湖南省2025屆高三上學(xué)期階段檢測聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷 含解析

湖南省高三年級階段檢測聯(lián)合考試數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語?不等式?函數(shù)與導(dǎo)數(shù)?三角函數(shù)（小題），同高考范圍（大題）.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，.若，則（）A B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】先求出集合A,再根據(jù)子集關(guān)系求參.【詳解】因為.又因為，所以,即得.故選：A.2.已知角的終邊過點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題意，.故選：C3.如圖，圓的半徑為1，劣弧的長為，則陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由扇形面積減去三角形面積即可求解.【詳解】因為劣弧的長為，所以.則，所以陰影部分的面積為.故選:B4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由為偶函數(shù)，排除A；當時，，當時，，排除BC，可得正確選項D.【詳解】的定義域為且，且f?x=fx，所以為偶函數(shù)，排除A；當時，，，，當時，，，，排除BC.故選：D.5.記某飛行器的最大速度，若不變，且，則與的關(guān)系為（）A.B.C.若，則；若，則D.若，則；若，則【答案】D【解析】【分析】將表示為，分和分別討論的單調(diào)性，從而得到結(jié)果.【詳解】因為，所以.若，則，，所以是減函數(shù)，因為，所以.同理，若，則是增函數(shù)，因為，所以.故選：D.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由分段函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，求解即可.【詳解】因為在R上單調(diào)遞增，所以當，單調(diào)遞增，所以，當時，，單調(diào)遞增，且當，，所以的范圍是.故選:A7.已知定義在上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的性質(zhì)及賦值法逐項計算判斷即可.【詳解】對于A，由為奇函數(shù)，得，則，，A錯誤；對于D，由，得，則，D錯誤；對于B，由，得，則，，又，因此，B正確；對于C，由，得，則，C錯誤.故選：B8.已知關(guān)于的方程在內(nèi)有2個不同的解，，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】輔助角公式得，取為銳角且，由得，，則，求值即可.【詳解】因為，取為銳角且，，所以，由題意可得.因為，不妨設(shè)，由，有，，即，所以，.故選：D.【點睛】思路點睛：輔助角公式的作用之一是將含有正弦、余弦兩種三角函數(shù)的表達式合并為只含有一種三角函數(shù)的表達式，兩個角的正弦值相等，則這兩個角終邊重合或終邊關(guān)于軸對稱.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.是奇函數(shù)C.的最小正周期為D.使取得最小值的的集合為【答案】CD【解析】【分析】由圖象可直接判斷B，得周期，即可判斷C，再結(jié)合可判斷A，再結(jié)合函數(shù)解析式可判斷D.【詳解】由圖可得，的最小正周期為，所以，C正確.，由圖可得，結(jié)合，解得錯誤.所以，由可得：所以取得最小值的的集合為，D正確.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，B錯誤.故選：CD10.已知，，下列結(jié)論正確的是（）A. B.的最小值是C.的最小值是8 D.的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】由條件等式，有，可求的范圍判斷選項A；利用基本不等式求和的最小值判斷BCD.【詳解】，由，解得，A正確；，當且僅當時，等號成立，而此時不存在，B錯誤；由，得，所以，當且僅當，即時，等號成立，C正確.由，得，則，當且僅當，即時，等號成立，D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，.若表示，中的最大者，設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若沒有零點，則的取值范圍為B.若只有1個零點，則的取值集合為C.若有2個零點，則的取值范圍為D.，【答案】ABC【解析】【分析】對二次函數(shù)進行討論，根據(jù)以及，即可分類討論求解.【詳解】圖象的對稱軸方程為,開口向上，當，即時，對任意，都有，所以沒有零點.令，解得.當時，，所以沒有零點.當時，.當時，，所以；當時，，所以有1個零點.當時，.當時，；當時，；當時，，所以在上有1個零點，則在上有1個零點.所以有2個零點.設(shè)在上的零點為，則當時，，所以當時，，D錯誤.綜上，當時，沒有零點；當時，有1個零點；當時，有2個零點,ABC正確故選：ABC【點睛】方法點睛：判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法：(1)直接法：令則方程實根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個；(2)零點存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數(shù)的零點個數(shù)；(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點，在確定函數(shù)零點的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點存在定理，有時可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)則___________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)解析式代入求解即可.【詳解】因為，所以.故答案為：313.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于點對稱，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移可得，即可根據(jù)對稱性求解.【詳解】由題意可得，由的圖象關(guān)于點對稱，可得，即.因為，取，，所以的最小值為.故答案：14.已知函數(shù)，若存在，使得，且的最小值為1，則___________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)，求得，構(gòu)造，結(jié)合其單調(diào)性即可求解.【詳解】當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞增，又可得，且因為存在，使得，所以，即.不妨設(shè)，則，即，所以.設(shè)函數(shù)，則.所以在上單調(diào)遞減，，解得.故答案為：2四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.，.（1）求；（2）若，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用倍角公式化簡得，正弦定理求得，可得角；（2）正弦定理求，余弦定理求，可得周長.【小問1詳解】因為，由，，所以.由正弦定理，所以.因為為銳角，所以.【小問2詳解】由正弦定理得.在銳角中，，即，解得或.當時，，B為鈍角，不符合題意.當時，經(jīng)驗證，符合題意.故的周長為.16.某校為了解該校學(xué)生對籃球及羽毛球的喜愛情況，對學(xué)生進行簡單隨機抽樣，獲得的數(shù)據(jù)如下表：單位：人球類男生女生喜歡不喜歡喜歡不喜歡籃球400100200100羽毛球35015025050假設(shè)所有學(xué)生對籃球及羽毛球是否喜愛相互獨立，（1）分別估計該校男生喜歡籃球的概率?該校女生喜歡籃球的概率；（2）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人喜歡籃球的概率；（3）將該校學(xué)生喜歡羽毛球的概率估計值記為，假設(shè)該校高一年級有500名男生和400名女生，除高一年級外其他年級學(xué)生喜歡羽毛球的概率估計值記為，試比較與的大小（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）男生喜歡籃球的概率約為，女生喜歡籃球的概率約為.（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式直接求解即可；（2）結(jié)合（1）及相互獨立事件同時發(fā)生的概率直接求解即可；（3）求解，，即可利用放縮以及不等式的性質(zhì)求解．【小問1詳解】該校男生喜歡籃球的概率約為，該校女生喜歡籃球的概率約為.【小問2詳解】3人中恰有2人喜歡籃球分兩種情況，①僅有2名男生喜歡籃球，②僅有1名男生喜歡籃球，1名女生喜歡籃球，所以3人中恰有2人喜歡籃球的概率約為【小問3詳解】．理由如下：，設(shè)該?？?cè)藬?shù)為，則該校喜歡羽毛球的人數(shù)約為，由表可知，男生喜歡羽毛球的概率為，女生喜歡羽毛球的概率為，所以一年級喜歡羽毛球的人數(shù)約為，故除一年級外其他年級喜歡羽毛球的概率為．故17.如圖，在四棱臺中，底面是菱形，平面，，.（1）求四棱臺的體積；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過證明平面，得到，再求得，由體積公式即可求解；（2）建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可.【小問1詳解】延長交于點，連接.因為，所以，所以分別為的中點.同理，分別為的中點.所以因為平面，所以，所以，所以是等邊三角形，所以四棱臺的體積為.【小問2詳解】取的中點，連接.以為坐標原點，分別以直線為軸?軸?軸，建立空間直角坐標系，則.設(shè)平面的法向量為，則取，則.設(shè)平面的法向量為，則取，則.設(shè)二面角的大小為，，故二面角的正弦值為.18.已知橢圓的左?右焦點分別為，，為橢圓上的動點，的面積的最大值為，且點到點的最短距離是2.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作斜率為的直線，交橢圓于，兩點，交拋物線：于，兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面積及點到焦點的距離最小值得出方程組求出,即可得出橢圓方程；（2）先設(shè)直線再聯(lián)立方程組再應(yīng)用弦長公式分別求出，再代入計算求參，即可得出直線的方程.【小問1詳解】由題意可得解得，則橢圓的標準方程為.【小問2詳解】由（1）可知F21,0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得，則，從而，故.聯(lián)立整理得，則，故.因為，所以，整理得，即，解得.因為，所以，所以，則直線的方程為.19.已知函數(shù).設(shè)曲線與軸負半軸相交于點，曲線在點處的切線為，（1）證明：曲線上的點都不在直線的下方.（2）若關(guān)于的方程（為負實數(shù)）有兩個不相等的實根，，證明：①；②.【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)得出切線，再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性進而證明不等式；（2）①由（1）得，再求導(dǎo)函數(shù)得出是增函數(shù)，再結(jié)合極值得出fx≥fx3=?14sin2x3【小問1詳解】由題意可得..切線的方程為.令函數(shù)..令函數(shù)，所以是減函數(shù).所以當時，，當x∈x0,+∞時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以.故曲