計(jì)

第十四章解直角三角形

一、銳角三角函數(shù)證明：-------------

正弦和余弦（二）

一、素質(zhì)教育

目標(biāo)

圖6-2

（一）知識教學(xué)

結(jié)論：-------------點(diǎn)

使學(xué)生初步了

練習(xí)：--------------

解正弦、余弦概念；

能夠較正確地用sinA、cosA表示直角三角形中兩邊的比；熟記特殊角30°、45%

60。角的正、余弦值，并能根據(jù)這些值說出對應(yīng)的銳角度數(shù).

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括的思維能力.

（三）德育滲透點(diǎn)

滲透教學(xué)內(nèi)容中普遍存在的運(yùn)動變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn).

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生了解正弦、余弦概念.

2.教學(xué)難點(diǎn)：用含有幾個字母的符號組sinA、cosA表示正弦、余弦；正

弦、余弦概念.

三、教學(xué)步驟

（一）明確目標(biāo)

1.引導(dǎo)學(xué)生回憶“直角三角形銳角固定時，它的對邊與斜邊的比值、鄰邊與

斜邊的比值也是固定的.”

2.明確目標(biāo)：這節(jié)課我們將研究直角三角形一銳角的對邊、鄰邊與斜邊的

比值——正弦和余弦.

（二）整體感知

當(dāng)直角三角形有一銳角為30°時，它的對邊與斜邊的比值為熱

只要知道三角形任一邊長，其他兩邊就可知.

而上節(jié)課我們發(fā)現(xiàn)：只要直角三角形的銳角固定，它的對邊與斜邊、鄰邊與

斜邊的比值也固定.這樣只要能求出這個比值，那么求直角三角形未知邊的問題

也就迎刃而解了.

通過與“30。角所對的直角邊等于斜邊的一半”相類比，學(xué)生自然產(chǎn)生想學(xué)習(xí)

的欲望，產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，同時對以下要研究的內(nèi)容有了大體印象.

（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程

正弦、余弦的概念是全章知識的基礎(chǔ)，對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)與工作都十分重要，

因此確定它為本課重點(diǎn)，同時正、余弦概念隱含角度與數(shù)之間具有一一對應(yīng)的函

數(shù)思想，又用含幾個字母的符號組來表示，因此概念也是難點(diǎn).

在上節(jié)課研究的基礎(chǔ)上，引入正、余弦，“把對邊、鄰邊與斜邊的比值稱做

正弦、余弦”.如圖6-3:

請學(xué)生結(jié)合圖形敘述正弦、余弦定義，以培養(yǎng)學(xué)生概括能力及語言表達(dá)能

力.教師板書：在AABC中，/C為直角，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做

zA的正弦，記作sinA,銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記作cosA.

B

邊//對

爹Na邊

C

鄰邊b

圖6-3

.4NAMI對邊，/項(xiàng)鄰邊

SINA=-C°SA=F^—

若把NA的對邊BC記作a,鄰邊AC記作b,斜邊AB記作c,則

smAJ,cosA、

cc

引導(dǎo)學(xué)生思考：當(dāng)/A為銳角時，sinA、cosA的值會在什么范圍內(nèi)？得結(jié)論

0<sinA<1,0<cosA<1（/A為銳角）.這個問題對于較差學(xué)生來說有些難度,

應(yīng)給學(xué)生充分思考時間，同時這個問題也使學(xué)生將數(shù)與形結(jié)合起來.

教材例1的設(shè)置是為了鞏固正弦概念，通過教師示范，使學(xué)生會求正弦，這

里不妨增問“cosA、cosB"，經(jīng)過反復(fù)強(qiáng)化，使全體學(xué)生都達(dá)到目標(biāo)，更加突出

重點(diǎn).

例1求出圖6-4所示的R3ABC中的sinA、sinB和cosA、cosB的值.

C2)

圖6-4

解:(1),?,斜邊AB=7AC2+BC2=5,

?.34

??sinA=-,sinB=—

A4c3

cosA~,cosB=-

55

(2)sinA=—,cosB=—.

'1313

?/AC=7AB2-BC2=12,

??012A12

..snB=—,cosA=—.

1313

學(xué)生練習(xí)1中1、2、3.

讓每個學(xué)生畫含30。、45°的直角三角形,分別求sin30°、sin45\sin60°

和cos30°、cos45%cos60°.這一練習(xí)既用到以前的知識，又鞏固正弦、余弦

的概念，經(jīng)過學(xué)習(xí)親自動筆計(jì)算后，對特殊角三角函數(shù)值印象很深刻.

1。近君

sin300=29sin45=sin60°=—.

乖皿。近51

cos30°=,cos45=%-,cos60=—.

例2求下列各式的值：

⑵加sin45。-gcos600

(l)sin30°+cos300；

+

解：(1).sin30°+cos30°=^-+^-=-?—,

(2)0sin45°-1cos60°=72Xx

為了使學(xué)生熟練掌握特殊角三角函數(shù)值，這里還應(yīng)安排六個小題：

(1)sin450+cos45;(2)sin30°cos60°;

sin30o

(3)0.5-sin60°；(4)如。?

COSJU

(5)若sinA=2，則NA=.

72

(6)若cosA=”-,則/A=.

在確定每個學(xué)生都牢記特殊角的三角函數(shù)值后，引導(dǎo)學(xué)生思考，”請大家觀

察特殊角的正弦和余弦值，猜測一下，sin20°大概在什么范圍內(nèi)，cos50°呢？"

這樣的引導(dǎo)不僅培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、注意力，而且培養(yǎng)學(xué)生勇于思考、大膽創(chuàng)新

的精神.還可以進(jìn)一步請成績較好的同學(xué)用語言來敘述“銳角的正弦值隨角度增

大而增大，余弦值隨角度增大而減小.”為查正余弦表作準(zhǔn)備.

(四)總結(jié)、擴(kuò)展

首先請學(xué)生作小結(jié)，教師適當(dāng)補(bǔ)充，“主要研究了銳角的正弦、余弦概念，

已知直角三角形的兩邊可求其銳角的正、余弦值.知道任意銳角A的正、余弦

值都在0~1之間，即

0<sinA<1,0<cosA<1（zA為銳角）.

還發(fā)現(xiàn)Rt^ABC的兩銳角NA、NB,sinA=cosB,cosA=sinB.正弦值隨角

度增大而增大，余弦值隨角度增大而減小.”

四、布置作業(yè)

教材習(xí)題14.1中A組3.

預(yù)習(xí)下一課內(nèi)容.

補(bǔ)充：1）若sinA=丁，則/A=.

2）若cosB=喙，則NB=.

五、板書設(shè)計(jì)

14.1正弦和余弦（二）

一、概念：三、例1四、特殊角的正余弦值

二、范圍：五、例2

正弦和余弦（三）

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生了解一個銳角的正弦（余弦）值與它的余角的余弦（正弦）值之間的關(guān)

系.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括的邏輯思維能力.

（三）德育滲透點(diǎn)

培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：使學(xué)生了解一個銳角的正弦（余弦）值與它的余角的余弦（正弦）值之

間的關(guān)系并會應(yīng)用.

2.難點(diǎn)：一個銳角的正弦（余弦）與它的余角的余弦（正弦）之間的關(guān)系的應(yīng)用.

三、教學(xué)步驟

（一）明確目標(biāo)

1.復(fù)習(xí)提問

（1）、什么是NA的正弦、什么是NA的余弦，結(jié)合圖形請學(xué)生回答.因?yàn)檎?/p>

弦、余弦的概念是研究本課內(nèi)容的知識基礎(chǔ)，請中下學(xué)生回答，從中可以了解教

學(xué)班還有多少人不清楚的，可以采取適當(dāng)?shù)难a(bǔ)救措施.

（2）請同學(xué)們回憶30。、45。、60。角的正、余弦值（教師板書）.

（3）請同學(xué)們觀察，從中發(fā)現(xiàn)什么特征？學(xué)生一定會回答“sin30°=cos60°,

sin45°=cos45°,sin60°=cos30°,這三個角的正弦值等于它們余角的余弦值”.

2.導(dǎo)入新課

根據(jù)這一特征，學(xué)生們可能會猜想“一個銳角的正弦（余弦）值等于它的余角的

余弦（正弦）值.”這是否是真命題呢？引出課題.

（二）、整體感知

關(guān)于銳角的正弦（余弦）值與它的余角的余弦（正弦）值之間的關(guān)系，是通過

30。、45。、60。角的正弦、余弦值之間的關(guān)系引入的，然后加以證明.引入這兩

個關(guān)系式是為了便于查“正弦和余弦表”，關(guān)系式雖然用黑體字并加以文字語言的

證明，但不標(biāo)明是定理，其證明也不要求學(xué)生理解，更不應(yīng)要求學(xué)生利用這兩個

關(guān)系式去推證其他三角恒等式.在本章，這兩個關(guān)系式的用處僅僅限于查表和計(jì)

算，而不是證明.

（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)和目標(biāo)完成過程

1.通過復(fù)習(xí)特殊角的三角函數(shù)值，引導(dǎo)學(xué)生觀察，并猜想“任一銳角的正弦

（余弦）值等于它的余角的余弦（正弦）值嗎？”提出問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使

學(xué)生的思維積極活躍.

2.這時少數(shù)反應(yīng)快的學(xué)生可能頭腦中已經(jīng)“畫”出了圖形，并有了思路，但

對部分學(xué)生來說仍思路凌亂.因此教師應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)：sinA=cos（90°-A）,

cosA=sin（90°-A）（A是銳角）成立嗎？這時，學(xué)生結(jié)合正、余弦的概念，完全可以

自己解決，教師要給學(xué)生足夠的研究解決問題的時間，以培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力

及獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神.

3.教師板書：

任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意銳角的余弦值等于它的余角

的正弦值.

sinA=cos（90°-A）,cosA=sin（900-A）.

4.在學(xué)習(xí)了正、余弦概念的基礎(chǔ)上，學(xué)生了解以上內(nèi)容并不困難，但是，

由于學(xué)生初次接觸三角函數(shù)，還不熟練，而定理又涉及余角、余函數(shù)，使學(xué)生極

易混淆.因此，定理的應(yīng)用對學(xué)生來說是難點(diǎn)、在給出定理后，需加以鞏固.

已知NA和NB都是銳角，

(1)把cos(90，A)寫成NA的正弦.

(2)把sin(90°-A)寫成NA的余弦.

這一練習(xí)只能起到鞏固定理的作用.為了運(yùn)用定理，教材安排了例3.

例3(1)已知smA=g,且/B=90°-NA,求cosB；

(2)已知sin35°=0.5736,求cos55°;

(3)已知cos47o6z=0.6807,求sin42°54,.

(1)問比較簡單，對照定理，學(xué)生立即可以回答.(2)、(3)比(1)則更深一步，

因?yàn)?1)明確指出NB與/A互余，(2)、(3)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)35°與55°的角，47°6'

分42°54'的角互余，從而根據(jù)定理得出答案，因此(2)、(3)問在課堂上應(yīng)該請基

礎(chǔ)好一些的同學(xué)講清思維過程，便于全體學(xué)生掌握，在三個問題處理完之后，最

好將題目變形：

(2)已知sin35°=0.5736,貝Ucos=0.5736.

(3)cos47°6z=0.6807,貝Usin=0.6807,以培養(yǎng)學(xué)生思維能力.

為了配合例3的教學(xué)，教材中配備了練習(xí)題2.

J2

(1)已知80=號，且NB=90°-ZA,求sinB；

(2)已知sin67°18,=0.9225,求cos22042,;

(3)已知cos4°24,=0.9971,求sin85036,.

學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)2,就說明定理的教學(xué)較成功，學(xué)生基本會運(yùn)用.

教材中3的設(shè)置，實(shí)際上是對前二節(jié)課內(nèi)容的綜合運(yùn)用，既考察學(xué)生正、余

弦概念的掌握程度，同時又對本課知識加以鞏固練習(xí)，因此例3的安排恰到好

處.同時，做例3也為下一節(jié)查正余弦表做了準(zhǔn)備.

（四）小結(jié)與擴(kuò)展

1.請學(xué)生做知識小結(jié)，使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，將所學(xué)內(nèi)容變成

自己知識的組成部分.

2.本節(jié)課我們由特殊角的正弦（余弦）和它的余角的余弦（正弦）值間關(guān)系，以

及正弦、余弦的概念得出的結(jié)論任意一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，

任意一個銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.

四、布置作業(yè)

教材習(xí)題14.1A組4、5.

五、板書設(shè)計(jì)

14.1正弦和余弦（三）

一、余角余函數(shù)關(guān)系二、例3

正弦和余弦（四）

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生會查“正弦和余弦表”，即由已知銳角求正弦、余弦值.（二）能力滲透

逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.

（三）德育訓(xùn)練點(diǎn)

培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：“正弦和余弦表”的查法.

2.難點(diǎn)：當(dāng)角度在0。~90。間變化時，正弦值與余弦值隨角度變化而變化

的規(guī)律.

三、教學(xué)步驟

（一）明確目標(biāo)

1.復(fù)習(xí)提問

1）30。、45。、60。的正弦值和余弦值各是多少？請學(xué)生口答.

2）任意銳角的正弦（余弦）與它的余角的余弦（正弦）值之間的關(guān)系怎樣？通過

復(fù)習(xí)，使學(xué)生便于理解正弦和余弦表的設(shè)計(jì)方式.

（二）整體感知

我們已經(jīng)求出了30。、45。、60。這三個特殊角的正弦值和余弦值，但在生產(chǎn)

和科研中還常用到其他銳角的正弦值和余弦值，為了使用上的方便，我們把0°

—90。間每隔1'的各個角所對應(yīng)的正弦值和余弦值（一般是含有四位有效數(shù)字的

近似值），列成表格——正弦和余弦表.本節(jié)課我們來研究如何使用正弦和余弦

表.

（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程

1.“正弦和余弦表''簡介

學(xué)生已經(jīng)會查平方表、立方表、平方根表、立方根表，對數(shù)學(xué)用表的結(jié)構(gòu)與

查法有所了解.但正弦和余弦表與其又有所區(qū)別，因此首先向?qū)W生介紹“正弦和

余弦表”.

（1）“正弦和余弦表”的作用是：求銳角的正弦、余弦值，已知銳角的正弦、余

弦值，求這個銳角.

2）表中角精確到1',正弦、余弦值有四位有效數(shù)字.

3）凡表中所查得的值，都用等號，而非“=”，根據(jù)查表所求得的值進(jìn)行近似

計(jì)算，結(jié)果四舍五入后，一般用約等號七”表示.

2.舉例說明

例4查表求37°24'的正弦值.

學(xué)生因?yàn)橛胁楸斫?jīng)驗(yàn)，因此查sin37°24'的值不會是到困難，完全可以自己

解決.

例5查表求37。26,的正弦值.

學(xué)生在獨(dú)自查表時，在正弦表頂端的橫行里找不到26',但26,在24'~30'

間而靠近24',比24,多2,，可引導(dǎo)學(xué)生注意修正值欄，這樣學(xué)生可能直接得答

案.教師這時可設(shè)問“為什么將查得的5加在0.6074的最后一個數(shù)位上，而不是

0.6074減去0.0005”.通過引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，得結(jié)論：當(dāng)角度在0°~90°間變

化時，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）.

解:sin37°24,=0.6074.

角度增2'值增0.0005

sin37°26'=0.6079.

例6查表求sin37°23'的值.

如果例5學(xué)生已經(jīng)理解，那么例6學(xué)生完全可以自己解決，通過對比，加

強(qiáng)學(xué)生的理解.

解:sin37°24,=0.6074

角度減1'值減0.0002

sin37°23,=0.6072.

在查表中，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生查得：

sin0°=0,sin90°=1.

根據(jù)正弦值隨角度變化規(guī)律：當(dāng)角度從0°增加到90。時,正弦值從0增加到

1;當(dāng)角度從90。減少到0。時，正弦值從1減到0.

可引導(dǎo)學(xué)生查得：

cos0°=1,cos90°=0.

根據(jù)余弦值隨角度變化規(guī)律知：當(dāng)角度從0°增加到90。時，余弦值從1減小

到0,當(dāng)角度從90。減小到0。時，余弦值從0增加到1.

（四）總結(jié)與擴(kuò)展

1.請學(xué)生總結(jié)

本節(jié)課主要討論了“正弦和余弦表”的查法.了解正弦值，余弦值隨角度的變

化而變化的規(guī)律：當(dāng)角度在0°~90。間變化時，正弦值隨著角度的增大而增大，

隨著角度的減小而減??；當(dāng)角度在0°?90。間變化時，余弦值隨著角度的增大而

減小，隨著角度的減小而增大.

2.“正弦和余弦表”的用處除了已知銳角查其正、余弦值外，還可以已知正、

余弦值，求銳角，同學(xué)們可以試試看.

四、布置作業(yè)

預(yù)習(xí)教材中例8、例9、例10,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

五、板書設(shè)計(jì)

14.1正弦和余弦（四）

一、正余弦值隨角度變二、例題例5例6

化規(guī)律例4

正弦和余弦（五）

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生會根據(jù)一個銳角的正弦值和余弦值，查出這個銳角的大小.（二）能力

訓(xùn)練點(diǎn)

逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.

（三）德育滲透點(diǎn)

培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)

1.重點(diǎn)：由銳角的正弦值或余弦值，查出這個銳角的大小.

2.難點(diǎn)：由銳角的正弦值或余弦值，查出這個銳角的大小.

3.疑點(diǎn)：由于余弦是減函數(shù)，查表時“值增角減，值減角增'學(xué)生常常出錯.

三、教學(xué)步驟

（一）明確目標(biāo)

1.銳角的正弦值與余弦值隨角度變化的規(guī)律是什么？

這一規(guī)律也是本課查表的依據(jù)，因此課前還得引導(dǎo)學(xué)生回憶.

答：當(dāng)角度在0。~90。間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或

減?。?；當(dāng)角度在0°?90。間變化時，余弦值隨角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟?/p>

大）.

分1，2'31

修正值123

2若cos21°30'=0.9304，且表中同一行的修正值是

貝ijcos21°31,=

cos21°28z=.

3.不查表，比較大?。?/p>

（1）sin20°sin20015,;

⑵cos51。cos50010z;

（3）sin21°cos68°.

學(xué)生在回答2題時極易出錯，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生敘述思考過程，然后得出

答案.

3題的設(shè)計(jì)主要是考察學(xué)生對函數(shù)值隨角度的變化規(guī)律的理解，同時培養(yǎng)學(xué)

生估算.

（二）整體感知

已知一個銳角，我們可用“正弦和余弦表''查出這個角的正弦值或余弦值.反

過來，已知一個銳角的正弦值或余弦值，可用“正弦和余弦表”查出這個角的大

小.因?yàn)閷W(xué)生有查“平方表”、“立方表”等經(jīng)驗(yàn)，對這一點(diǎn)必深信無疑.而且通過

逆向思維，可能很快會掌握已知函數(shù)值求角的方法.

（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程.

例8已知sinA=0.2974,求銳角A.

學(xué)生通過上節(jié)課已知銳角查其正弦值和余弦值的經(jīng)驗(yàn)，完全能獨(dú)立查得銳角

A，但教師應(yīng)請同學(xué)講解查的過程：從正弦表中找出0.2974，由這個數(shù)所在行向

左查得17°,由同一數(shù)所在列向上查得18',即0.2974=sin17°18,,以培養(yǎng)學(xué)生

語言表達(dá)能力.

解：查表得sin17°18'=0.2974,所以

銳角A=17°18'.

例9已知cosA=0.7857,求銳角A.

分析：學(xué)生在表中找不到0.7857,這時部分學(xué)生可能束手無策，但有上節(jié)

課查表的經(jīng)驗(yàn)，少數(shù)思維較活躍的學(xué)生可能會想出辦法.這時教師最好讓學(xué)生討

論，在探討中尋求辦法.這對解決本題會有好處，使學(xué)生印象更深，理解更透徹.

若條件許可，應(yīng)在討論后請一名學(xué)生講解查表過程：在余弦表中查不到

0.7857.但能找到同它最接近的數(shù)0.7859,由這個數(shù)所在行向右查得38。，由

同一個數(shù)向下查得12',即0.7859=cos38°12'.但cosA=0.7857，比0.7859

小0.0002,這說明/A比38°1。要大,由0.7859所在行向右查得修正值0.0002

對應(yīng)的角度是1',所以〃\=38°12'+1'=38°13'.

解:查表得cos38°12'=0.7859,所以:

0.7859=cos38°12,.

值減0.0002角度增1'

0.7857=cos38013,,

即銳角A=38°13'.

例10已知cosB=0.4511,求銳角B.

例10與例9相比較，只是出現(xiàn)余差(本例中的0.0002)與修正值不一致.教

師只要講清如何使用修正值(用最接近的值)，以使誤差最小即可，其余部分學(xué)生

在例9的基礎(chǔ)上，可以獨(dú)立完成.

解:0.4509=cos63012z

值增0.0003角度減V

0.4512=cos63011,

銳角8=63。11'

為了對例題加以鞏固，教師在此應(yīng)設(shè)計(jì)練習(xí)題，教材P.15中2、3.

2.已知下列正弦值或余弦值，求銳角A或B:

(1)sinA=0.7083,sinB=0.9371,

sinA=0.3526,sinB=0.5688;

(2)cosA=0.8290,cosB=0.7611,

cosA=0.2996,cosB=0.9931.

此題是配合例題而設(shè)置的，要求學(xué)生能快速準(zhǔn)確得到答案.

(1)45°6,,69°34,,20°39',34°40';

(2)34°0,,40°26',72°34',6°44'.

3.查表求sin57。與cos33°,所得的值有什么關(guān)系？

此題是讓學(xué)生通過查表進(jìn)一步印證關(guān)系式sinA=cos(90°-A),cosA=

0.8387,.-.sin57°=cos33°,或sin57°=cos(90°-57°),cos33°=sin(90°-33°).

(四)、總結(jié)、擴(kuò)展

本節(jié)課我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)了已知一個銳角的正弦值或余弦值，可用“正弦和余弦

表”查出這個銳角的大小，這也是本課難點(diǎn)，同學(xué)們要會依據(jù)正弦值和余弦值隨

角度變化規(guī)律（角度變化范圍0°~90。）查“正弦和余弦表”.

四、布置作業(yè)

教材復(fù)習(xí)題十四A組3、4,要求學(xué)生只查正、余弦。

五、板書設(shè)計(jì)

14.1正弦和余弦（五）

例8例9例10

正弦和余弦（六）

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點(diǎn)

歸納綜合第一大節(jié)的內(nèi)容，使之系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，并使學(xué)生綜合運(yùn)用這些知

識，解決簡單問題.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、綜合、概括邏輯思維能力；培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決

問題的能力；使學(xué)生逐步形成用數(shù)學(xué)的意識.

(三)德育滲透點(diǎn)

滲透數(shù)學(xué)知識來源于實(shí)踐又反過來作用于實(shí)踐的觀點(diǎn)；培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

及良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)

1.重點(diǎn)：歸納總結(jié)前面的知識，并運(yùn)用它們解決有關(guān)問題.

2.難點(diǎn)：歸納總結(jié)前面的知識，并運(yùn)用它們解決有關(guān)問題.

3.疑點(diǎn)：學(xué)生在用“正弦和余弦表”時，往往在修正值的加減上混淆不清.

三、教學(xué)步驟

(一)明確目標(biāo)

1.結(jié)合圖6-5,請學(xué)生回憶，什么是NA的正弦，余弦？教師板

4.ab

i5sinA=-,cosA=-.

cc

2.互余兩角的正弦、余弦值之間具有什么關(guān)系？

答:sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A).

教師板書.

3.特殊角0。、30。、45。、60。、90。的正弦值余弦值各是多少？

答：sinO0=0,sin30°=g,sin450=,sin60°=~^，

sin90°=1；

./21

cosO0=1,cos300=—,cos45°=,cos600=—,

cos90°=0.

4.在0。~90。之間,銳角的正弦值、余弦值怎樣隨角度的變化而變化？

答：在0。~90。之間，銳角的正弦值隨角度的增加（或減?。┒黾樱ɑ驕p小）;

銳角的余弦值隨角度的增加（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟黾樱?

本節(jié)課我們將運(yùn)用以上知識解決有關(guān)問題.

（二）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程

1.本章引言中提到這樣一個問題修建某揚(yáng)水站時，要沿著斜坡鋪設(shè)水管假

設(shè)水管AB長為105.2米，NA=30°6',求坡高BC（保留四位有效數(shù)字）.現(xiàn)在，

這個問題我們能否解決呢？

這里出示引言中的問題，不僅調(diào)動學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)，同時體現(xiàn)

了教學(xué)的完整性，首尾照應(yīng).

對學(xué)生來說，此題比較容易解答.教師可以請成績較好的學(xué)生口答，

教師板書：在RtZXABC中，sinA=,,

AB

.'.BC=ABsinA

=105.2sin30°6,

=105.2x0.5015

=52.76（米）.

這一例題不僅起到鞏固銳角三角函數(shù)

概念的作用，同時為下一節(jié)“解直角三角形’做了鋪墊.同時向?qū)W生滲透了數(shù)

學(xué)知識來源于實(shí)踐又反過來作用于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的

意識.

2.為了過渡到第二大節(jié)“解直角三角形”，教材還安排了例1,它既是對概念

的鞏固、應(yīng)用，又為解直角三角形作了鋪墊.出示投影片

例11如圖6-7,在RdABC中，改0AC=35,AB=45,求zA（精確至IJ1°）.

分析：本題已知直角三角形的斜邊長，直角邊長，所以根據(jù)直角三角形中銳

角的余弦定義，先求出cosA,進(jìn)而查表求得NA.

教師可請一名中等學(xué)生板書，其他學(xué)生在本上完成.

解：cosA=M=^|=0.7778,

AB45

查表得NA=39°,

3.教材為例題配置了兩個練習(xí)題，因此在完成例題后，請學(xué)生做鞏固練習(xí)

在AABC中，NA、NB、NC所對的邊分別為a、b、c.

⑴已知a=32,/B=50°,求c（保留兩位有效數(shù)字）.

⑵已知c=20,b=14,求NA（精確到1°）.

學(xué)生在做這兩個小題時，可能有幾種不同解法，如(1),應(yīng)選擇c=

展最簡便，⑵選擇cosA=B最簡便.通過比較，使學(xué)生學(xué)會選擇恰

cosBc

當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)關(guān)系式解題，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力.

4.本課安排在第一大節(jié)最后一課，因此本課還有對整個第一大節(jié)進(jìn)行歸納、

總結(jié)的任務(wù).由于在課前復(fù)習(xí)中已經(jīng)將幾個知識點(diǎn)一一復(fù)習(xí)，因此這里主要配備

小題對概念加以鞏固和應(yīng)用.

(1)判斷題：

i對于任意銳角a,都有0〈sinav1和0<cosav1

()

ii對于任意銳角a,a2,如果ai〈c(2,那么cosavcosc(2()

iii如果sina<sinc(2,那么銳角av銳角c(2i()

iv如果coscnvcosc(2,那么銳角a>銳角c(2()

這道題是為鞏固正弦、余弦的概念而配備的，可引導(dǎo)學(xué)生用圖形來判斷，也

可用“正弦和余弦表”來判斷.對于假命題，應(yīng)請學(xué)生舉出反例.

(2)回答下列問題

isin20°+sin40°是否等于sin60°;

iicos10°+cos20°是否等于cos30°.

可引導(dǎo)學(xué)生查表得答案.這兩個小題對學(xué)生來說極易出錯，因?yàn)閷W(xué)生對函數(shù)

sinA、cosA理解得并不深，而且由于數(shù)與式的四則運(yùn)算造成的負(fù)遷移，使學(xué)生

易混淆.

(3)在R3ABC中，下列式子中不一定成立的是

A.sinA=sinB

B.cosA=sinB

C.sinA=cosB

D.sin(A+B)=sinC

這一小題是為復(fù)習(xí)任意銳角的正弦值與余弦值的關(guān)系而設(shè)計(jì)的.通過比較幾

個等式，加深學(xué)生對余角余函數(shù)概念理解.

教師可請學(xué)生口答答案并說明原因.

(4)如果/A為銳角，且cosA=g,那么[]

A.0°<zA<30°

B.30°<zA<45°

C.45<zA<60°

D.60°<NA<90°

對于初學(xué)三角函數(shù)的學(xué)生來說，解答此題是個難點(diǎn)，教師應(yīng)給學(xué)生充足時間

討論，這對培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題能力很有好處，如果學(xué)生沒有思路，教

師可適當(dāng)點(diǎn)撥；要想探索/A在哪個范圍，首先觀察

其余弦值cosA在哪一范圍內(nèi)？答：0<cosA<：,進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生得出

2NA

范圍，答案選D.

(三)總結(jié)與擴(kuò)展

請學(xué)生總結(jié)：我們研究了正弦、余弦的概念及余角余函數(shù)關(guān)系，會用“正弦

和余弦表”查任一銳角的正弦、余弦值，并會用這些知識解決有關(guān)問題.

四、布置作業(yè)

1.看教材培養(yǎng)學(xué)生看書習(xí)慣.

2.教材習(xí)題14.1A組.

對學(xué)有余力的學(xué)生可選作B組第1題.

五、板書設(shè)計(jì)

14.1正弦和余弦（六）

一、正余弦概念及有關(guān)二、例解例11

知識引例

正切和余切（一）

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生了解正切、余切的概念，能夠正確地用tanA、cotA表示直角三角形（其中一個銳角為

NA）中兩邊的比，了解tanA與cotA成倒數(shù)關(guān)系，熟記30。、45。、60。角的各個三角函數(shù)值，

會計(jì)算含有這三個特殊銳角的三角函數(shù)值的式子，會由一個特殊銳角的三角函數(shù)值說出這個

角的度數(shù)，了解一個銳角的正切（余切）值與它的余角的余切（正切）值之間的關(guān)系.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力.

（三）德育滲透點(diǎn)

培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：了解正切、余切的概念，熟記特殊角的正切值和余切值.

2.難點(diǎn)：了解正切和余切的概念.

三、教學(xué)步驟

（一）明確目標(biāo)

1.什么是銳角NA的正弦、余弦？（結(jié)合圖6-8回答）.

2.填表

角度a

0°30°45°0"90°

函數(shù)

sina

cosa

3.互為余角的正弦值、余弦值有何關(guān)系？

4.當(dāng)角度在0。~90。變化時，銳角的正弦值、余弦值有何變化規(guī)律？

5.我們已經(jīng)掌握一個銳角的正弦（余弦）是指直角三角形中該銳角的對邊（鄰邊）與斜邊的比

值.那么直角三角形中，兩直角邊的比值與銳角的關(guān)系如何呢？在銳角三角函數(shù)中，除正、

余弦外，還有其它一些三角函數(shù)，本節(jié)課我們學(xué)習(xí)正切和余切.

（二）整體感知.

正切、余切的概念，也是本章的重點(diǎn)和關(guān)鍵，是全章知識的基礎(chǔ)，對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)或工作

都十分重要,教材在繼第一節(jié)正弦和余弦后，又以同樣的順序安排第二節(jié)正切余切.像這樣，

把概念、計(jì)算和應(yīng)用分成兩塊，每塊自成一個整體小循環(huán)，第二循環(huán)又包含了第一循環(huán)的內(nèi)

容，可以有效地克服難點(diǎn)，同時也使學(xué)生通過對比，便于掌握銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識.

(三)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成

1.引入正切、余切概念

圖6-9

①①本節(jié)課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關(guān)系，因此同學(xué)們首先應(yīng)思考：當(dāng)銳角固定時，

兩直角邊的比值是否也固定？

因?yàn)閷W(xué)生在研究過正弦、余弦概念之后，已經(jīng)接觸過這類問題，所以大部分學(xué)生能口述證明，

并進(jìn)一步猜測“兩直角邊的比值一定是正切和余切

圖6-10

②給出正切、余切概念如圖6-10,在Rt^ABC中，把NA的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，

記作tanA.

的對邊

即tanA=NA的鄰邊

并把/A的鄰邊與對邊的比叫做NA的余切，記作cotA,

NA的鄰邊

即cotA=乙4的對邊

2.tanA與cotA的關(guān)系

請學(xué)生觀察tanA與cotA的表達(dá)式，得結(jié)論‘―cotA(或

cotA=---,tanA?cotA=1

tanA)

這個關(guān)系式既重要又易于掌握，必須讓學(xué)生深刻理解，并與tanA=cot(90"A)區(qū)別開.

3.銳角三角函數(shù)

.,a,h,a,b

sinA=—,cosA=—,tanA=—,cotA=—,

由上圖，ccba把銳角A的正

弦、余弦、正切、余切都叫做NA的銳角三角函數(shù).

銳角三角函數(shù)概念的給出，使學(xué)生茅塞頓開，初步理解本節(jié)題目.

問：銳角三角函數(shù)能否為負(fù)數(shù)？

學(xué)生回答這個問題很容易.

4.特殊角的三角函數(shù).

①教師出示幻燈片

三角函數(shù)/0°/30°/45°/60°/90°

三角函數(shù)30°45°60°90°

0°

sinA0]_1

V3

2也

VV

cosA10

73V2

2

V2

tanA

cotA

請同學(xué)推算30。、45。、60。角的正切、余切值.（如圖6-11）

tan30°=tanA=-^==—

x/33

BC11

tan45°=tanA=-；-

ACr1

人r/

tan60°=tanB=—=VT3

BC

AT百

V13-

.

cot30°=cotA=----=.

.

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