吉林省通榆縣一中2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理

PAGEPAGE12吉林省通榆縣一中2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理考生留意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清晰.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：集合、常用邏輯用語(yǔ)、復(fù)數(shù)、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形、平面對(duì)量、數(shù)列、立體幾何.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.已知是虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模是（）A.5 B. C. D.33.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.在巴比倫晚期的《泥板文書(shū)》中，有按級(jí)遞減分物的等差數(shù)列問(wèn)題，其中有一個(gè)問(wèn)題大意是：10個(gè)兄弟分100兩銀子，長(zhǎng)兄最多，依次削減相同數(shù)目，現(xiàn)知第8兄弟分得6兩，則長(zhǎng)兄可分得銀子的數(shù)目為（）A.兩 B.兩 C.兩 D.兩5.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值是（）A. B. C. D.6.已知等比數(shù)列中，，公比，則（）A.32 B.16 C.-16 D.-327.已知數(shù)列滿意，，則（）A. B. C. D.8.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，點(diǎn)是的重心，且，則的面積為（）A. B. C.或 D.或9.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減10.如圖，在三棱柱中，底面，為等邊三角形，，，，分別為，，的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，則直線與直線的位置關(guān)系可能是（）①相交②垂直③異面④平行A.①② B.①②③C.①③④ D.②③④11.如圖，在正方形中，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則（）A. B.1C. D.212.已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且滿意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，，且向量，的夾角是，則_______.14.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則_______.15.若，，則_______.16.已知半徑為4的球面上有兩點(diǎn)，，且，球心為，若球面上的動(dòng)點(diǎn)滿意：與所在截面所成角為，則四面體的體積的最大值為_(kāi)______.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且滿意，，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.如圖，在直三棱柱中，，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.19.已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).20.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為線段的中點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21.已知數(shù)列，，滿意，.（1）令，證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，證明：.22.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)，的值﹔（2）若函數(shù)，試探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).通榆一中高三期中考試試題·數(shù)學(xué)（理科）參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則一、選擇題1-5：BCBCA 6-10：ABDDB 11-12：BD1.B由題意知，，所以.故選B2.C據(jù)題意，得，所以的共軛復(fù)數(shù)是，所以.故選C.3.B由，得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選B.4.C設(shè)10個(gè)兄弟由大到小依次分得兩銀子，設(shè)數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和為，則由題意得，即，解得.所以長(zhǎng)兄分得兩銀子.故選C.5.A，由其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得，即，所以的最小值是，故選A.6.A由.故選A.7.B由，得，所以，所以.故選B.8.D由題可知，，則，或.又，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以，即，?dāng)時(shí)，，所以的面積為；當(dāng)時(shí)，，所以的面積為.9.D函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即，所以是偶函?shù).當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.故選D.10.B當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與直線相交，連接，，，，由題意，可得，，，，，在中，，同理，，，所以，，所以.又，平面，所以平面，又平面，所以，當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，直線與直線異面.故選B.11.B取向量，作為一組基底，則有，.因?yàn)橄蛄颗c共線，所以，即.故選B.12.D當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.因?yàn)?，所?又，所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，，由，得，所以，所以.又，所以，所以，即對(duì)恒成立，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，令，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，所以，所以.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選D.二、填空題13.214.10815.16.613.2因?yàn)椋?14.108由題意，，，，成等差數(shù)列，即18，24，30，36，故.15.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所?16.6設(shè)所在截面圓的圓心為，中點(diǎn)為，連接，，，則為與所在截面所成角，即，得，，由，所以，同理.因?yàn)椋?，所?在中，得，因?yàn)樗拿骟w的體積為，連接，當(dāng)過(guò)時(shí)，且最大，所以四面體的體積的最大值.三、解答題17.解：（1）由，得；由，，成等比數(shù)列，得，，即，解得，，即.（2）由（1）得，則，即.18.證明：（1）取的中點(diǎn)，分別連接，.又∵為的中點(diǎn)，∴，且.又∵為的中點(diǎn)，據(jù)三棱柱性質(zhì)知，，，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴.又∵平面，平面，∴平面.解：（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，且交于點(diǎn).以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，，，∴，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，有，取，，，∴.∴，∴直線與平面所成角的余弦值為.19.解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，所?因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所?（2）由（1）得，所以的面積，得.由余弦定理得.又因?yàn)?，，所以，解得，所以的周長(zhǎng)為.20.證明：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)?，，為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.所以.又因?yàn)椋?，為的中點(diǎn)，所以四邊形為正方形，所以.又，平面，平面，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槠矫妫矫?，所?又，所以為等腰直角三角形.又因?yàn)闉樾边叺闹悬c(diǎn)，所以.又，平面，平面，所以平面.解：（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：不妨設(shè)，則有點(diǎn)，，，，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即.令，得.所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.21.證明：（1）因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以，即，所以是公差?的等差數(shù)列.又，所以.（2）由（1），所以，則，①，②由①-②，得，所以.因?yàn)?，所以，?22.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以.由題意知，得，解得.（2）由題意知，所以.令，解得，.（i）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，此時(shí)，，明顯在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，故函?shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).（ii）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的