山西省大同市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月模擬考試試題文含解析

PAGE21-山西省大同市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月模擬考試試題文（含解析）（總分150分，考試時間120分鐘）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可分別求得集合，由交集定義可求得結(jié)果.【詳解】，，.故選：.【點睛】本題考查集合運算中的交集運算，涉及到一元二次不等式和指數(shù)不等式的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方和除法運算法則可計算得到結(jié)果.【詳解】.故選：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘方和除法運算，屬于基礎(chǔ)題.3.已知，，，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：因為所以選C．考點：比較大小4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】因為不是偶函數(shù)，在上不是單調(diào)函數(shù)，在上單調(diào)遞減，y=ln|x|是偶函數(shù)，并且當(dāng)x>0時，y=lnx在上單調(diào)遞增.故選D.5.明朝數(shù)學(xué)家程大位將“孫子定理”（也稱“中國剩余定理”）編成易于上口的《孫子歌訣》：三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團聚正半月，除百零五便得知．已知正整數(shù)被除余,被除余，被除余，求的最小值．按此歌訣得算法如圖，則輸出的結(jié)果為（）A.53 B.54 C.158 D.263【答案】A【解析】按程序框圖知的初值為，代入循環(huán)結(jié)構(gòu)，第一次循環(huán)，其次次循環(huán)，推出循環(huán)，的輸出值為，故選A.6.若角600°的終邊上有一點（-4，a），則a的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵角的終邊上有一點，依據(jù)三角函數(shù)的定義可得，即，故選C.7.函數(shù)在上的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先推斷函數(shù)的奇偶性，解除C；再驗證的值，解除B，D，即可.【詳解】依題意，，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，解除C；，解除B，D.故選：A【點睛】本題考查函數(shù)圖象問題.此類問題可依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、特值檢驗，通過解除法解決.屬于中檔題.8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.4 B.2 C.6 D.【答案】B【解析】【分析】由三視圖可得幾何體為四棱錐，依據(jù)棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知：幾何體為底面為直角梯形，高為的四棱錐，其中直角梯形的上下底分別為和，高為，幾何體體積.故選：.【點睛】本題考查依據(jù)三視圖求解幾何體的體積的問題，關(guān)鍵是能夠通過三視圖精確還原幾何體.9.定義行列式運算.將函數(shù)的圖象向左平移個單位得函數(shù)的圖象，則的圖象的一個對稱中心為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：將函數(shù)的圖象向左平移個單位得函數(shù)的圖象由得，取得的圖象的一個對稱中心為考點：1、三角函數(shù)的圖象的平移、對稱中心；2、三角恒等變換10.過雙曲線的右焦點F作雙曲線C的一條弦AB，且，若以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由得F是弦AB的中點.進而得AB垂直于x軸，得，再結(jié)合關(guān)系求解即可【詳解】因為，所以F是弦AB的中點.且AB垂直于x軸.因為以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點，所以，即，則，故.故選：C【點睛】本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，是考查基本學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題．11.中，角，，所對的邊分別為，，，若，且的面積為，則（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等變換和三角形面積求解出的值；再依據(jù)的范圍解出.【詳解】或又本題正確選項：【點睛】本題考查三角恒等變換和解三角形的學(xué)問，易錯點是求解的取值時，忽視了這一條件，造成求解錯誤.12.已知函數(shù)，若存在實數(shù)滿意，且，則的最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出的圖像，利用將表示成的關(guān)系式，將化為只含的表達式，利用換元法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求得的最大值.【詳解】作出的圖象如圖所示.因為，所以，即.由圖可知，則，令.則.易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.故選：D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.二、填空題：本題共4小題，每小題5分．13.已知定義在上的奇函數(shù)，則函數(shù)在點處的切線方程為___________．【答案】【解析】【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可求得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得所求的切線方程.【詳解】為上的奇函數(shù)，，解得：，，，，又，在，即在處切線方程為：，即.故答案為：.【點睛】本題考查求解曲線在某點處的切線方程的問題，涉及到導(dǎo)數(shù)幾何意義和函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.已知菱形的邊長為2，，點滿意，則_______．【答案】3【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)可求得，，由數(shù)量積的定義可求得結(jié)果.【詳解】四邊形為菱形，，又，為等邊三角形，又，為中點，，，，.故答案為：.【點睛】本題考查平面對量數(shù)量積的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.15.已知拋物線的焦點為，點在上，且，則（其中坐標(biāo)原點）的面積為___________．【答案】8【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求得，利用拋物線焦半徑公式可求出點的縱坐標(biāo)，進而得到，從而求得所求的三角形面積.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，設(shè)，則，解得：，，.故答案為：.【點睛】本題考查拋物線中三角形面積的求解問題，涉及到拋物線焦半徑公式的應(yīng)用.16.在四面體中，和都是邊長為的等邊三角形，該四面體的外接球表面積為，則該四面體的體積為______________．【答案】【解析】【分析】取中點，設(shè)球心為，外接圓圓心分別為，作平面；依據(jù)外接球表面積可求得外接球半徑，利用垂直關(guān)系可求得和，進而得到，求得四面體的高，代入三棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】取中點，連接，設(shè)球心為，外接圓圓心分別為，連接，作平面，垂足為，四面體外接球表面積為，外接球半徑.由球的性質(zhì)可知：平面，平面，又，，，，，，，，，四面體體積.故答案為：.【點睛】本題考查依據(jù)四面體的外接球表面積求解四面體的體積的問題，關(guān)鍵是能夠明確幾何體外接球的性質(zhì)，即球心和各面的外接圓圓心的連線與該面垂直.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)需求作答．（一）必考題：60分．17.已知數(shù)列滿意且，．（1）求數(shù)列的通項公式及其前項和；（2）若數(shù)列滿意，且，若，求的取值集合．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由遞推關(guān)系式可知數(shù)列為等差數(shù)列，利用表示出已知等式，可構(gòu)造方程求得，由等差數(shù)列通項公式和求和公式可求得結(jié)果；（2）由（1）可整理得到，由累加法可求得，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）由得：，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)的公差為，則，解得：，，.（2）由（1）得：，則，，…，，，，令得：，又，的取值集合為.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式和前項和的求解問題、累加法求解數(shù)列的通項公式問題；關(guān)鍵是能夠依據(jù)遞推關(guān)系式的形式證得數(shù)列為等差數(shù)列、確定數(shù)列通項公式的求解方法為累加法.18.如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，．為等邊三角形．（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）見解析（2）2【解析】【分析】（1）結(jié)合余弦定理和勾股定理可證得，由線面垂直判定定理可證得平面，由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）取的中點，由面面垂直性質(zhì)可證得平面，利用三棱錐體積公式可求得，依據(jù)平行關(guān)系可知，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：在中，由余弦定理得：，，，，，即．又，，平面，平面，平面，平面平面．（2）取的中點，連接，為等邊三角形，為中點，，由（1）知：平面平面，又平面平面，平面，平面，由得：，，，，，，．，【點睛】本題考查立體幾何中面面垂直關(guān)系的證明、三棱錐體積的求解問題，涉及到線面垂直的判定與性質(zhì)定理、面面垂直的判定與性質(zhì)定理的應(yīng)用；求解三棱錐體積的常用方法是采納體積橋的方式，將問題轉(zhuǎn)化為高易求的三棱錐體積的求解問題.19.某蔬菜批發(fā)商經(jīng)銷某種簇新蔬菜（以下簡稱蔬菜），購入價為200元/袋，并以300元/袋的價格售出，若前8小時內(nèi)所購進的蔬菜沒有售完，則批發(fā)商將沒售完的蔬菜以150元/袋的價格低價處理完畢（依據(jù)閱歷，2小時內(nèi)完全能夠把蔬菜低價處理完，且當(dāng)天不再購進）.該蔬菜批發(fā)商依據(jù)往年的銷量，統(tǒng)計了100天蔬菜在每天的前8小時內(nèi)的銷售量，制成如下頻數(shù)分布條形圖.（1）若某天該蔬菜批發(fā)商共購入6袋蔬菜，有4袋蔬菜在前8小時內(nèi)分別被4名顧客購買，剩下2袋在8小時后被另2名顧客購買.現(xiàn)從這6名顧客中隨機選2人進行服務(wù)回訪，則至少選中1人是以150元/袋價格購買的概率是多少？（2）以上述樣本數(shù)據(jù)作為決策的依據(jù).（i）若今年蔬菜上市的100天內(nèi)，該蔬菜批發(fā)商堅持每天購進6袋蔬菜，試估計該蔬菜批發(fā)商經(jīng)銷蔬菜的總盈利值；（ii）若明年該蔬菜批發(fā)商每天購進蔬菜的袋數(shù)相同，試幫其設(shè)計明年的蔬菜的進貨方案，使其所獲得的平均利潤最大.【答案】（1）；（2）（i）元；（ii）該批發(fā)商明年每天購進蔬菜5袋，所獲平均利潤最大.【解析】【分析】（1）通過列舉分別求出“從6人中任選2人”和“至少選中1人是以150元/袋的價格購買”的基本領(lǐng)件個數(shù)，通過古典概型公式計算即可；（2）（i）通過頻數(shù)分布條形圖進行估算即可；（ii）分別計算購進蔬菜4袋、5袋、6袋時的每天所獲平均利潤，比較大小即可.【詳解】（1）設(shè)這6人中花150元/袋的價格購買蔬菜的顧客為，其余4人為，，，.則從6人中任選2人的基本領(lǐng)件為：，，，，，，，，，，，，，，，共15個.其中至少選中1人是以150元/袋的價格購買的基本領(lǐng)件有：，，，，，，，，，共9個.至少選中1人是以150元/袋的價格購買的概率為.（2）（i）該蔬菜批發(fā)商經(jīng)銷蔬菜的總盈利值為：（元）.（ii）當(dāng)購進蔬菜4袋時，每天所獲平均利潤為（元），當(dāng)購進蔬菜5袋時，每天所獲平均利潤為（元）當(dāng)購進蔬菜6袋時，每天所獲平均利潤為（元）綜上，該批發(fā)商明年每天購進蔬菜5袋，所獲平均利潤最大.【點睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖、古典概型的計算公式以及期望的計算，屬于基礎(chǔ)題.20.已知焦點在軸上的橢圓的一個頂點為，以右焦點為圓心以3為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點、．當(dāng)時，求三角形面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用焦點到直線的距離等于半徑和上頂點坐標(biāo)可構(gòu)造方程求得，進而得到橢圓方程；（2）設(shè)為中點，由可知，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，利用韋達定理表示出，依據(jù)判別式可構(gòu)造不等式求得的范圍；利用弦長公式和點到直線距離公式求得弦長和三角形的高，代入面積公式可整理得到關(guān)于的函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)可確定取最大值時的取值，進而得到最大值.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為：.橢圓焦點在軸上，且一個頂點為，則且，則右焦點，，解得：，橢圓方程為：.（2）設(shè)，，為中點，由得：，，解得：…①則，，，，，，，即，，代入①中得：，解得：，由得：，的取值范圍為.，原點到直線的距離，，，當(dāng)時，取得最大值.【點睛】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，涉及到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、橢圓中的三角形面積的最值的求解；求解三角形面積最值的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺竺娣e表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)，進而通過求解函數(shù)最值的求解方法求得結(jié)果；易錯點是忽視變量的取值范圍，造成值域求解錯誤.21.已知的圖象在處的切線與直線平行．（1）求函數(shù)的極值；（2）若，，，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）極大值為，無微小值；（2），．【解析】【分析】(1)可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a的值,然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)的極值;(2)所給不等式含有兩個變量,通過變形使兩個變量分別在不等式兩側(cè),然后構(gòu)造新函數(shù)g(x),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性即可求解m的范圍.【詳解】（1）的導(dǎo)數(shù)為，可得的圖象在，（1）處的切線斜率為，由切線與直線平行，可得，即，，，由，可得，由，可得，則在遞增，在遞減，可得在處取得極大值為，無微小值；（2）可設(shè)，若，，，可得，即有，設(shè)在為增函數(shù)，即有對恒成立，可得在恒成立，由的導(dǎo)數(shù)為得：當(dāng)，可得，在遞減，在，遞增，即有在處取得微小值，且為最小值，可得，解得，則實數(shù)的取值范圍是，．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求解參數(shù)的值和范圍,屬于中等難度題型,第一問解題中關(guān)鍵是導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用;其次問中關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化,然后構(gòu)造新函數(shù),再利用新函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)m的范圍.（二）選考題：請考生在第22、23題中任選一題做答，假如多做，則按所做的第一題記分．做答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講]22.選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程為，在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的點按坐標(biāo)變換得到曲