7.4.2超幾何分布課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

7.4.2超幾何分布問題已知100件產(chǎn)品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取4件．設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．我們知道，如果采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨(dú)立，此時(shí)X服從二項(xiàng)分布，即X～B(4,0.08)．如果采用不放回抽樣，那么抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X是否也服從二項(xiàng)分布？如果不服從，那么X的分布列是什么？采用不放回抽樣，雖然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一個(gè)試驗(yàn)，而且各次抽取的結(jié)果也不獨(dú)立，不符合n重伯努利試驗(yàn)的特征，因此X不服從二項(xiàng)分布．計(jì)算的具體結(jié)果（精確到0.00001）如表7.4-1所示．表7.4-1X01234P0.712570.256210.029890.001310.00002一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布（hypergeometricdistribution）．例1

從50名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表，求甲被選中的概率．例2一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格．隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1件不合格的概率．變式訓(xùn)練1:

一批產(chǎn)品中有13件正品、2件次品,從中不放回地任取3件,求取出次品數(shù)為ξ的分布列.變式訓(xùn)練2:

一個(gè)袋中裝有6個(gè)形狀、大小完全相同的小球,其中紅球有3個(gè),編號(hào)為1,2,3;黑球有2個(gè),編號(hào)為1,2;白球有1個(gè),編號(hào)為1.現(xiàn)從袋中一次隨機(jī)取出3個(gè)球.(1)求取出的3個(gè)球的顏色都不相同的概率;(2)記取得1號(hào)球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的分布列.探究服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么？【例3】

一個(gè)袋子中裝有60個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的球,其中有20個(gè)黃球、40個(gè)白球,從中隨機(jī)地摸出10個(gè)球作為樣本,用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(1)有放回地摸球,求X的分布列及期望;(2)不放回地摸球,求X的分布列及期望.二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律(n,N∈N*),并且二者的均值相同.對(duì)于不放回抽樣,當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí),每抽取一次后,對(duì)N的影響很小,此時(shí)超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.例3

一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本．用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)．（1）分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；（2）分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率．分析：因?yàn)橹挥袃煞N顏色的球，每次摸球都是一個(gè)伯努利試驗(yàn)．摸出20個(gè)球，采用有放回摸球，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，X～B(20,0.4)；而采用不放回摸球，各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，X服從超幾何分布．例3

一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本．用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)．（1）分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；（2）分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率．（2）利用統(tǒng)計(jì)軟件可以計(jì)算出兩個(gè)分布列具體的概率值（精確到0.00001)，如表7.4-2所示．kp1kp2kkp1kp2k00.000040.00001110.070990.0637610.000490.00015120.035500.0266720.003090.00135130.014560.0086730.012350.00714140.004850.0021740.034990.02551150.001290.0004150.074650.06530160.000270.0000660.124410.12422170.000040.0000170.165880.17972180.000000.0000080.179710.20078190.000000.0000090.159740.17483200.000000.00000100.117140.11924因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計(jì)的結(jié)果更可靠些．兩種摸球方式下，隨機(jī)變量X分別服從二項(xiàng)分布和超幾何分布．雖然這兩種分布有相等的均值（都是8），但從兩種分布的概率分布圖（圖7.4-4）看，超幾何分布更集中在均值附近．二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同．對(duì)于不放回抽樣，當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，每抽取一次后，對(duì)N的影響很小，此時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似．答案:B變式3（2）

端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2個(gè),肉粽3個(gè),白粽5個(gè),這三種粽子的外觀、大小完全相同.從中隨機(jī)取3個(gè).(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率;(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.1.超幾何分布是概率分布的一種形式,一定要讀懂題意,注意公式中字母的取值范圍及其意義,解決問題時(shí)可以直接利用公式求解,但不能機(jī)械地記憶.2.在超幾何分布中,只要知道M,N,n(注意這三個(gè)參數(shù)的含義),就可以利用公式求出X取不同k值時(shí)的概率P(X=k),從而求出X的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等.第80頁(yè)1．一箱24罐的飲料中4罐有獎(jiǎng)券，每張獎(jiǎng)券獎(jiǎng)勵(lì)飲料一罐，從中任意抽取2罐，求這2罐中有獎(jiǎng)券的概率．解：因?yàn)橐幌?4罐的飲料中4罐有獎(jiǎng)券，所以無獎(jiǎng)券的有20罐，2．學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì)，已知有4名候選人來自甲班．假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到，求甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率．3．從一