蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練專題04難點(diǎn)探究專題：全等三角形中的動態(tài)問題(原卷版+解析)

專題04難點(diǎn)探究專題：全等三角形中的動態(tài)問題類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動點(diǎn)中的時(shí)間問題類型二利用全等三角形中的動點(diǎn)求線段長及最值問題類型三全等三角形中的動點(diǎn)綜合問題類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動點(diǎn)中的時(shí)間問題例題：（2021·山東臨沂·八年級期中）如圖，，垂足為點(diǎn)A，射線，垂足為點(diǎn)B，，．動點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿射線AN運(yùn)動，動點(diǎn)D在射線BM上，隨著E點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動，始終保持．若點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間為，則當(dāng)________個(gè)秒時(shí)，與全等．【變式訓(xùn)練】（2021·全國·七年級專題練習(xí)）已知：如圖，在長方形中，延長到點(diǎn)，使，連接，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為秒，當(dāng)?shù)闹禐開______時(shí)，和全等．類型二利用全等三角形中的動點(diǎn)求線段長及最值問題例題：（2019·江蘇·宜興市周鐵中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知：如圖，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，點(diǎn)C是線段BD上一動點(diǎn)，點(diǎn)E是直線DF上一動點(diǎn)，且始終保持AC⊥CE，若AC=CE,則DE的長為______.【變式訓(xùn)練】1.（2020·江蘇·泰州中學(xué)附屬初中八年級階段練習(xí)）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且滿足DE=DH，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，G為直線AC上一動點(diǎn)，滿足DG＝DF，若AE=4cm，則AG=_____cm．2.（2021·重慶八中八年級開學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動點(diǎn)，則CE+EF的最小值為________．類型三全等三角形中的動點(diǎn)綜合問題例題：（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）如圖，在中，．點(diǎn)D是直線上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊的延長線上時(shí)，請?zhí)骄烤€段與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；(3)如圖3，若點(diǎn)D在邊的延長線上，且點(diǎn)A，E分別在直線的兩側(cè)，其他條件不變，若，直接寫出的長度．【變式訓(xùn)練】（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）如圖①，點(diǎn)C在線段AB上（點(diǎn)C不與A，B重合），分別以AC，BC為邊在AB同側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE，BD交于點(diǎn)P．(1)觀察猜想：1.AE與BD的數(shù)量關(guān)系為______；2.∠APD的度數(shù)為______；(2)數(shù)學(xué)思考：如圖②，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，（1）中的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．一、填空題1．（2022·江蘇·景山中學(xué)七年級期末）如圖，，垂足為，cm，cm，射線，垂足為，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度沿射線運(yùn)動，點(diǎn)為射線上一動點(diǎn)，滿足，隨著點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動______秒時(shí)，與全等．2．（2021·貴州·北京市日壇中學(xué)貴陽分校七年級期中）如圖，B，C都是直線上的點(diǎn)，點(diǎn)A是直線上方的一個(gè)動點(diǎn)，連接得到，D，E分別為上的點(diǎn)，且．當(dāng)線段與具有_________的位置關(guān)系時(shí)滿足．3．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，為線段上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，連接作，且連接，當(dāng)時(shí)，______度．4．（2020·廣西·桂林市田家炳中學(xué)八年級期末）如圖所示，在邊長為4的正方形中，、分別為、的中點(diǎn)，為對角線上的一個(gè)動點(diǎn)，則的最小值的是_________.二、解答題5．（2020·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P、Q是邊AC、BC上的兩個(gè)動點(diǎn)，PD⊥AB于點(diǎn)D，QE⊥AB于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時(shí)間是t秒（t0）．若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿CA以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回到點(diǎn)C停止運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動，求當(dāng)t為何值時(shí)，△APD和△QBE全等．6．（2020·山東濟(jì)南·七年級期末）如圖，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點(diǎn)D是射線BC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)P．（1）如圖（1），若點(diǎn)D在BC的延長線上，且點(diǎn)E在線段AD上，試猜想AP，CD，BC之間的數(shù)最關(guān)系，并說明理由；（2）如圖（2），若點(diǎn)D在線段BC上，試猜想AP，CD，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．7．（2022·江蘇·八年級課時(shí)練習(xí)）△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是射線CB上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，且∠BAC＝90°時(shí)，那么∠DCE＝度；(2)設(shè)∠BAC＝，∠DCE＝．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，∠BAC≠90°時(shí)，請你探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上，∠BAC≠90°時(shí)，請將圖3補(bǔ)充完整，寫出此時(shí)與之間的數(shù)量關(guān)系并證明．8．（2022·云南·景谷傣族彝族自治縣教育體育局教研室八年級期末）如圖1，點(diǎn)P，Q分別是等邊邊AB，BC上的動點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都相同．(1)連接AQ，CP交于點(diǎn)M則在P、Q運(yùn)動的過程中，的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB，BC上運(yùn)動，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．9．（2020·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，為的中點(diǎn)，，．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)運(yùn)動；同時(shí)動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間是．（1）在運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)位于線段的垂直平分線上時(shí)，求出的值；（2）在運(yùn)動過程中，當(dāng)時(shí)，求出的值；（3）是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．10．（2019·內(nèi)蒙古·赤峰市松山區(qū)大廟中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知：如圖，，，，，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)，且始終保持．（1）證明：；（2）若點(diǎn)在線段上滿足時(shí)，求的長？（3）在線段的延長線上，是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請求出的長度；若不存在，請說明理由．11．（2022·安徽·九年級期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點(diǎn)為射線CB上一動點(diǎn)，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點(diǎn)，若AG＝3，CG＝1，求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)．（3）當(dāng)E點(diǎn)在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交子G點(diǎn)，若BC＝4，BE＝3，則．（直接寫出結(jié)果）12．（2022·福建·廈門市松柏中學(xué)八年級期末）如圖所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動點(diǎn)，點(diǎn)E在BD的延長線上，CD交AB于點(diǎn)F，且∠BDC＝∠BAC．(1)求證：∠ABD＝∠ACD；(2)求證：AD平分∠CDE；(3)若在D點(diǎn)運(yùn)動的過程中，始終有DC＝DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數(shù)．專題04難點(diǎn)探究專題：全等三角形中的動態(tài)問題類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動點(diǎn)中的時(shí)間問題類型二利用全等三角形中的動點(diǎn)求線段長及最值問題類型三全等三角形中的動點(diǎn)綜合問題類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動點(diǎn)中的時(shí)間問題例題：（2021·山東臨沂·八年級期中）如圖，，垂足為點(diǎn)A，射線，垂足為點(diǎn)B，，．動點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿射線AN運(yùn)動，動點(diǎn)D在射線BM上，隨著E點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動，始終保持．若點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間為，則當(dāng)________個(gè)秒時(shí)，與全等．【答案】2或6或8【解析】【分析】分兩種情況：①當(dāng)E在線段AB上時(shí)，②當(dāng)E在BN上，再分別分成兩種情況AC=BE，AB=BE進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：①當(dāng)E在線段AB上，AC=BE時(shí)，

AC=6，BE=6，AE=12-6=6，點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間為(秒)．②當(dāng)E在BN上，AC=BE時(shí)，AC=6，BE=6，AE=12+6=18．點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間為(秒)．③當(dāng)E在BN上，AB=BE時(shí)，AE=12+12=24.點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間為(秒)④當(dāng)E在線段AB上，AB=BE時(shí)，這時(shí)E在A點(diǎn)未動，因此時(shí)間為秒不符合題意．故答案為：2或6或8．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．【變式訓(xùn)練】（2021·全國·七年級專題練習(xí)）已知：如圖，在長方形中，延長到點(diǎn)，使，連接，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為秒，當(dāng)?shù)闹禐開______時(shí)，和全等．【答案】2或11【解析】【分析】分兩種情況討論，根據(jù)題意得出BF=2t=4和AF=26-2t=4即可求得答案．【詳解】解：∵為直角三角形，且AB=DC，∴當(dāng)≌時(shí)，有BF=2t=CE=4，解得：t=2；當(dāng)≌時(shí)，有AF=CE=4，此時(shí)=4，解得：，故答案為：2或11．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，注意到為直角三角形，且AB=DC，故只有BF=2t=4和AF=26-2t=4兩種情況．類型二利用全等三角形中的動點(diǎn)求線段長及最值問題例題：（2019·江蘇·宜興市周鐵中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知：如圖，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，點(diǎn)C是線段BD上一動點(diǎn)，點(diǎn)E是直線DF上一動點(diǎn)，且始終保持AC⊥CE，若AC=CE,則DE的長為______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)全等得出對應(yīng)邊相等，即可得出答案.【詳解】解：∵∠B=90°，AB∥DF，∴∠D=∠B=90°，∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴∠ECD+∠CED=90°，∠ACB+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠CED；∴在△ABC和△CDE中∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB=CD=3cm，∴DE=BC=8cm-3cm=5cm故答案為5.【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2020·江蘇·泰州中學(xué)附屬初中八年級階段練習(xí)）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且滿足DE=DH，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，G為直線AC上一動點(diǎn)，滿足DG＝DF，若AE=4cm，則AG=_____cm．【答案】2或6.【解析】【詳解】∵DE⊥AB，DH⊥AC，∴∠AED=∠AHE=90°.在△ADE和△ADH中，∵AD=AD,DE=DH,∴△ADE≌△ADH(HL),∴AH=AE=4cm.∵F為AE的中點(diǎn)，∴AF=EF=2cm.在△FDE和△GDH中，∵DF=DG,DE=DH,∴△FDE≌△GDH(HL),∴GH=EF=2cm.當(dāng)點(diǎn)G在線段AH上時(shí)，AG=AH-GH=4-2=2cm;當(dāng)點(diǎn)G在線段HC上時(shí)，AG=AH+GH=4+2=6cm;故AG的長為2或6.2.（2021·重慶八中八年級開學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動點(diǎn)，則CE+EF的最小值為________．【答案】【解析】【分析】在AB上取點(diǎn)F′，使AF′=AF，過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H．因?yàn)镋F+CE=EF′+EC，推出當(dāng)C、E、F′共線，且點(diǎn)F′與H重合時(shí)，F(xiàn)E+EC的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D所示：在AB上取點(diǎn)F′，使AF′=AF，過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，又AE=AE，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴FE=EF′，∵S△ABC=AB?CH=AC?BC，∴CH=，∵EF+CE=EF′+EC，∴當(dāng)C、E、F′共線，且點(diǎn)F′與H重合時(shí)，F(xiàn)E+EC的值最小，最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，明確當(dāng)C、E、F′共線，且點(diǎn)F′與點(diǎn)H重合時(shí)，CE+EF的值最?。愋腿热切沃械膭狱c(diǎn)綜合問題例題：（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）如圖，在中，．點(diǎn)D是直線上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊的延長線上時(shí)，請?zhí)骄烤€段與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；(3)如圖3，若點(diǎn)D在邊的延長線上，且點(diǎn)A，E分別在直線的兩側(cè)，其他條件不變，若，直接寫出的長度．【答案】(1)CE+CD=BC，證明見解析(2)CE=BC+CD，證明見解析(3)CE=4【解析】【分析】（1）根據(jù)條件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之間的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得到CE+CD=BC；（2）根據(jù)已知條件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根據(jù)BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；（3）根據(jù)條件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，即可解決問題．(1)解：如圖1，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BC=BD+CD=CE+CD，(2)線段BC，CD與CE之間存在的數(shù)量關(guān)系為BC=CE-CD．理由：如圖2中，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∴在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BD=BC+CD，即CE=BC+CD．(3)如圖3，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠BAD=∠EAC，同理，△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∵CD=10，BC=6，∴DB=DC-BC=4，∴CE=4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．解題時(shí)注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等．【變式訓(xùn)練】（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）如圖①，點(diǎn)C在線段AB上（點(diǎn)C不與A，B重合），分別以AC，BC為邊在AB同側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE，BD交于點(diǎn)P．(1)觀察猜想：1.AE與BD的數(shù)量關(guān)系為______；2.∠APD的度數(shù)為______；(2)數(shù)學(xué)思考：如圖②，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，（1）中的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．【答案】(1)①AE＝BD；②60°(2)上述結(jié)論成立．∠APD＝60°，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件只要證明△DCB≌△ACE，即可證明出AE于BD的數(shù)量關(guān)系，以及∠APD的角度；（2）根據(jù)△ACD，△BCE均為等邊三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，進(jìn)而可知∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，從而可證△DCB≌△ACE（SAS），則DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，根據(jù)∠DCA＝∠DPA＝60°可證∠APD＝60°．(1)解：∵△ACD和△CBE都是等邊三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，∴∠DCB=∠ACE，∴△DCB≌△ACE，∴AE=BD，∠BDC=∠CAE，又∵∠DOP=∠COA，∴∠APD=∠ACD=60°，故答案是：AE=BD，60°；(2)上述結(jié)論成立，∵△ACD，△BCE均為等邊三角形，∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，如圖，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，易知∠DOC＝∠AOP（對頂角相等），∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA，∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解決本題的關(guān)鍵．一、填空題1．（2022·江蘇·景山中學(xué)七年級期末）如圖，，垂足為，cm，cm，射線，垂足為，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度沿射線運(yùn)動，點(diǎn)為射線上一動點(diǎn)，滿足，隨著點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動______秒時(shí)，與全等．【答案】0或2或4或6【解析】【分析】根據(jù)題意可分點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)和右側(cè)進(jìn)行分類求解即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒，由題意得：CP=2tcm，①當(dāng)t=0時(shí)，即點(diǎn)C與點(diǎn)P重合，滿足△ACB≌△NBP，②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，且滿足AC=BP=2cm，∵，∴（HL），∵CP=2tcm，∴，即，解得：；③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，且滿足AC=BP=2cm，則，∴，即，解得：；④當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，且滿足BC=BP=6cm，則，∴，即，解得：；綜上所述：當(dāng)或0或4或6秒時(shí)，與全等．故答案為0或2或4或6．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．（2021·貴州·北京市日壇中學(xué)貴陽分校七年級期中）如圖，B，C都是直線上的點(diǎn)，點(diǎn)A是直線上方的一個(gè)動點(diǎn)，連接得到，D，E分別為上的點(diǎn)，且．當(dāng)線段與具有_________的位置關(guān)系時(shí)滿足．【答案】【解析】【分析】利用“SSS”證明△AED和△BCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AED=∠C，再根據(jù)垂直的定義證明即可．【詳解】當(dāng)AC⊥BC時(shí)，DE⊥AB；∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵在△AED和△BCD中，∴△AED≌△BCD(SSS)，∴∠AED＝∠C＝90°，∴DE⊥AB．故答案為：AC⊥BC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，為線段上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，連接作，且連接，當(dāng)時(shí)，______度．【答案】24【解析】【分析】由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE，可證△ABC是等邊三角形，可得∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，即可求解．【詳解】解：∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE，∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BAC=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，∴△DAE是等邊三角形，∴∠AED=60°，∴∠DEC=180°-36°-60°-60°=24°，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明△ABC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2020·廣西·桂林市田家炳中學(xué)八年級期末）如圖所示，在邊長為4的正方形中，、分別為、的中點(diǎn)，為對角線上的一個(gè)動點(diǎn)，則的最小值的是_________.【答案】【解析】【分析】連接CP，當(dāng)點(diǎn)E，P，C在同一直線上時(shí)，AP+PE的最小值為CE長，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP（SAS），∴AP=CP，∴AP+PE=CP+PE，∴當(dāng)點(diǎn)E，P，C在同一直線上時(shí)，AP+PE的最小值為CE長，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°，∵E是AD的中點(diǎn)，∴ED=2，由勾股定理得：CE=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱，最短路線問題，根據(jù)題意作出A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)C是解答此題的關(guān)鍵．二、解答題5．（2020·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P、Q是邊AC、BC上的兩個(gè)動點(diǎn)，PD⊥AB于點(diǎn)D，QE⊥AB于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時(shí)間是t秒（t0）．若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿CA以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回到點(diǎn)C停止運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動，求當(dāng)t為何值時(shí)，△APD和△QBE全等．【答案】2s或4s【解析】【分析】分兩種情況：①0≤t＜時(shí)，點(diǎn)P從C到A運(yùn)動，則AP=AC﹣CP=8﹣3t，BQ=t，求得t=2，②t≥時(shí)，點(diǎn)P從A到C運(yùn)動，則AP=3t﹣8，BQ=t，求得t=4．【詳解】解：①0≤t＜時(shí)，點(diǎn)P從C到A運(yùn)動，則AP=AC﹣CP=8﹣3t，BQ=t，當(dāng)△ADP≌△QBE時(shí)，則AP=BQ，即8﹣3t=t，解得：t=2，②t≥時(shí)，點(diǎn)P從A到C運(yùn)動，則AP=3t﹣8，BQ=t，當(dāng)△ADP≌△QBE時(shí)，則AP=BQ，即3t﹣8=t，解得：t=4，綜上所述：當(dāng)t=2s或4s時(shí)，△ADP≌△QBE．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，正確進(jìn)行分類討論，不要漏解以及找到全等三角形對應(yīng)邊相等列出方程是解題的關(guān)鍵．6．（2020·山東濟(jì)南·七年級期末）如圖，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點(diǎn)D是射線BC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)P．（1）如圖（1），若點(diǎn)D在BC的延長線上，且點(diǎn)E在線段AD上，試猜想AP，CD，BC之間的數(shù)最關(guān)系，并說明理由；（2）如圖（2），若點(diǎn)D在線段BC上，試猜想AP，CD，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）BC＝AP+CD，理由見解析；（2）AP＝BC+CD，理由見解析．【解析】【分析】（1）由題意可得∠DAC=∠DBE，根據(jù)“ASA”可證，可得CD=CP，即可求出AP，CD，BC之間的數(shù)量關(guān)系；（2）由題意可得∠PAE=∠PBC，根據(jù)“ASA”可證，可得CD=CP，即可求出AP，CD，BC之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1）BC＝AP+CD，理由如下：∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，∴∠D+∠DAC＝90°，∠D+∠DBE＝90°，∴∠DAC＝∠DBE，且∠ACB＝∠ACD，AC＝BC，∴（ASA），∴CD＝CP，∵BC＝AC＝CP+AP，∴BC＝AP+CD，（2）AP＝BC+CD，理由如下：∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，∴∠P+∠PAE＝90°，∠P+∠PBC＝90°，∴∠PAE＝∠PBC，且∠ACB＝∠BCP，AC＝BC，∴（ASA），∴CD＝CP，∵AP＝AC+CP，∴AP＝BC+CD．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的兩銳角互余，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇·八年級課時(shí)練習(xí)）△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是射線CB上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，且∠BAC＝90°時(shí)，那么∠DCE＝度；(2)設(shè)∠BAC＝，∠DCE＝．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，∠BAC≠90°時(shí)，請你探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上，∠BAC≠90°時(shí)，請將圖3補(bǔ)充完整，寫出此時(shí)與之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)90(2)①＋＝180°，證明見解析；②＝，證明見解析【解析】【分析】（1）易證∠BAD＝∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，即可解題；（2）易證∠BAD＝∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根據(jù)∠B＋∠ACB＝180°﹣即可解題；（3）易證∠BAD＝∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根據(jù)∠ADE＋∠AED＋＝180°，∠CDE＋∠CED＋＝180°即可解題．（1）∵∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B＋∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠ACE＋∠ACB＝90°；故答案為90．（2）①∵∠BAD＋∠DAC＝，∠DAC＋∠CAE＝，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B＋∠ACB＝180°﹣，∴∠DCE＝∠ACE＋∠ACB＝180°﹣＝，∴＋＝180°；②作出圖形，∵∠BAD＋∠BAE＝，∠BAE＋∠CAE＝，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC＝∠ADB，∵∠ADE＋∠AED＋＝180°，∠CDE＋∠CED＋＝180°，∠CED＝∠AEC＋∠AED，∴＝．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BAD≌△CAE是解題的關(guān)鍵．8．（2022·云南·景谷傣族彝族自治縣教育體育局教研室八年級期末）如圖1，點(diǎn)P，Q分別是等邊邊AB，BC上的動點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都相同．(1)連接AQ，CP交于點(diǎn)M則在P、Q運(yùn)動的過程中，的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB，BC上運(yùn)動，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．【答案】(1)不變；(2)不變；【解析】【分析】（1）通過證明得到，再利用三角形外角的性質(zhì)即可求解；（2）同樣通過證明得到，再利用三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．(1)解：（1）點(diǎn)、在運(yùn)動的過程中，不變.∵是等邊三角形，∴，，又∵點(diǎn)、運(yùn)動速度相同，∴，且，，∴，∴.∵，∴(2)點(diǎn)、在運(yùn)動的過程中，不變.由（1）可知：，∴，∵，∴，∴點(diǎn)、在運(yùn)動的過程中，不變．【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題，涉及到了三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和是180°等知識，解題關(guān)鍵是正確找到全等三角形．9．（2020·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，為的中點(diǎn)，，．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)運(yùn)動；同時(shí)動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間是．（1）在運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)位于線段的垂直平分線上時(shí)，求出的值；（2）在運(yùn)動過程中，當(dāng)時(shí)，求出的值；（3）是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）時(shí)，點(diǎn)位于線段的垂直平分線上；（2）；（3）不存在，理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出BP，CQ，結(jié)合圖形用含t的代數(shù)式表示CP的長度，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CP＝CQ，列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等列式計(jì)算；（3）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等列式計(jì)算，判斷即可．【詳解】解：（1）由題意得，則，當(dāng)點(diǎn)位于線段的垂直平分線上時(shí)，，∴，解得，，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于線段的垂直平分線上；（2）∵為的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，解得，，則當(dāng)時(shí)，；（3）不存在，∵，∴，則解得，，，∴不存在某一時(shí)刻，使．【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何動點(diǎn)運(yùn)動問題、全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．10．（2019·內(nèi)蒙古·赤峰市松山區(qū)大廟中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知：如圖，，，，，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)，且始終保持．（1）證明：；（2）若點(diǎn)在線段上滿足時(shí)，求的長？（3）在線段的延長線上，是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請求出的長度；若不存在，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）5cm；（3）存在，11cm【解析】【分析】（1）由題意易得，進(jìn)而可證，，然后問題得證；（2）由題意可證，則有，然后根據(jù)線段的和差關(guān)系可求解；（3）由題意易得，進(jìn)而可證，當(dāng)時(shí)，，則有，最后根據(jù)線段的關(guān)系可求解．【詳解】解：（1）∵，，∴，∵，∴，∴，，∴（2）∵在和中∴，∴，∴（3）存在，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴，，∴；∵在和中∴，∴，∵，BD=8cm∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．11．（2022·安徽·九年級期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點(diǎn)為射線CB上一動點(diǎn)，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點(diǎn)，若AG＝3，CG＝1，求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)．（3）當(dāng)E點(diǎn)在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交子G點(diǎn)，若BC＝4，BE＝3，則．（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）或【解析】【分析】（1）證明△AFD≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AC，等量代換證明結(jié)論；（2）作FD⊥AC于D，證明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的長，得到答案；（3）過F作FD⊥AG的延長線交于點(diǎn)D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=GD