河北省保定市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

2018年高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則的子集個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】，所以，其子集個(gè)數(shù)為，選D.2.設(shè)為的虛部，為的實(shí)部，則（）A.1B.2C.3D.0【答案】A【解析】因?yàn)?，所以；因?yàn)椋?；因此，選A.3.已知具有線性相關(guān)的變量，設(shè)其樣本點(diǎn)為，回歸直線方程為，若，（為原點(diǎn)），則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因此，選B.4.已知非向量，則或是向量與夾角為銳角的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】向量與夾角為銳角充要條件為且向量與不共線，即，故或是向量與夾角為銳角的必要不充分條件，選B.5.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng)，每人只能去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū)，乙不去社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（）A.8B.7C.6D.5【答案】B【解析】根據(jù)題意滿足條件的安排為：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（?。〤（丙）；A（甲，丙）B（丁）C（乙）；A（甲，?。〣（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，?。〤（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7種，選B.6.2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì).弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）.如果小正方形的邊長為2，大正方形的邊長為10，直角三角形中較小的銳角為，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)直角三角形中較小的直角邊長為，則選A.7.如圖所示的程序框圖中，輸出的為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】執(zhí)行循環(huán)得：,選C.8.已知函數(shù)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，函數(shù)是上的奇函數(shù)，函數(shù)，則（）A.0B.2018C.4036D.4037【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，所以，因此，因此選D.9.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】幾何體為三棱錐，如圖，底面為頂角為120度的等腰三角形BCD，側(cè)棱AC垂直底面，,設(shè)三角形BCD外接圓圓心為O，則,因此外接球的半徑為,即外接球的表面積為，選C.點(diǎn)睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.10.已知向量，向量，函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是奇函數(shù)B.的一條對(duì)稱軸為直線C.的最小正周期為D.在上為減函數(shù)【答案】D【解析】，所以是偶函數(shù)，不是其對(duì)稱軸，最小正周期為，在上為減函數(shù)，所以選D.【點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)(1).(2)周期(3)由求對(duì)稱軸(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間11.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，虛軸長為8，右焦點(diǎn)為，且與雙曲線的漸近線相切，若過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（）A.8B.C.D.【答案】D【解析】,因?yàn)榈诫p曲線的漸近線距離為，所以：，設(shè)MN交x軸于E，則,選D.【點(diǎn)睛】1.已知雙曲線方程求漸近線：2.已知漸近線設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程3，雙曲線焦點(diǎn)到漸近線距離為，垂足為對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn).12.令，函數(shù)，滿足以下兩個(gè)條件：①當(dāng)時(shí)，或；②，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】,當(dāng)時(shí)，,所以當(dāng)時(shí)，，,所以因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，值域包含，所以，選B.點(diǎn)睛：研究二次函數(shù)單調(diào)性的思路(1)二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對(duì)稱軸的兩側(cè)不同，因此研究二次函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要依據(jù)其圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則A?（A?）即區(qū)間A一定在函數(shù)對(duì)稱軸的左側(cè)(右側(cè))．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上13.的展開式中的系數(shù)是5，則__________．【答案】1【解析】的展開式中的系數(shù)是，所以點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).14.甲、乙、丙三個(gè)各自獨(dú)立地做同一道數(shù)學(xué)題，當(dāng)他們都把自己的答案公布出來之后，甲說：我做錯(cuò)了；乙說：丙做對(duì)了；丙說：我做錯(cuò)了．在一旁的老師看到他們的答案并聽取了他們的意見后說：“你們?nèi)齻€(gè)人中有一個(gè)人做對(duì)了，有一個(gè)說對(duì)了.”請問他們?nèi)齻€(gè)人中做對(duì)了的是__________．【答案】甲【解析】若甲做對(duì)了，則甲乙說錯(cuò)了，丙說對(duì)了，符號(hào)題意；若乙做對(duì)了，則乙說錯(cuò)了，甲丙說對(duì)了，不符號(hào)題意；若丙做對(duì)了，則丙說錯(cuò)了，甲乙說對(duì)了，不符號(hào)題意；因此做對(duì)了的是甲.15.已知實(shí)數(shù)滿足，若取得最小值時(shí)的最優(yōu)解滿足，則的最小值為__________．【答案】9【解析】作可行域，則直線過點(diǎn)A(2,2)時(shí)取最小值，此時(shí)最優(yōu)解為(2,2)，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為9.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.16.已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，，且，為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則__________．【答案】3【解析】因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以O(shè)為三角形ABC重心，設(shè)AC中點(diǎn)為M，則B,O,M三點(diǎn)共線，由面積關(guān)系得三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列滿足：，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求其前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：（1）由等差數(shù)列定義可得為等差數(shù)列，再根據(jù)得公差，最后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)條件變形得等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和試題解析：（1）由知數(shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為，所以；（2）∵，∴，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，從而，，，∴，所以.點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.18.某品牌服裝店五一進(jìn)行促銷活動(dòng)，店老板為了擴(kuò)大品牌的知名度同時(shí)增強(qiáng)活動(dòng)的趣味性，約定打折辦法如下：有兩個(gè)不透明袋子，一個(gè)袋中放著編號(hào)為1，2，3的三個(gè)小球，另一個(gè)袋中放著編號(hào)為4，5的兩個(gè)小球（小球除編號(hào)外其它都相同），顧客需從兩個(gè)袋中各抽一個(gè)小球，兩球的編號(hào)之和即為該顧客買衣服所打的折數(shù)（如，一位顧客抽得的兩個(gè)小球的編號(hào)分別為2，5，則該顧客所習(xí)的買衣服打7折）.要求每位顧客先確定購買衣服后再取球確定打折數(shù).已知三位顧客各買了一件衣服.（1）求三位顧客中恰有兩位顧客的衣服均打6折的概率；（2）兩位顧客都選了定價(jià)為2000元的一件衣服，設(shè)為打折后兩位顧客的消費(fèi)總額，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)答案見解析.【解析】試題分析：（1）先求打6折的概率，再根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求三位顧客中恰有兩位顧客的衣服均打6折的概率；（2）先確定隨機(jī)變量，再分別求對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.試題解析：打5，6，7，8折的概率分別為，（1）事件為“三位顧客中恰有兩位顧客打6折”，所以；（2）的可能取值為2000，2200，2400，2600，2800，3000，3200，，，，，，，，所以的分布列為2000220024002600280030003200元.19.如圖，四棱臺(tái)中，底面，平面平面為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若，且，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：（1）先根據(jù)平幾知識(shí)求，再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面即得；（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用解方程組得各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系確定二面角的正弦值.試題解析：（1）證明：連接，∵為四棱臺(tái)，四邊形四邊形，∴，由得，，又∵底面，∴四邊形為直角梯形，可求得，又為的中點(diǎn)，所以，又∵平面平面，平面平面，∴平面平面，∴；（2）解：在中，，利用余弦定理可求得，或，由于，所以，從而，知，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，由于平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，，設(shè)，所以，，∴，即二面角的正弦值為.20.橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足.①證明：為定值；②設(shè)是直線上的任一點(diǎn)，直線分別另交橢圓于兩點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)；(2)①.證明見解析；②.3.【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代人橢圓方程，與離心率聯(lián)立方程組解得a.b,（2）①根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，代入橢圓方程化簡可得，再求比值即可，②先設(shè)，根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線，方程，分別與橢圓方程聯(lián)立解得兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)焦半徑公式可得，最后根據(jù)基本不等式求最小值.試題解析：（1）由得，把點(diǎn)代入橢圓方程為，∴得，∴，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）知，，而，∴為定值；②設(shè)若，則，若，因?yàn)椋本€，直線，由整理得，∴，得，由整理得，∴，得，由①知，∴，∵（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)）∴，即的最小值為3.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明:.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再研究二次方程解得情況：根據(jù)判別式與零大小先進(jìn)行一級(jí)討論，再根據(jù)根與零大小進(jìn)行二級(jí)討論，（2）由韋達(dá)定理得，化簡差函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究差函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性證明不等式.試題解析：（1），令，①即時(shí)，，故恒成立，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，由于的兩根為，所以在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，綜上：時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)；時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)；（2）由（1）知，且，∴，而，∴，設(shè)，則，所以在上為減函數(shù)，又，所以，所以.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).（二）選考題：共10分.請考生在22、23兩題中任選一題作答，并用2B鉛筆將答題卡上所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)右側(cè)方框涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；多涂、多答，按所涂的首題進(jìn)行評(píng)分；不涂，按本選考題的首題進(jìn)行評(píng)分.22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線與相交于兩點(diǎn)，且.（1）求的值；（2）直線與曲線相交于，證明：（為圓心）為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1），先將直線極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再由條件得直線過圓的圓心，解得的值；(2）代入消元得曲線的普通方程，設(shè)直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式，代入，由韋達(dá)定理以及參數(shù)幾何意義得.試題解析：（1）解：直線和圓的普通方程分別為，，∴直線過圓的圓心，所以；（2）證明：曲線，可知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入曲線得，恒成立，設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以為定值.點(diǎn)睛：直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用過點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負(fù)、可為0)若M1，M2是l上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則(1)M1，M2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t