選修45不等式選講全冊(cè)教案

第一講不等式和確定值不等式

課題：第01課時(shí)不等式的根本性質(zhì)

教學(xué)目的：

1.理解用兩個(gè)實(shí)數(shù)差的符號(hào)來(lái)規(guī)定兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的意義，建立不等式討論

的根底。

2.駕馭不等式的根本性質(zhì)，并能加以證明；會(huì)用不等式的根本性質(zhì)推斷不

等關(guān)系和用比較法，反證法證明簡(jiǎn)潔的不等式。

教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用不等式的根本性質(zhì)推理推斷命題的真假；代數(shù)證明，特殊是反證

法。

教學(xué)難點(diǎn)：敏捷應(yīng)用不等式的根本性質(zhì)。

教學(xué)過(guò)程：

一、引入：

不等關(guān)系是自然界中存在著的根本數(shù)學(xué)關(guān)系。列子?湯問(wèn)中喜聞樂(lè)見(jiàn)的“兩

小兒辯日”："遠(yuǎn)者小而近者大〃、“近者熱而遠(yuǎn)者涼〃，就從側(cè)面說(shuō)明了現(xiàn)實(shí)世

界中不等關(guān)系的廣泛存在；日常生活中休戚相關(guān)的問(wèn)題，如1“自來(lái)水管的直截面

為什么做成圓的，而不做成方的呢"、”電燈掛在寫(xiě)字臺(tái)上方怎樣的高度最

亮？”、“用一塊正方形白鐵皮，在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)小正方形，制成一個(gè)

無(wú)蓋的盒子。要使制成的盒子的容積最大，應(yīng)當(dāng)剪去多大的小正方形？〃等，都

屬于不等關(guān)系的問(wèn)題，須要借助不等式的相關(guān)學(xué)問(wèn)才能得到解決。而且，不等式

在數(shù)學(xué)討論中也起著相當(dāng)重要的作用。

本專(zhuān)題將介紹一些重要的不等式［含有確定值的不等式、柯西不等式、貝努

利不等式、排序不等式等)和它們的證明，數(shù)學(xué)歸納法和它的簡(jiǎn)潔應(yīng)用等。

人及人的年齡大小、高矮胖瘦，物及物的形態(tài)構(gòu)造，事及事成因及結(jié)果的不

同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這說(shuō)明現(xiàn)實(shí)世界中的量，不等是普遍的、確定的，

而相等那么是部分的、相對(duì)的。還可從引言中實(shí)際問(wèn)題動(dòng)身，說(shuō)明本章學(xué)問(wèn)的地

位和作用。

生活中為什么糖水加糖甜更甜呢轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：a克糖水中含有b克糖

(a>b>0),假設(shè)再加m(m>0)克糖，那么糖水更甜了，為什么

分析：起初的糖水濃度為參與m克糖后的糖水濃度為處”，只要證

b+mbaa+m

絲〃>2即可。怎么證呢

a+ma

二、不等式的根本性質(zhì)：

1、實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及大小依次的關(guān)系：

數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)，從實(shí)數(shù)的減法在數(shù)軸

上的表示可知：

a>b<^>a-b>0

a—b<=>a—b=0

a〈boa—b<6

得出結(jié)論：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可。

2、不等式的根本性質(zhì)：

①、假如a>b,那么b<a,假如b<a,那么a>bo(對(duì)稱(chēng)性)

②、假如a>b,且b>c,那么a>c,即a>b,b>cna>c。

③、假如a>b,那么a+c>b+c,即a>bna+如b+c。

推論:假如a>b,且c>d,那么a+c〉b+d.即a>b,c>d=>a+c>b+d.

④、假如a>b,且c>0,那么ac>bc；假如a>b,且c<0,那么ac〈bc.

⑤、假如a>b>0,那么屋(neN,且n>l)

⑥、假如a>b>0,那么板>揚(yáng)(neN,且n>l)。

三、典型例題：

例1、比較(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小。

分析：通過(guò)考察它們的差及0的大小關(guān)系，得出這兩個(gè)多項(xiàng)式的大小關(guān)系。

例2、a>b,c<d,求證：a-c>b-d.

例3、a>b>0,c>d>0,求證：衛(wèi)〉惶。

四、課堂練習(xí)：

1：x〉3,比較/+1卜及61+6的大小。

2：a>b>0,c〈d〈0,求證：-<——?

a-cb-d

五、課后作業(yè)：

課本與第1、2、3、4題

六、教學(xué)后記：

課題：第02課時(shí)根本不等式

教學(xué)目的：

1.學(xué)會(huì)推導(dǎo)并駕馭均值不等式定理；

2.可以簡(jiǎn)潔應(yīng)用定理證明不等式并解決一些簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題。

教學(xué)重點(diǎn)：均值不等式定理的證明及應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：等號(hào)成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧。

教學(xué)過(guò)程：

一、學(xué)問(wèn)學(xué)習(xí)：

定理1：假如a、6WR,那么1十^》2ab〔當(dāng)且僅當(dāng)a=A時(shí)取"="號(hào))

證明：a2+b2-2ab=(a—8)2

當(dāng)時(shí)，[a-b]2>0,當(dāng)。=力時(shí)，{a-b}2=0

所以，(a—A)220即22ab

由上面的結(jié)論，我們又可得到

定理2〔根本不等式)：假如a,6是正數(shù)，那么審2，兄(當(dāng)且僅當(dāng)a

=?時(shí)取"="

號(hào))

證明：:(④)?+($)2,2VL

'.a+b^2y[ab,即

明顯，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，’=y[ab

說(shuō)明：1)我們稱(chēng)史蘆為a,6的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)，方為a,，的幾何平均

數(shù)，因此，此定理又可表達(dá)為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

2)a'+S222a8和手獲成立的條件是不同的：前者只要求a,6都

是實(shí)數(shù)，而后者要求a,8都是正數(shù).

3)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件.

4)幾何意義.

二、例題講解：

例1x,y都是正數(shù)，求證：

(1)假如積燈是定值只那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2、仍；

(2)假如和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積燈有最大值;6

證明：因?yàn)閤,y都是正數(shù)，所以一「

(1)積燈為定值P時(shí)，有號(hào):.x+y>2$

上式當(dāng)x=y時(shí)，取"="號(hào)，因此，當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2、伊.

(2)和x+y為定值S時(shí)，有“a怎???xjW752

上式當(dāng)x可時(shí)取"=〃號(hào)，因此，當(dāng)x可時(shí)，積燈有最大值js)

說(shuō)明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)留意三個(gè)條件：

i）函數(shù)式中各項(xiàng)必需都是正數(shù)；

ii）函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必需是常數(shù)；

iii）等號(hào)成立條件必需存在。

例2:a、b、c、d都是正數(shù)，求證：

（ab+cd}（ac+bd]24abcd

分析：此題要求學(xué)生留意及均值不等式定理的“形"上發(fā)生聯(lián)絡(luò)，從而正確

運(yùn)用，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)均值不等式定理的條件的相識(shí).

證明：由a、b、c、d都是正數(shù)，得

ab-\-cd、i-----ac-\-bd、/------

—~—>7ab.cd>0,—~—,bd>0,

4ab+cd）（ac+bd）、?,

-------------------亍abed

4

即（ab-\-cd]（ac+bd]24abcd

例3某工廠要建立一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為480（W,深為3m,假

如池底每Im?的造價(jià)為150元，池壁每In?的造價(jià)為120元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能

使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？

分析：此題首先須要由實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后

求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理.

解：設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為加，水池的總造價(jià)為占元據(jù)題意，得

,1600、/1600

7=240000+7205+——）^240000+720X2AX---------

xNx

=240000+720X2X40=297600

當(dāng)即*=40時(shí)，/有最小值297600

X

因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總

造價(jià)是297600元.

評(píng)述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)留意數(shù)學(xué)語(yǔ)言的應(yīng)用即函數(shù)

解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)留意不等式性質(zhì)的適用條

件.

三、課堂練習(xí)：課本Pw練習(xí)1,2,3,4.

四、課堂小結(jié)：

通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家駕馭兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均

數(shù)的定理，并會(huì)應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，，但是在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)留

意定理的適用條件。

五、課后作業(yè)

課本Pio習(xí)題1.1第5,6,7題

六、教學(xué)后記：

課題：第03課時(shí)三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平

均不等式

教學(xué)目的：

1.能利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡(jiǎn)潔的不等式，解決最

值問(wèn)題；

2.理解根本不等式的推廣形式。

教學(xué)重點(diǎn)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式

教學(xué)難點(diǎn)：利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡(jiǎn)潔的不等式，解決

最值問(wèn)題

教學(xué)過(guò)程：

一、學(xué)問(wèn)學(xué)習(xí)：

定理3：假如4力,，€尺，那么"匕痂。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)

3

成立。

推廣：%+%+…+%》皿2…4。當(dāng)且僅當(dāng)q=&=…=4時(shí)，等號(hào)成立。

n

語(yǔ)言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

思索：類(lèi)比根本不等式，是否存在：假如a,A,ce/?+，那么a，+/+。3N3a/?c(當(dāng)

且僅當(dāng)a=O=c?時(shí)，等號(hào)成立)呢？試證明。

二、例題分析：

例1：求函數(shù)y=2/+-(x>0)的最〃江氫

2X1+->332x2-i--=3V4.\v,=3V4

解一：y=2x2+—=2x2+—in

￥2.2包「2總當(dāng)2小年即.當(dāng)時(shí)

解二：y=2一

兒曲=2/6?半V12=2^324'"

上述兩種做法哪種是錯(cuò)的？錯(cuò)誤的緣由是什么？

變式訓(xùn)練1若a,。wR且a>"求。+——-——的最小值。

(a-b)b

由此題，你覺(jué)得在利用不等式解決這類(lèi)題目時(shí)關(guān)鍵是要

例2:如以下圖，把一塊邊長(zhǎng)是a的正方形鐵片的各角切去大小一樣的小正方

形，再把它的邊沿名著虛線(xiàn)折轉(zhuǎn)成一個(gè)無(wú)蓋方底的盒子，問(wèn)切去的正方形邊長(zhǎng)是

多少時(shí)，才能使盒子的容積最大?

變式訓(xùn)練2:長(zhǎng)方體的全面積為定值S,試問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各是

多少時(shí)，它的體積最大，求出這個(gè)最大值.

由例題，我們應(yīng)當(dāng)更牢記—二三,三者缺一不行。另

外，由不等號(hào)的方向也可以知道：積定,和定.

三、穩(wěn)固練習(xí)

y=3x+g（x〉0）的最小值是（）

A.6xB.676

y=4一+—,的最小值是

3.函數(shù)y=/（2-、2）（0<%<3）的最大值是（）

A.OB.1C.—D.—

27,27

4.（2021浙江自選）正數(shù)x,y,z滿(mǎn)意x+y+z=l,求4*+4、+4"的最小值。

5（2021,江蘇，21）設(shè)a,。,c為正實(shí)數(shù)，求證：一rH—r-H——+cibc>2-\/3

abc

四、課堂小結(jié)：

通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家駕馭三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均

數(shù)的定理，并會(huì)應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，，但是在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)留

意定理的適用條件。

五、課后作業(yè)

Pu）習(xí)題1.1第11,12,13題

六、教學(xué)后記：

課題：第04課時(shí)確定值三角不等式

教學(xué)目的:

1:理解確定值三角不等式的含義，理解確定值三角不等式公式及推導(dǎo)方法,

會(huì)進(jìn)展簡(jiǎn)

單的應(yīng)用。

2：充分運(yùn)用視察、類(lèi)比、揣測(cè)、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會(huì)轉(zhuǎn)化和數(shù)

形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用確定值三角不等式公式進(jìn)展推理和證

明。

教學(xué)重點(diǎn)：確定值三角不等式的含義，確定值三角不等式的理解和運(yùn)用。

教學(xué)難點(diǎn)：確定值三角不等式的發(fā)覺(jué)和推導(dǎo)、取等條件。

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入:

關(guān)于含有確定值的不等式的問(wèn)題，主要包括兩類(lèi)：一類(lèi)是解不等式，另一類(lèi)

是證明不等式。本節(jié)課討論不等式證明這類(lèi)問(wèn)題。

1.耳劇翎I'勉區(qū)CT下確定值的意義。

國(guó)="0,如果x—0o

幾何&義,：妣鸚由上，一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的間隔稱(chēng)為這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的確定

值。

2.證明一個(gè)含有確定值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的根本性質(zhì)

之外，常常還要用到關(guān)于確定值的和、差、積、商的性質(zhì)：

⑴|?|>?,當(dāng)且僅當(dāng)a20時(shí)等號(hào)成立，時(shí)2-a.當(dāng)且僅當(dāng)a40時(shí)等號(hào)成

立。

⑵|a|=,⑶同.網(wǎng)=,母，⑷，=口（"力。）

那么時(shí)+設(shè)=|a+4?時(shí)_帆=卜+耳？

二、講解新課：,?

OAB

探究：|a|，B|,|a+W，|a-4之間的什么關(guān)系？~o---a---h—

結(jié)論:|a+b|W|a|+「（當(dāng)且僅當(dāng)功20時(shí)，等號(hào)成立.）

是實(shí)數(shù)，試證明：++網(wǎng)(當(dāng)且僅當(dāng)H'O時(shí)，等號(hào)成立.)

方法一：證明：1°.當(dāng)a820時(shí)，2°.當(dāng)ab<0時(shí)，

ab=-\ab\,

ab=|ah\a^b\=J(a+/7)2

\a+h\=+=\ja24-lab+h2

=-Ja2+2ab+b2

=曲+M

=7l?|2+2\a\\b\+\b\1

<yl\a\2+2\a\\h\+\h^

綜合1°,=2物旃麗.

=J(|a|+網(wǎng)>

=\a\+\b\=\a\+\b\

方法二：分析法，兩邊平方（略）

定理1假如。,8是實(shí)數(shù)，那么卜+同三同+何（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.）

（1）假設(shè)把匕換為向量瓦B情形又怎樣呢？

a+b

根據(jù)定理1,有,+4+|-42,+。-可，就是，1+苗+|月>|4。所以，

,+4之同一|4。

定理（確定值三角形不等式）

假如”,〃是實(shí)數(shù)，那么|同一例W|a土耳W|a|十向

注：當(dāng)。力為復(fù)數(shù)或向量時(shí)結(jié)論也成立.

推論1：k+4+…+aj?,]|+同|+~+|。"|

推論2：假如a、）、c是實(shí)數(shù)，那么c|W|a-N+M-c|,當(dāng)且僅當(dāng)

（a-b）（b一c）》0時(shí),等號(hào)成立.

思索：如何利用數(shù)軸給出推論2的幾何說(shuō)明？

（設(shè)A,B,C為數(shù)軸上的3個(gè)點(diǎn)，分別表示數(shù)a,b,c,那么線(xiàn)段AB<AC+CB.

當(dāng)且僅當(dāng)C在A,B之間時(shí)，等號(hào)成立。這就是上面的例3。特殊的，取c=0（即

C為原點(diǎn)），就得到例2的后半部分。）

三、典型例題：

例1、|x-?|<,求證|(x+y)-(a+Z?)|<c.

證明|(x+y)—(a+Z?)|=|(x—?)+(y—A>)|<|x—?|+|y—￡?|(1)

**|x—(M+|y-Z?|<-+-=c

⑵

得：|(x+y)-(?+/?)!<c

。

。

例JN

2用<<

4--a6-.求證：\lx-3y|<ao

明

.正M<:TN

111

―62-'2aa

由例1及上式，|2x-3y|w|2%|+|3y|<—+-=a。

留意：在推理比較簡(jiǎn)潔時(shí)，我們常常將幾個(gè)不等式連在一起寫(xiě)。但這種寫(xiě)

法，只能用于不等號(hào)方向一樣的不等式。

例3兩個(gè)施工隊(duì)分別被支配在馬路沿線(xiàn)的兩個(gè)地點(diǎn)施工，這兩個(gè)地點(diǎn)分別

位于馬路路碑的第10公里和第20公里處.現(xiàn)要在馬路沿線(xiàn)建兩個(gè)施工隊(duì)的共同

臨時(shí)生活區(qū)，每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間來(lái)回一次，要使兩個(gè)施工

隊(duì)每天來(lái)回的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)當(dāng)建于何處

解：假如生活區(qū)建于馬路路碑的第xkm處，兩施工隊(duì)每天來(lái)回的路程之和為

S(x)km——?-----------------------------?-----------------------?-----------------

那么S(x)f0(|x-lO|+|x-2O|)x20

四、課堂練習(xí)：

1.(課本乙。習(xí)題1.2第1題)求證：

(l)|a+6|+|a-Z>|2|a|;(2)|a+Z>|—|a-Z>|W2\b\

2.(課本已習(xí)題1.2第3題)求證：

(D|x—a|+|x-Z>|^\a—b\;(2)|x—a|—|x—Z>|^|a—

3.(1)、|A—tz|<—,|—Z?|<一.求證：|(A—B)—(iz—Z?)|<co

⑵、卜一《<±,僅一.<二求證：\lx-3y-2tz+3Z?|<co

五、課堂小結(jié)：

1.實(shí)邪取確癰值的意義：

⑴同=.0(a=0);1定義)

⑵同的k何噫契)

2.定理(確定值三角形不等式)

假如a,b是實(shí)數(shù)，那么|同一恍W|a土耳W\a\+\b\留意取等的條件。

六、課后作業(yè)：課本P”,第2,4,5題

七.教學(xué)后記:

課題：第05課時(shí)確定值不等式的解法

教學(xué)目的：

1：理解并駕馭兇＜。與兇＞。（。＞0）型不等式的解法.

2：駕馭版+4＜c與麻+4＞c（c＞0）型不等式的解法.

教學(xué)重點(diǎn)：與國(guó)＞。（。＞0）型不等式的解法.

教學(xué)難點(diǎn)：把確定值不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式（組）來(lái)求解.

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：

在初中課程的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)對(duì)不等式和確定值的一些根本學(xué)問(wèn)有了確定

的理解。

請(qǐng)同學(xué)們回憶一下確定值的意義。

在數(shù)軸月”,如漏到想點(diǎn)的間隔稱(chēng)為這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的確定值。即

w=<0,如果x=0o

在此根耐土不,放碗論含有確定值的不等式。

二、新課學(xué)習(xí)：

關(guān)于含有確定值的不等式的問(wèn)題，主要包括兩類(lèi)：一類(lèi)是解不等式，另一類(lèi)

是證明不等式。下面分別就這兩類(lèi)問(wèn)題綻開(kāi)討論。

1、解在確定值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的不等式（也稱(chēng)確定值不等式），關(guān)鍵在于

去掉確定值符號(hào)，化成一般的不等式。主要的根據(jù)是確定值的幾何意義.

2、含有確定值的不等式有兩種根本的類(lèi)型。

第一種類(lèi)型：設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)確定值的意義，不等式兇＜。的解集是

{x|-a＜x＜。},它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的間隔小于a的點(diǎn)的集合是開(kāi)

區(qū)間（-a,a）,如下圖。

圖1-1

假如給定的不等式符合上述形式，就可以干脆利用它的結(jié)果來(lái)解。

第二種類(lèi)型：設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)確定值的意義，不等式W＞a的解集是

{x[x＞?；騲〈-a}，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的間隔大于a的點(diǎn)的集合

是兩個(gè)開(kāi)區(qū)間（-8,-a）,3,8）的并集。如圖1-2所示。

aa

圖1-2

同樣，假如給定的不等式符合這種類(lèi)型，就可以干脆利用它的結(jié)果來(lái)解。

3、麻Wc和麻+q2c型不等式的解法。

\ax+t\<c<^>-c<ax+b<c

版+可>c<4>ax+b<—c^ax+b>c

4、忖-。|+卜-4Wc和卜-《+卜-4型不等式的解法。(三種思路)

三、典型例題：

例1、解不等式|3x—1|<%+2。

例2、解不等式1|>2-％。

方法1：分類(lèi)討論。

方法2：依題意，原不等式等價(jià)于3x—1>2-x或3x—l<x—2,然后去解。

例3、解不等式|2x+l|+|3x—2|之5。

例4、解不等式卜―2|+|x—125。

解：此題可以根據(jù)例3的方法解，但更簡(jiǎn)潔的解法是利用幾何意義。原不等

式即數(shù)軸上的點(diǎn)x到1,2的間隔的和大于等于5。因?yàn)?,2的間隔為1,所

以x在2的右邊，及2的間隔大于等于2(=(5-1)+2)；或者x在1的左

邊，及1的間隔大于等于2。這就是說(shuō)，xN4或xW-L

例5、不等式|x-l|+|x+3|>a,對(duì)一實(shí)在數(shù)x都成立,務(wù)實(shí)數(shù)〃的取值范圍。

四、課堂練習(xí)：解以下不等式:

1、2|2x-l|>l.2、4|1-3A(-1<03、|3-2A|<x+4.

4、|x+l|>2-x.5、|%2-2x-4j<16、|%2-1|>x+2.

7、|A|+|X-2|>48、|x—1|+|x+3|>6.9、|JC|+|x+1|<2

10、||x|-|x-4||>2.

五、課后作業(yè)：課本20第6、7、8、9題。

六、教學(xué)后記:

第二講證明不等式的根本方法

課題：第01課時(shí)不等式的證明方法之一：

比較法

教學(xué)目的：能嫻熟地運(yùn)用作差、作商比較法證明不等式。

教學(xué)重、難點(diǎn)：能嫻熟地運(yùn)用作差、作商比較法證明不等式。

教學(xué)過(guò)程：

一、新課學(xué)習(xí)：

要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可，即利用不等式的性

質(zhì)：

a>b<^>a—b>0

a=b<=>a—b=Q

a<h<^>a—h<0

二、典型例題：

例1、設(shè)a,b都是正數(shù)，且aw。，求證：?3+Z?3>a2b+ab2=

例2、假設(shè)實(shí)數(shù)xwl,求證：3(l+x2+x4)>(1+x+x2)2.

證明：采納差值比較法：

3(1+x2+x4)-(l+x+x2)2

=3+3x"+3x"—1—x"—x4—2x—2x"—2/

=2(/_*3—x+1)

=2(x-l)2(x2+x+l)

,1,3

=2(x—l)-[(x+—)-+—].

24i3

???%力1,從而“一1)2>0,且。+—)2+->O,

1324

2(X-1)2[(X+-)2+-]>0,

24

3(1+x~+/)>(1+x+x~)".

討論：假設(shè)題設(shè)中去掉這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換?

例3、a,bGR*,求證。"束止abba.

此題可以嘗試運(yùn)用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)展。

證明:1)差值比較法：留意到要證的不等式關(guān)于對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)。2匕>0.

a-b>Q

從而原不等式得證。

2)濡矗矗磁筑/?鼠

■-->l,a-b>o,*=(-)a-b>1.故原不等式得證。

bahab

例4、甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一路途走到同一地點(diǎn)。甲有一半時(shí)間以速度加行

走，另一半時(shí)間以速度〃行走；乙有一半路程以速度〃，行走，另一半路程以速度

〃行走。假如加?！?，問(wèn)甲、乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)。

分析：設(shè)從動(dòng)身地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是S,甲、乙兩人走完這段路程所用的

時(shí)間分別為。小。要答復(fù)題目中的問(wèn)題，只要比較九G的大小就可以了。

解：設(shè)從動(dòng)身地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是S,甲、乙兩人走完這段路程所用的

時(shí)間分別為小根據(jù)題意有乙機(jī)+=S,—+—=可得:=至~,

S(m+n)222m2nm十幾

t2=-------,

[[由21nH2SS(m+n)S[4mn-(m+n)2]S(m-n)2

zA.nrjZj-t?=---------------=----------------=------------,

-m+n2mn2(m+n)mn2(m+n)mn

其中〃都是定數(shù)，o于是。一，2<0，即乙<，2。

從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點(diǎn)。

討論：假如〃7=〃，甲、乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)？

三、課堂練習(xí)：

1.比較下面各題中兩個(gè)代數(shù)式值的大?。?/p>

(1)/及%2一%+[；(2)/+X+1及(x+])2.

2.awl.求證：(1)a2>2a-l;(2)--<1.

3.假設(shè)aN。2c>0,求證aubcc>(abc)3.

四、課時(shí)小結(jié)：

比較法是證明不等式的一種最根本、最重要的方法。用比較法證明不等式的

步驟是：作差(或作商)、變形、推斷符號(hào)?！白冃巍ㄊ墙忸}的關(guān)鍵，是最重一步。

因式分解、配方、湊成假設(shè)干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

五、課后作業(yè)：

課本23頁(yè)第1、2、3、4題。

六、教學(xué)后記：

課題：第02課時(shí)不等式的證明方法之二：

綜合法及分析法

教學(xué)目的：

1、結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解干脆證明的兩種根本方法：分析法和綜

合法。

2、理解分析法和綜合法的思索過(guò)程。

教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用綜合法證明問(wèn)題；理解綜合法的思索過(guò)程。

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思索過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方

法。

教學(xué)過(guò)程：

一、引入：

綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種干脆證明方法，也是不等式證明中的根

本方法。由

于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以相識(shí)、學(xué)習(xí)，

以便于比照討論兩種思路方法的特點(diǎn)。

所謂綜合法，即從條件動(dòng)身，根據(jù)不等式的性質(zhì)或的不等式，逐步推導(dǎo)出要

證

的不等式。而分析法，那么是由結(jié)果開(kāi)始，倒過(guò)來(lái)找尋緣由，直至緣由成為明顯

的或者在中。前一種是“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因〃。打一個(gè)比方：張

三在山里迷了路，救援人員從駐地動(dòng)身，逐步找尋，直至找到他，這是“綜合法”；

而張三自己找路，直至回到駐地，這是“分析法”。

二、典型例題：

例1、a,b,c>0,且不全相等。求證：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc

分析：用綜合法。

例2、設(shè)。>0,8〉0,求證/

證法一分析法

要證a3+by>a2b+ah2成立.

只需證(4+6)(/-。6+〃)2。人(4+勿成立，又因。+。>0,

只需證/一池+〃>此成立，又需證a2-2ab+NO成立，

即需證(a-。)？>0(a-b)2〉0明顯成立.由此命題得證。

證法二綜合法

(a—b)->0ci~—2ab+b~>0=>—ab+b~2ab

留意至Ua>0,b>0,即a+b>0,

由上式即得3+0)(/-ab+b2)>ab(a+b),從而/+/>a2h+ab2成立。

議一議：根據(jù)上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點(diǎn)嗎？

例3、a,b,m都是正數(shù)，并且。<b.求證：竺竺>@.(1)

b+mb

證法一要證(1),只需證"a+〃?)>aS+/n)(2)

要證［2),只需證力篦>4"九(3)

要證(3),只需證b>a(4)

(4)成立，所以(1)成立。

上面的證明用的是分析法。下面的證法二采納綜合法。

證法二因?yàn)闄C(jī)是正數(shù)，所以/wz>am

兩邊同時(shí)加上ab得伙a+〃?)>aS+m)兩邊同時(shí)除以正數(shù)力(〃+/〃)

得⑴。

例4、證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速一樣時(shí)，假如水管橫截面的周長(zhǎng)相等，

那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。

分析：當(dāng)水的流速一樣時(shí)，水管的流量取決于水管橫截面面程的大小。設(shè)截

面的周長(zhǎng)為L(zhǎng),那么周長(zhǎng)為m的圓的半徑為《，截面積為萬(wàn)伊［；周長(zhǎng)為L(zhǎng)的

正方形為《，截面積為。所以此題只贏E明"2

證明J設(shè)截面的周昌九，那么菖面是圓的水春翻著叫鼠溝萬(wàn)(-1，截

面是正方形的水管的截面面積為12：。只袁證明：乃(三)>f-Yo〃

為了證明上式成立，只需證加絲〉￡⑷

414rr~16

兩邊同乘以正數(shù)亳，得：^>-o用此，只需證明4>7。

上式明顯成立，源以乃H>g)O

這就證明了：通過(guò)水般梨，金輸一樣時(shí)，假如水管橫截面的周長(zhǎng)相等，

那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。

22

例5、證明：a+b'+c>ab+bc+cao

證法一：因?yàn)閍2+b2>2ah⑵

b2+c2>2bc⑶

c2+a2>2ca(4)

所以三式相加得2(/+b2+c2)>2(.ab+bc+cd)(5)

兩邊同時(shí)除以2即得(Do

證法二：

u~+b~+c~—(ab+he+ca)——(a—b)~H—(b—c)~H—(c—ci)~>0,

222

所以(1)成立。

例6、證明：(。2+匕2)(。2+12)2("+9)2.⑴

證明(1)<=>(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2>0(2)

oa2c2+b2c2+a2d2+b2d~~(a2c2+2abcd+b2d2)>0(3)

b2c2+a2d2-2abcd>0(4)

O(be-ad)2>0(5)

(5)明顯成立。因此(1)成立。

例7、a,"c都是正數(shù)，求證加+/+/23aoe.并指出等號(hào)在什么時(shí)候成立？

分析：此題可以考慮利用因式分解公式

a2,+Z>3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b~+c2-ab-be-cd)o

證明：a3+b^+c3-3abe

=(a+Z>+c)(a~+h~+c~-ab—be—cct)

Ta+"c)[3-4+S-c)2+(r)2].

由于a,b,c都是正數(shù)，所以a+b+c>0.而

(a—b)~+(b-c)2+(c—a)2>0,

可矢口a'+b3+c3-3abc>0

BPa3+b3+c3>3abc(等號(hào)在a=b=c時(shí)成立)

探究：假如將不等式/+〃+c323/c中的/方,03分別用。，仇C來(lái)代替，

并在兩邊同除以3,會(huì)得到怎樣的不等式？并利用得到的結(jié)果證明不等式：

(l+a+b)(l+b+c)(l+c+a)>27,其中a,。,c是互不相等的正數(shù)，且

abc=1.

三、課堂小結(jié)：

解不等式時(shí)，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時(shí)加上

（或減去）一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，移項(xiàng)，在不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)正

數(shù)或一個(gè)正的代數(shù)式，得到的不等式都和原來(lái)的不等式等價(jià)。這些方法，也是利

用綜合法和分析法證明不等式時(shí)常常用到的技巧。

四、課堂練習(xí):

1、x>0,求證：x+—>2.

x、、1J4

2、x〉0,y>0,x￥y,求證—+—>----

)

3、a>b>Q,5RijE-Ja-b>4a'~\[b.

4、a>0,/?>0.求證：

(1)(<2+Z?)(a-1+b~')>4.(2)(a+b)(a2+b2)(a3+Z?3)>8a3/?3.

5、a,/c,d都是正數(shù)。求證：

a+b+c+d

m+聞)>^M.

24

6、a,"c都是互不相等的正數(shù)，J^iiE(a+b+c)(ab+bc+cd)>9abc.

五、課后作業(yè)：

課本25頁(yè)第1、2、3、4題。

六、教學(xué)后記：

課題：第03課時(shí)不等式的證明方法之三：

反證法

教學(xué)目的：

通過(guò)實(shí)例，體會(huì)反證法的含義、過(guò)程及方法，理解反證法的根本步驟，會(huì)用反證法證

明簡(jiǎn)潔的命題。

教學(xué)重點(diǎn)：體會(huì)反證法證明命題的思路方法，會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)潔的命題。

教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)潔的命題。

教學(xué)過(guò)程：

一、引入：

前面所講的幾種方法，屬于不等式的干脆證法。也就是說(shuō)，干脆從題設(shè)動(dòng)身，經(jīng)過(guò)一系

列的邏輯推理，證明不等式成立。但對(duì)于一些較困難的不等式，有時(shí)很難干脆入手求證，這

時(shí)可考慮采納間接證明的方法。所謂間接證明即是指不干脆從正面確定論題的真實(shí)性，而是

證明它的反論題為假，或轉(zhuǎn)而證明它的等價(jià)命題為真，以間接地到達(dá)目的。其中，反證法是

間接證明的一種根本方法。

反證法在于說(shuō)明：假設(shè)確定命題的條件而否認(rèn)其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致沖突。詳細(xì)地說(shuō)，反

證法不干脆證明命題“假設(shè)p那么q",而是先確定命題的條件p,并否認(rèn)命題的結(jié)論q,

然后通過(guò)合理的邏輯推理，而得到?jīng)_突，從而斷定原來(lái)的結(jié)論是正確的。

利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟：

第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；

第二步作出及所證不等式相反的假定；

第三步從條件和假定動(dòng)身，應(yīng)用證確的推理方法，推出沖突結(jié)果；

第四步斷定產(chǎn)生沖突結(jié)果的緣由，在于開(kāi)始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。

二、典型例題：

例1、a>b>0,求證：'^a>'4b]〃€?/且〃>1)

例1、設(shè)。3+/=2,求證a+Z?W2.

證明：假設(shè)a+力>2,那么有a>2—力，從而

>8—⑵+6/—

a3+b3>6b2-Ub+S=6(b-\)2+2.

因?yàn)?s-+2N2,所以^+尸>2,這及題設(shè)條件/+〃=2沖突，所以，

原不等式成立。

例2、設(shè)二次函數(shù)/(x)=x2+a+q,求證：|/(1川/(2)|,|/(3)］中至少有一個(gè)不小

于L

2

證明：假設(shè)/⑴|,|/(2川/創(chuàng)都小于;，那么

|/(l)|+^/(2)|+|/(3)|<2.(1)

另一方面，由確定值不等式的性質(zhì)，有

|/(1)|+2|/(2)|+1/(3)|>|/(1)-2/(2)+/(3)|(2)

=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2

(1)、(2)兩式的結(jié)果沖突，所以假設(shè)不成立，原來(lái)的結(jié)論正確。

留意：諸如本例中的問(wèn)題，當(dāng)要證明幾個(gè)代數(shù)式中，至少有一個(gè)滿(mǎn)意某個(gè)不等式時(shí)，通

常采納反證法進(jìn)展。

議一議：一般來(lái)說(shuō)，利用反證法證明不等式的第三步所稱(chēng)的沖突結(jié)果，通常是指所推

出的結(jié)果及公理、定義、定理或條件、已證不等式，以及及臨時(shí)假定沖突等各種狀況。試根

據(jù)上述兩例，討論找尋沖突的手段、方法有什么特點(diǎn)？

例3、設(shè)0<“,人,c<l,求證：(1-a)仇(1-6)c,(1-c)a,不行能同時(shí)大于1

4

、/、幾II1

證：設(shè)(1—a)b>—,(1—b)c>—,(1—c)a>一,

444

那么三式相乘：ab<(\-a)b*(1--c)a<—①

64

一"i2

又0<a,8,c<10<(1—a)a<—~?"=—

_2J4

同理：(1-/?)/?<-,(l-c)c<-

44

以上三式相乘：(1-a)a*(l-*)&*(!-c)c<—及①?zèng)_突.?.原式成立

64

例4、a+/?+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求證：a,b,c>0

證：設(shè)a<0,*.*abc>0,be<0又由。+/?+c>0,那么b+c=-a>0

ab+be+ca=a（b+c）+be<0及題設(shè)沖突又：假設(shè)a=0,那么及“Ac>0

沖突，，必有〃>0

同理可證：/?>0,c>0

三、課堂練習(xí)：

n4-iria

1、利用反證法證明：假設(shè)a,b,m都是正數(shù)，并且。<人，那么-->-.

b+mb

2、設(shè)0<〃,b,c<2,求證：（2-〃）c,（2-（2-c）b,不行能同時(shí)大于1

3、假設(shè)x,y>0,且x+y>2,那么上上和匕工中至少有一個(gè)小于2。

%y

提示：反設(shè)史上22,H二22-：x,y>0,可得x+yW2及x+y>2沖突。

xy

四、課時(shí)小結(jié)：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟：

第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；

第二步作出及所證不等式相反的假定；

第三步從條件和假定動(dòng)身，應(yīng)用證確的推理方法，推出沖突結(jié)果；

第四步斷定產(chǎn)生沖突結(jié)果的緣由，在于開(kāi)始所作的假定不正確,于是原證不等式成立.

五、課后作業(yè)：

課本29頁(yè)第1,4題。

六、教學(xué)后記：

課題：第04課時(shí)不等式的證明方法之四:

放縮法

教學(xué)目的：

i.感受在什么狀況下，須要用放縮法證明不等式。

2.探究用放縮法證明不等式的理論根據(jù)和技巧。

教學(xué)重、難點(diǎn)：

1.駕馭證明不等式的兩種放縮技巧。

2.體會(huì)用放縮法證明不等式時(shí)放大或縮小的“度〃。

教學(xué)過(guò)程：

一、引入：

所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。?，使之得出明

顯的不等量關(guān)系后，再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方

法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)用途更為

廣泛。

下面我們通過(guò)一些簡(jiǎn)潔例證體會(huì)這種方法的根本思想。

二、典型例題：

例1、假設(shè)〃是自然數(shù)，求證1+2+-1+…+!<2.

1111212232

證明：???二<---=」――上次=2,3,4,…，兒

9式A—）"I[g]]1

H--74--7H---1--7<―-1----1-----1---1--------

I22232〃211.2.2-I3I(n-l)-nii

=-+(----)+(----)+-??+(------)

1il223n-ln

=2--<2.

ii\ni

留意：事實(shí)上，我們?cè)谧C明=+…+與<2的過(guò)程中，已經(jīng)得到一

個(gè)更強(qiáng)的結(jié)論3+3+3+…+3<2-士，這恰恰在確定程度上表達(dá)了放縮法

222

I23n

的根本思想。

例2、求證：1+-+-^—+——-——+???+------1-----<3.

111x21x2xi3lx]2x3x…

證明：由------i-----<————=4-,S是大于2的自然數(shù))

l1x2xpx.--xAi1-2-2…一2

得1+-+---+------+…+-------i——L

114211x2x31]X2X3XLT可i

<14-1+-+—+—+???+——-=1+——==3-----<3.

22223n-\]2“一[

例3、假設(shè)&b,J1]dwR,求證

1abcd

I<--------1--------1---------1--------<2

a+h+db+笈+ac+g+bd+cj

llEsI己m--------1---------1---------1--------?a,b,c,deR

a+b%dZ?+c+。/7c+d+bd^t-a+cd

..m>-----------1-----------1-----------1-----------1

a古b+ca-^b+c-^fic+d+a+bd+a+Z?+c

m<-----1------1------1-----=2「?]<m<2即原式成

a+ba+hc+dd+c

立。

例4、當(dāng)〃>2時(shí)，求證：log?(H-l)log?(n+l)<1

證：>2/.log?(n-l)>0,log?(n+l)>022

,,/八1/,八，log?(n-l)+log,,(n+l)Tlog?(n2-1)

..10g?(?-l)10g?(/?+l)<—j——-7T—2-----=—箕----

乜iog“〃-z=]JL2J

2—

:?n>2時(shí)，log?(n-l)log?(n+l)<1

三、課堂練習(xí)：

1、設(shè)〃為大于1的自然數(shù)，求證」一+—」一+」一+—+，>」.

1〃餌1〃42〃+2〃2

2、設(shè)〃為自然數(shù)，求證(2—上)(2—3)(2—三)…(2—~

nnnnw!

四、課時(shí)小結(jié)：

常用的兩種放縮技巧：對(duì)于分子分母均取正值的分式，

(I)假如分子不變，分母縮小(分母仍為正數(shù))，那么分式的值放大;

(II)假如分子不變，分母放大，那么分式的值縮小。

五、課后作業(yè)：課本29頁(yè)第2、3題。

第三講柯西不等式及排序不等式

課題:第1課時(shí)二維形式的柯西不等式〔-〕

教學(xué)目的：相識(shí)二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義，并會(huì)證明

二維柯西不等式及向量