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文檔簡介
第5課時(shí)線面垂直的綜合應(yīng)用第1章
直線與平面的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解斜線在平面內(nèi)的射影及與平面所成角的概念,會(huì)求簡單的線面角.2.理解點(diǎn)到平面的距離的概念,會(huì)求簡單的點(diǎn)面距離.3.線面平行與垂直的有關(guān)定理的綜合運(yùn)用.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考
知識(shí)點(diǎn)一直線與平面所成的角直線與平面所成的角是如何定義的?取值范圍是什么?答案平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角.規(guī)定:一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是直角;一條直線與平面平行或在平面內(nèi),我們說它們所成的角是0°的角.直線與平面所成的角θ的取值范圍是[0°,90°].答案梳理有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線一條直線與一個(gè)平面
,但不和這個(gè)平面
,圖中________斜足斜線與平面的
,圖中____射影
過平面外一點(diǎn)P向平面α引斜線和垂線,那么過
和
的直線就是斜線在平面內(nèi)的正投
影(簡稱射影),線段
就是斜線段PA在平面α內(nèi)的射影相交垂直直線PA交點(diǎn)點(diǎn)A斜足A垂足OOA直線與平面所成的角
定義:平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成
的銳角,圖中為
,
規(guī)定:一條直線垂直于平面,它們所成的角是
;
一條直線與平面平行或在平面內(nèi),它們所成的角是
的角取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ,則____________∠PAO直角0°0°≤θ≤90°知識(shí)點(diǎn)二兩種距離1.點(diǎn)到平面的距離從平面外一點(diǎn)引平面的垂線,這個(gè)點(diǎn)和
間的距離,叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.2.直線和平面的距離一條直線和一個(gè)平面平行,這條直線上
到這個(gè)平面的距離,叫做這條直線和這個(gè)平面的距離.垂足任意一點(diǎn)題型探究例1
已知∠BAC在平面α內(nèi),P?α,∠PAB=∠PAC.求證:點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影在∠BAC的平分線上.類型一與線面角有關(guān)的問題證明證明如圖所示,作PO⊥α,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分別為O,E,F(xiàn),連結(jié)OE,OF,OA.?Rt△PAE≌Rt△PAF?AE=AF.?AB⊥平面PEO?AB⊥OE.同理,AC⊥OF.在Rt△AOE和Rt△AOF中,AE=AF,OA=OA,所以Rt△AOE≌Rt△AOF.于是∠EAO=∠FAO,因此,點(diǎn)P在α內(nèi)的射影O在∠BAC的平分線上.(1)求直線和平面所成角的步驟①尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線;②連結(jié)垂足和斜足得到斜線在平面上的射影,斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角;③把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中,通過解三角形,求出該角.(2)在上述步驟中,其中作角是關(guān)鍵,而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵,幾何圖形的特征是找射影的依據(jù),圖形中的特殊點(diǎn)是突破口.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1
如圖所示,在斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,C1H⊥AB,證明:點(diǎn)H是C1在平面ABC內(nèi)的射影.證明證明連結(jié)AC1.∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC,又AC⊥BC1,BC1∩AB=B,∴AC⊥平面ABC1.又∵C1H?平面ABC1,∴AC⊥C1H.又AB⊥C1H,AB∩AC=A,∴C1H⊥平面ABC,∴點(diǎn)H是C1在平面ABC上的射影.例2
如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).求證:類型二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用證明(1)CD⊥AE;證明在四棱錐P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC,∴CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.證明證明由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中點(diǎn),∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,又PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD,又∵AB⊥AD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.證明線面垂直的核心是證明線線垂直,而證明線線垂直又可借助于線面垂直的性質(zhì).因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2
如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,AA1=2a,D為棱B1B的中點(diǎn).(1)證明:A1C1∥平面ACD;證明證明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1.又A1C1?平面ACD,AC?平面ACD,∴A1C1∥平面ACD.(2)求異面直線AC與A1D所成角的大小;解在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∴A1A⊥AC.又∠BAC=90°,∴AC⊥AB.∵AA1∩AB=A,∴AC⊥平面A1ABB1,又A1D?平面A1ABB1,∴AC⊥A1D.∴異面直線AC與A1D所成的角為90°.解答(3)證明:直線A1D⊥平面ADC.證明證明∵△A1B1D和△ABD都為等腰直角三角形,∴∠A1DB1=∠ADB=45°,∴∠A1DA=90°,即A1D⊥AD.由(2)知,A1D⊥AC,且AD∩AC=A,∴A1D⊥平面ADC.當(dāng)堂訓(xùn)練1.下列說法:①平面的斜線與平面所成的角的取值范圍是0°<θ<90°;②直線與平面所成的角的取值范圍是0°<θ≤90°;③若兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線互相平行;④若兩條直線互相平行,則這兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等.其中正確的是_______.(填序號(hào))答案2341①④解析解析②應(yīng)為0°≤θ≤90°;③中這兩條直線可能平行,也可能相交或異面.52.AB是平面α的斜線段,其長為a,它在平面α內(nèi)的射影A′B的長為b,則垂線A′A的長為________.答案234153.在長方體ABCD—A1B1C1D1中,MN在平面BCC1B1內(nèi),MN⊥BC于M,則MN與AB的位置關(guān)系為______.答案解析2341垂直解析AB⊥平面BCC1B1,又MN?平面BCC1B1,∴AB⊥MN.54.若長方體ABCD—A1B1C1D1的底面邊長為1,AB1與底面ABCD成60°角,則A1C1到底面ABCD的距離為_____.2341答案解析解析依題可知∠B1AB=60°,A1C1∥平面ABCD,A1A⊥平面ABCD,∴A1A即為A1C1到底面ABCD的距離.55.如圖所示,平面ABB1A1為圓柱OO1的軸截面,點(diǎn)C為底面圓周上異于A,B的任意一點(diǎn).2341(1)求證:BC⊥平面A1AC;證明∵AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C為⊙O上的任意一點(diǎn),∴BC⊥AC.又在圓柱OO1中,AA1⊥底面⊙O,∴AA1⊥BC,又AA1∩AC=A,∴BC⊥平面A1AC.證明5(2)若D為AC的中點(diǎn),求證:A1D∥平面O1BC.2341證明52341證明取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)DE,O1E,∵D為AC的中點(diǎn),∴DE∥A1O1,DE=A1O1,∴四邊形A1DEO1為平行四邊形,∴A1D∥EO1.而A1D?平面O1BC,EO1?平面O1BC,∴A1D∥平面O1BC.5規(guī)律與方法立體幾何中經(jīng)常遇到由一個(gè)點(diǎn)向一個(gè)
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