第24講直線與圓的位置關(guān)系（三大題型歸納分層練）（原卷版）

第24講直線與圓的位置關(guān)系【人教A版選修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01直線與圓的位置關(guān)系的判斷 3題型02圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題 5題型03圓的切線問(wèn)題 9分層練習(xí) 12夯實(shí)基礎(chǔ) 12能力提升 18創(chuàng)新拓展 28一、直線與圓的位置關(guān)系的判斷直線l：Ax＋By＋C＝0與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)個(gè)個(gè)個(gè)判斷方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判別式Δ二、圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題求直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的兩種方法：(1)幾何法：如圖①，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為|AB|，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq\r(r2－d2).圖①(2)代數(shù)法：如圖②所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，圖②則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直線l的斜率k存在)．題型01直線與圓的位置關(guān)系的判斷【解題策略】直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷．(3)直線系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)，可通過(guò)判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系．但有一定的局限性，必須是過(guò)定點(diǎn)的直線系【典例分析】【例1】例1已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當(dāng)m為何值時(shí)，圓與直線：(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒(méi)有公共點(diǎn)．【變式演練】【變式1】（2324高二下·浙江·期中）已知直線，圓.則直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．與a有關(guān)【變式2】（2324高二上·上?！て谀c(diǎn)在圓外，則直線與該圓的位置關(guān)系為.【變式3】（2022高二·全國(guó)·專題練習(xí)）判斷直線與圓的位置關(guān)系．題型02圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題【解題策略】(1)求直線與圓的弦長(zhǎng)的兩種方法：代數(shù)法、幾何法．(2)利用弦長(zhǎng)求直線方程、圓的方程時(shí)，應(yīng)注意斜率不存在的情況【典例分析】課本例1已知直線l：3x＋y－6＝0和圓心為C的圓x2＋y2－2y－4＝0，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)．【例2】求直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長(zhǎng)．【變式演練】【變式1】（2223高二上·福建泉州·期中）直線被圓截得的弦長(zhǎng)為定值，則直線l的方程為．【變式2】（2324高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知圓及直線，當(dāng)直線被圓截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，直線的方程為．【變式3】（2324高二上·新疆和田·期中）已知圓方程為，直線方程為，則(1)求圓圓心坐標(biāo)及半徑；(2)判斷直線與圓位置關(guān)系，若相交，求弦長(zhǎng).題型03圓的切線問(wèn)題【解題策略】求過(guò)某一點(diǎn)的圓的切線方程(1)過(guò)圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法①若切線斜率存在且不為0，則先求切點(diǎn)與圓心連線所在直線的斜率k(k≠0)，由垂直關(guān)系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程．②若切線斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.(2)過(guò)圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法①若切線斜率存在，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．②當(dāng)切線斜率不存在時(shí)要加以驗(yàn)證．③過(guò)圓外一點(diǎn)的切線有兩條【典例分析】課本例2過(guò)點(diǎn)P(2,1)作圓O：x2＋y2＝1的切線l，求切線l的方程．【例3】(1)過(guò)點(diǎn)A(－1,4)作圓(x－2)2＋(y－3)2＝1的切線l，則切線l的方程為__________．(2)由直線y＝x＋1上任一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則該切線長(zhǎng)的最小值為()A．1B．2eq\r(2)C.eq\r(7)D．3【變式演練】【變式1】（2324高二下·北京·期中）已知圓，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．【變式2】（2324高二下·河北張家口·期中）已知和點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的的所有切線方程為.【變式3】（2324高二上·廣西南寧·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P作圓的切線，求切線的方程【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2324高二下·廣東梅州·階段練習(xí)）已知圓，則直線與圓C（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交或相切2．（2324高二上·廣東惠州·階段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．無(wú)法確定3．（2324高二上·天津·期末）過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為（

）A． B．C．或 D．或4．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）直線被圓所截得的弦長(zhǎng)等于，則a的值為（）A．或3 B．或 C．1或3 D．或二、多選題5．（2324高二下·江西贛州·階段練習(xí)）已知圓C方程為，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．圓C的圓心坐標(biāo)為 B．圓C的半徑為3C．圓C與直線相切 D．點(diǎn)在圓外6．（2324高二上·河南周口·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作與圓相切的直線l，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．三、填空題7．（2324高二上·山東聊城·期末）寫出經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為的直線l的一個(gè)方程．8．（2324高二下·上海松江·階段練習(xí)）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù).9．（2324高二上·上?！て谀┻^(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為.四、解答題10.已知直線l經(jīng)過(guò)直線2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交點(diǎn)，且與直線x＋y－2＝0垂直．(1)求直線l的方程；(2)若圓C的圓心坐標(biāo)為(3,0)，直線l被該圓所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．11．（2324高二下·四川·階段練習(xí)）已知圓C和直線，若圓C的圓心為(0,0)，且圓C經(jīng)過(guò)直線和的交點(diǎn)．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)定點(diǎn)(1,2)的直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．12．（2324高二上·新疆喀什·期末）已知直線過(guò)點(diǎn)，圓.(1)證明：直線與圓相交；(2)求直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值.【能力提升】一、單選題1．（2324高二上·廣西南寧·階段練習(xí)）若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，則（）A． B． C．1 D．或2．（2324高二上·江蘇連云港·期中）圓在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．3．（2324高二上·吉林長(zhǎng)春·期末）已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則該切線的一般式方程為（

）A． B．C． D．4．（2324高二上·天津武清·階段練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線平行，則（

）A．2 B． C． D．二、多選題5．（2324高二上·云南昆明·階段練習(xí)）已知圓M的方程為，則關(guān)于圓M的說(shuō)法正確的是（

）A．圓心M的坐標(biāo)為B．點(diǎn)在圓M內(nèi)C．直線被圓M截得的弦長(zhǎng)為D．圓M在點(diǎn)處的切線方程為6．（2324高二下·四川雅安·開學(xué)考試）已知圓，直線，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．直線與圓可能相切C．直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為4D．當(dāng)時(shí)，圓上到直線距離為2的點(diǎn)恰有三個(gè)三、填空題7．（2324高二上·福建漳州·期末）圓在點(diǎn)處的切線方程為.8．（2324高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）若方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍.9．（2324高二上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的斜率為.四、解答題10．（2324高二上·湖北·期末）已知圓.(1)過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；(2)若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程.11．（2324高二上·北京·期中）已知圓過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，圓心在軸上.(1)求圓的方程；(2)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為6，求直線的方程.12．已知圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一點(diǎn)P(4，－1)，過(guò)點(diǎn)P作直線l.(1)當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)直線l的傾斜角為135°時(shí)，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)．13．已知圓C過(guò)點(diǎn)(1,1)，圓心在x軸正半軸上，且與直線y＝x－4相切．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)P(1,3)的直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，求直線l的方程．【創(chuàng)新拓展】一、單選題1．（2324高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中）過(guò)點(diǎn)的直線l與圓相切，則直線l的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或二、多選題2．（2324高二上·遼寧·階段練習(xí)）已知圓，則下列命題是真命題的是（

）A．若圓C關(guān)于直線對(duì)稱，則B．存在一條定直線與圓C相切C．當(dāng)時(shí)，不過(guò)點(diǎn)C的直線與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，則的面積的取值范圍是D．當(dāng)時(shí)，直線，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓C的兩條切線，，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為4三、填空題3．（2324高二上·山西呂梁·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為．四、解答題4．（2324高二上·浙江麗水·期末）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，.(1)求圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線與圓相切，求直線的方程.5．已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，半徑